9.4 Cramers regel og økonomiske anvendelser | Matematikk for økonomer

Cramers regel og Leontief input-output-modell $\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{d}$.

55 min

14 oppgaver

Cramers regelLeontief input-outputTeknologi-matriseMarkedslikevekt med flere varerPortefølje

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.3Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon

I dette siste kapittelet om lineær algebra ser vi på Cramers regel — ein elegant formel for å løyse $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ direkte med determinantar. Vi ser òg på eit av dei mest sentrale bruksområda for matriser i økonomi: Leontief input-output-modellen, som Wassily Leontief fekk Nobelprisen for i 1973. Modellen blir framleis brukt av statistikkbyrå rundt om i verda for å analysere korleis endringar i etterspurnad påverkar kvar sektor i økonomien.

Cramers regel

Gitt eit system $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ der $A$ er ei kvadratisk matrise med $\det(A) \neq 0$ , gir Cramers regel ein formel for kvar einskild ukjend uttrykt ved determinantar.

Cramers regel

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

✏️Eksempel 1: Cramers regel for $2 \times 2$

Løys ved Cramers regel:

$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + 4y = 12 \end{cases}$

Koeffisientmatrise og høgreside:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 12 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 10$

$A_1$ er $A$ med første kolonne erstatta av $\mathbf{b}$ :

$A_1 = \begin{pmatrix} 16 & 2 \\ 12 & 4 \end{pmatrix}, \quad \det(A_1) = 64 - 24 = 40$

$A_2$ er $A$ med andre kolonne erstatta av $\mathbf{b}$ :

$A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 16 \\ 1 & 12 \end{pmatrix}, \quad \det(A_2) = 36 - 16 = 20$

$x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{40}{10} = 4, \qquad y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{20}{10} = 2$

Løysing: $x = 4, y = 2$ .

Kontroll: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16$ ✓, $4 + 4 \cdot 2 = 12$ ✓.

✏️Eksempel 2: Cramers regel for $3 \times 3$

Løys ved Cramers regel:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}

$\det(A)$ ved Sarrus:

Pluss: $1 \cdot (-1)(-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2 = 1 + 1 + 4 = 6$

Minus: $1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot (-1) = -1 + 2 - 2 = -1$

$\det(A) = 6 - (-1) = 7$

$\det(A_1)$ : Erstatt kolonne 1 med $\mathbf{b}$ :

$A_1 = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

Sarrus: pluss $6 \cdot (-1)(-1) + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6 + 2 + 6 = 14$ . Minus: $1 \cdot (-1) \cdot 2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot (-1) = -2 + 12 - 3 = 7$ . $\det(A_1) = 14 - 7 = 7$ .

$\det(A_2)$ : Erstatt kolonne 2 med $\mathbf{b}$ :

$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

Sarrus: pluss $1 \cdot 3 \cdot (-1) + 6 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2 = -3 + 6 + 4 = 7$ . Minus: $1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 6 \cdot 2 \cdot (-1) = 3 + 2 - 12 = -7$ . $\det(A_2) = 7 - (-7) = 14$ .

$\det(A_3)$ : Erstatt kolonne 3 med $\mathbf{b}$ :

$A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

Sarrus: pluss $1 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 6 \cdot 2 \cdot 2 = -2 + 3 + 24 = 25$ . Minus: $6 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 2 = -6 + 6 + 4 = 4$ . $\det(A_3) = 25 - 4 = 21$ .

Løysing:

$x = \frac{7}{7} = 1, \quad y = \frac{14}{7} = 2, \quad z = \frac{21}{7} = 3$

Når lønner Cramers regel seg?

- $2 \times 2$ - og $3 \times 3$ -system: Cramer er rask og oversiktleg.
- Større system: Gauss-eliminasjon er normalt mykje raskare (færre utrekningar).
- Teoretisk arbeid: Cramer er nyttig for å uttrykkje løysinga som funksjon av $\mathbf{b}$ (sensitivitetsanalyse).

Krav: $\det(A) \neq 0$ — elles er Cramer ikkje brukbar.

📝Oppgave 1

Løys ved Cramers regel.

\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + 3y = 11 \end{cases}

\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 5x + y = 9 \end{cases}

\begin{cases} 4x + 3y = 11 \\ 2x - y = 3 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 2

Løys ved Cramers regel:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 11 \\ x + 2y + 3z = 14 \end{cases}$

Rekn $\det(A)$ .

Finn $x, y, z$ .

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Leontief input-output-modell

Wassily Leontief utvikla ein modell som skildrar korleis ulike sektorar i økonomien er gjensidig avhengige — at produksjonen i éin sektor blir brukt som innsatsfaktor i andre sektorar. Modellen blir brukt til å rekne ut kor mykje total produksjon kvar sektor må ha for å dekkje ein gitt sluttetterspurnad frå forbrukarar, eksport og investering.

