3.4 Kapasitans og kondensatorer

Energilageret bak blitsen

Når kameraets blits avfyres, frigjøres en stor energimengde på et brøkdels sekund. Når en defibrillator gir hjertet et støt, kommer kraften fra et lite, ladet komponent. Begge bygger på kondensatoren — en komponent som lagrer elektrisk ladning og energi. En kondensator består av to ledende plater atskilt av et isolerende materiale. Kobler vi den til et batteri, strømmer elektroner til den ene platen og bort fra den andre, slik at platene får motsatte ladninger $+Q$ og $-Q$, og det bygges opp en spenning mellom dem. Kondensatorer finnes overalt: i strømforsyninger som jevner ut spenning, i DRAM-minne, i kapasitive berøringsskjermer og i utallige sensorer. I dette kapittelet skal vi forstå kapasitans, platekondensatoren, dielektrika, lagret energi og koblinger.

Kapasitans og platekondensatoren

Kapasitansen $C$ til en kondensator er forholdet mellom lagret ladning og spenning:

$$C = \frac{Q}{U}$$

Enheten er farad (F = C/V), oppkalt etter Faraday. Ett farad er enormt; vanlige kondensatorer ligger i mikrofarad ($\mu$F), nanofarad (nF) eller pikofarad (pF). Kapasitansen forteller hvor mye ladning kondensatoren kan lagre per volt.

Den enkleste typen er platekondensatoren — to parallelle plater med areal $A$ og avstand $d$. Kapasitansen er

$$C = \varepsilon_0\frac{A}{d}$$

der $\varepsilon_0 = 8{,}85\times 10^{-12}$ F/m er permittiviteten i vakuum. Større areal gir mer plass til ladning, og mindre avstand gir sterkere felt — begge øker kapasitansen. To plater på $1{,}0$ cm² med $0{,}1$ mm avstand gir $C = 8{,}85\times 10^{-12}\cdot 10^{-4}/10^{-4} = 8{,}85$ pF.

Mellom platene er feltet homogent med styrke $E = U/d$, rettet fra pluss- til minusplaten. Kombinerer vi $C = \varepsilon_0 A/d$ med $C = Q/U$, får vi også $E = Q/(\varepsilon_0 A) = \sigma/\varepsilon_0$, der $\sigma = Q/A$ er overflateladningstettheten. Blir feltet for sterkt, slår det gjennom isolasjonen som en gnist — for luft skjer dette ved cirka $3\times 10^6$ V/m.

Dielektrikum, energi og koblinger

Setter vi et isolerende materiale — et dielektrikum — mellom platene, skjer noe nyttig. Molekylene polariseres og danner små dipoler som delvis motvirker det ytre feltet, slik at feltet inne blir svakere og kapasitansen øker. Hvor mye angis av den relative permittiviteten $\varepsilon_r = C_{\text{med}}/C_{\text{uten}}$, og kapasitansen blir

$$C = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}$$

Vakuum har $\varepsilon_r = 1$, luft $\approx 1{,}0006$, papir $2$–$4$, glass $4$–$10$ og vann hele $80$. Dielektrikum øker kapasitansen uten å gjøre kondensatoren større, isolerer platene og tåler høyere spenning.

Når vi lader opp en kondensator, lagres energi i det elektriske feltet. Arbeidet med å flytte en liten ladning $dq$ ved spenning $q/C$ er $dW = (q/C)\,dq$, og integrert fra $0$ til $Q$ gir det totalt $W = Q^2/2C$. Dette kan skrives på tre ekvivalente måter:

$$E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}QU = \frac{Q^2}{2C}$$

En $100\,\mu$F-kondensator ladet til $12$ V lagrer $\displaystyle E = \frac{1}{2}\cdot 100\times 10^{-6}\cdot 12^2 = 7{,}2$ mJ. Energien per volum i feltet er $\displaystyle u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$.

Kondensatorer kan kobles parallelt eller i serie — og motsatt av motstander! Ved parallellkobling er spenningen lik, og kapasitansene adderes: $C_{eq} = C_1 + C_2 + \ldots$. Ved seriekobling er ladningen lik, og de inverse adderes: $1/C_{eq} = 1/C_1 + 1/C_2 + \ldots$. Seriekobling gir alltid mindre kapasitans enn den minste enkeltkondensatoren.

Oppsummering

En kondensator lagrer ladning og energi mellom to plater. Kapasitansen $C = Q/U$ måles i farad. For en platekondensator er $C = \varepsilon_0 A/d$, og med et dielektrikum øker den til $C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/d$, der $\varepsilon_r$ er den relative permittiviteten. Mellom platene er feltet homogent, $E = U/d$. Lagret energi er $\displaystyle E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}QU = Q^2/2C$, med energitetthet $\displaystyle u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$. Kondensatorer i parallell har $C_{eq} = \sum C_i$ (kapasitansene adderes), mens serie gir $1/C_{eq} = \sum 1/C_i$ — stikk motsatt av motstander.