Leontief-modellen

n

📜Løysing av Leontief-modellen

Vi løyser for

\mathbf{x}

$\mathbf{x} - A\mathbf{x} = \mathbf{d}$

$\left(I - A\right)\mathbf{x} = \mathbf{d}$

$\boxed{\mathbf{x} = \left(I - A\right)^{-1}\mathbf{d}}$

Matrisa $(I - A)^{-1}$ blir kalla Leontief-inversen. Element $(i,j)$ fortel kor mykje total produksjon sektor $i$ må ha for å dekkje éi ekstra eining sluttetterspurnad i sektor $j$ — direkte og indirekte gjennom alle ringverknader.

✏️Eksempel 3: To-sektor Leontief

Ein liten økonomi har to sektorar: industri og landbruk. Teknologi-matrisa er

$A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix}$

Det vil seie: produksjon av éi eining i industrien krev 0,2 einingar frå industrien sjølv og 0,1 frå landbruket. Tilsvarande for landbruket.

Sluttetterspurnaden er $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 60 \\ 80 \end{pmatrix}$ (i mill. kr).

Finn total produksjon i begge sektorar.

Steg 1: Rekn

I - A

$I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix}$

Steg 2: Rekn $\det(I - A)$ :

$\det(I - A) = 0{,}8 \cdot 0{,}6 - (-0{,}3)(-0{,}1) = 0{,}48 - 0{,}03 = 0{,}45$

Steg 3: Rekn $(I - A)^{-1}$ :

$\left(I - A\right)^{-1} = \frac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$

Steg 4: Rekn $\mathbf{x} = (I-A)^{-1}\mathbf{d}$ :

$\mathbf{x} = \frac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 0{,}6 \cdot 60 + 0{,}3 \cdot 80 \\ 0{,}1 \cdot 60 + 0{,}8 \cdot 80 \end{pmatrix} = \frac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 36 + 24 \\ 6 + 64 \end{pmatrix} = \frac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix}$

$\mathbf{x} \approx \begin{pmatrix} 133{,}33 \\ 155{,}56 \end{pmatrix}$

Industrien må produsere ca. 133,33 mill. kr og landbruket ca. 155,56 mill. kr for å dekkje sluttetterspurnaden og alle interne behov.

Tolking: Sjølv om sluttetterspurnaden er 60 + 80 = 140, må total produksjon vere 133,33 + 155,56 = 288,89 mill. kr. Skilnaden (148,89 mill.) er produksjon som blir brukt internt mellom sektorane — råvarer og halvfabrikata som ikkje endar som sluttprodukt.

✏️Eksempel 4: Tre-sektor Leontief

Ein økonomi har tre sektorar: A, B, C. Teknologi-matrisa er

$A = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}2 \end{pmatrix}$

Sluttetterspurnaden er $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \\ 40 \end{pmatrix}$ .

Skriv opp Leontief-likninga og løys systemet.

Steg 1: Skriv

I - A

$I - A = \begin{pmatrix} 0{,}9 & -0{,}2 & -0{,}1 \\ -0{,}2 & 0{,}9 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & -0{,}3 & 0{,}8 \end{pmatrix}$

Leontief-likninga er $(I - A)\mathbf{x} = \mathbf{d}$ :

$\begin{pmatrix} 0{,}9 & -0{,}2 & -0{,}1 \\ -0{,}2 & 0{,}9 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & -0{,}3 & 0{,}8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \\ 40 \end{pmatrix}$

Steg 2: Rekn $\det(I - A)$ ved Sarrus:

Pluss-diagonalane: $0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}8 + (-0{,}2)(-0{,}3)(-0{,}1) + (-0{,}1)(-0{,}2)(-0{,}3) = 0{,}648 - 0{,}006 - 0{,}006 = 0{,}636$ .

Minus-diagonalane: $(-0{,}1) \cdot 0{,}9 \cdot (-0{,}1) + 0{,}9 \cdot (-0{,}3)(-0{,}3) + (-0{,}2)(-0{,}2) \cdot 0{,}8 = 0{,}009 + 0{,}081 + 0{,}032 = 0{,}122$ .

$\displaystyle \det(I-A) = 0{,}636 - 0{,}122 = 0{,}514 = \frac{257}{500}$ .

Steg 3: Bruk Cramers regel for kvar ukjend.

$\det(A_1) = \begin{vmatrix} 50 & -0{,}2 & -0{,}1 \\ 30 & 0{,}9 & -0{,}3 \\ 40 & -0{,}3 & 0{,}8 \end{vmatrix} = 50(0{,}72 - 0{,}09) - (-0{,}2)(24 + 12) + (-0{,}1)(-9 - 36) = 50 \cdot 0{,}63 + 0{,}2 \cdot 36 + 0{,}1 \cdot 45 = 31{,}5 + 7{,}2 + 4{,}5 = 43{,}2$

$x_1 = \frac{43{,}2}{0{,}514} \approx 84{,}05$

$\det(A_2) = \begin{vmatrix} 0{,}9 & 50 & -0{,}1 \\ -0{,}2 & 30 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & 40 & 0{,}8 \end{vmatrix} = 0{,}9(24 + 12) - 50(-0{,}16 - 0{,}03) + (-0{,}1)(-8 + 3) = 32{,}4 + 9{,}5 + 0{,}5 = 42{,}4$

$x_2 = \frac{42{,}4}{0{,}514} \approx 82{,}49$

$\det(A_3) = \begin{vmatrix} 0{,}9 & -0{,}2 & 50 \\ -0{,}2 & 0{,}9 & 30 \\ -0{,}1 & -0{,}3 & 40 \end{vmatrix} = 0{,}9(36 + 9) - (-0{,}2)(-8 + 3) + 50(0{,}06 + 0{,}09) = 40{,}5 - 1 + 7{,}5 = 47{,}0$

$x_3 = \frac{47{,}0}{0{,}514} \approx 91{,}44$

Løysing: $x_1 \approx 84{,}05$ , $x_2 \approx 82{,}49$ , $x_3 \approx 91{,}44$ (mill. kr).

Eksakt (som brøkar): $\displaystyle x_1 = \frac{21\,600}{257}$ , $\displaystyle x_2 = \frac{21\,200}{257}$ , $\displaystyle x_3 = \frac{23\,500}{257}$ .

📝Oppgave 3

Ein økonomi med to sektorar (energi og transport) har teknologi-matrise

$A = \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}1 \end{pmatrix}$

Sluttetterspurnad $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 70 \\ 40 \end{pmatrix}$ (mrd. kr).

Skriv $I - A$ .

Rekn $\det(I - A)$ .

Finn $(I - A)^{-1}$ .

Finn totalproduksjon $\mathbf{x}$ .

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Marknadslikevekt med fleire varer

Når vi har fleire marknader som påverkar kvarandre — til dømes kaffi og te, eller bensin og dieselbilar — kan vi setje opp eit lineært system for likevektsprisane og løyse med verktøya våre.

✏️Eksempel 5: To marknader

Etterspurnad og tilbod for to produkt (prisar $p_1$ og $p_2$ ) er gitt ved:

Produkt 1: $Q_D^1 = 200 - 4p_1 + 2p_2$ , $Q_S^1 = -40 + 6p_1$

Produkt 2: $Q_D^2 = 150 + p_1 - 3p_2$ , $Q_S^2 = -30 + 5p_2$

Finn likevektsprisane.

Marknadslikevekt krev

Q_D = Q_S

i kvar marknad:

Produkt 1: $200 - 4p_1 + 2p_2 = -40 + 6p_1 \Rightarrow 10p_1 - 2p_2 = 240$

Produkt 2: $150 + p_1 - 3p_2 = -30 + 5p_2 \Rightarrow -p_1 + 8p_2 = 180$

Systemet:

$\begin{pmatrix} 10 & -2 \\ -1 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 240 \\ 180 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 80 - 2 = 78$

Ved Cramer:

$p_1 = \frac{\det\begin{pmatrix} 240 & -2 \\ 180 & 8 \end{pmatrix}}{78} = \frac{1920 + 360}{78} = \frac{2280}{78} \approx 29{,}23$

$p_2 = \frac{\det\begin{pmatrix} 10 & 240 \\ -1 & 180 \end{pmatrix}}{78} = \frac{1800 + 240}{78} = \frac{2040}{78} \approx 26{,}15$

Likevektsprisar: $p_1 \approx 29{,}23$ kr, $p_2 \approx 26{,}15$ kr.

Investerings-mix (kort)

Eit klassisk eksempel: anta du har tre investeringsalternativ A, B, C, og du skal fordele eit beløp $T$ mellom dei slik at

- total investering er $T$ ,
- forventa avkastning er $R$ ,
- risiko (varians) er $\sigma^2$ eller eit anna lineært vilkår.

Dette gir eit $3 \times 3$ -system som blir løyst med metodane frå dette kapittelet. Komplette porteføljemodellar (Markowitz) byggjer vidare på dette med kvadratisk programmering, men sjølve kjernen er lineær algebra.

✏️Eksempel 6: Tre-investerings-allokering

Ein investor har 600 000 kr til disposisjon, fordelt på tre fond A (avkastning 3 %), B (5 %), C (8 %). Ho ønskjer:

- Total investering: 600 000 kr.
- Forventa samla avkastning: 30 000 kr (dvs. 5 %).
- Dobbelt så mykje i C som i B: $c = 2b$ .

Finn $a, b, c$ .

Likningssystem:

$\begin{cases} a + b + c = 600\,000 \\ 0{,}03a + 0{,}05b + 0{,}08c = 30\,000 \\ c - 2b = 0 \end{cases}$

Frå likning 3: $c = 2b$ . Set inn i likning 1: $a + b + 2b = 600\,000 \Rightarrow a = 600\,000 - 3b$ .

Set inn i likning 2:

$0{,}03(600\,000 - 3b) + 0{,}05b + 0{,}08 \cdot 2b = 30\,000$
$18\,000 - 0{,}09b + 0{,}05b + 0{,}16b = 30\,000$
$18\,000 + 0{,}12b = 30\,000$
$b = 100\,000$

Då er $c = 2b = 200\,000$ og $a = 600\,000 - 3 \cdot 100\,000 = 300\,000$ .

Løysing: $a = 300\,000$ kr i fond A, $b = 100\,000$ kr i fond B, $c = 200\,000$ kr i fond C.

Kontroll: $300\,000 + 100\,000 + 200\,000 = 600\,000$ ✓. Avkastning: $0{,}03 \cdot 300\,000 + 0{,}05 \cdot 100\,000 + 0{,}08 \cdot 200\,000 = 9\,000 + 5\,000 + 16\,000 = 30\,000$ ✓. $c = 2b$ : $200\,000 = 2 \cdot 100\,000$ ✓.

📝Oppgave 4

Ein liten økonomi har to sektorar: produksjon (P) og tenester (T). Teknologi-matrisa og sluttetterspurnaden er

$A = \begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}40 \\ 0{,}15 & 0{,}30 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}$

Skriv opp Leontief-likninga og rekn $I - A$ .

Finn $(I - A)^{-1}$ .

Finn total produksjon.

Kor mykje av produksjonen blir brukt internt mellom sektorane?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 5

Etterspurnad og tilbod for to varer:

Vare 1: $Q_D^1 = 100 - 2p_1 + p_2$ , $Q_S^1 = -20 + 3p_1$ .

Vare 2: $Q_D^2 = 80 + p_1 - 2p_2$ , $Q_S^2 = -10 + 2p_2$ .

Set opp likevektsvilkåra ( $Q_D = Q_S$ for kvar vare) og forenkle.

Skriv systemet på matriseform.

Løys ved Cramers regel.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 6

Ein tre-sektorøkonomi (jordbruk J, industri I, tenester T) har teknologi-matrise

$A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}$

og sluttetterspurnad $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \\ 150 \end{pmatrix}$ .

Skriv $I - A$ og set opp likninga $(I-A)\mathbf{x} = \mathbf{d}$ .

Løys systemet (bruk Gauss eller Cramers regel).

Tolk svaret økonomisk.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Cramers regel og økonomiske bruksområde

Tema	Formel / tolking
Cramers regel	$x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}$ for $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Krav	$\det(A) \neq 0$
$A_i$	$A$ med kolonne $i$ erstatta av $\mathbf{b}$
Leontief-modell	$\mathbf{x} = A\mathbf{x} + \mathbf{d}$
Løysing Leontief	$\mathbf{x} = (I-A)^{-1}\mathbf{d}$
Teknologi-matrise $A$	$a_{ij}$ = einingar frå sektor $i$ per eining i sektor $j$
Marknadslikevekt	$Q_D = Q_S$ for kvar vare gir lineært system

Generelle metodar for å løyse $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ :
1. Gauss-eliminasjon — robust, fungerer for alle storleikar.
2. Invers matrise

\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

— nyttig viss

A^{-1}

allereie er kjend.
3. Cramers regel — kompakt formel, best for

2 \times 2

3 \times 3

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Cramers regel: Løyser $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ med determinantar når $\det(A) \neq 0$ .
- Leontief input-output-modell: Skildrar gjensidig avhengige sektorar i økonomien.
- Løysing av Leontief: $\mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}$ .
- Bruksområde: Marknadslikevekt med fleire varer og investerings-mix.

Viktige formlar

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \qquad \mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Cramers regel	Løysing med determinantar
Leontief-modell	Input-output mellom sektorar
Etterspurnadsvektor	$\mathbf{d}$
$(I - A)^{-1}$	Løyser Leontief-systemet

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.