9.3 Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon | Matematikk for økonomer

Matriseform $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, totalmatrise, radoperasjoner og Gauss-eliminasjon.

60 min

14 oppgaver

Lineært likningssystemTotalmatriseRadoperasjonerTrappeformGauss-eliminasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.2Determinanter og invers matrise 2.3Likningssett

Brukes videre i

9.4Cramers regel og økonomiske anvendelser

I kapittel 2.3 lærte du å løyse likningssett med to ukjende ved innsetjing og addisjon. Når vi går opp til tre, fire eller fleire ukjende blir desse metodane tunge. Då brukar vi Gauss-eliminasjon — ein systematisk metode som passar perfekt saman med matriser, og som datamaskinar brukar for å løyse heilt store økonomiske modellar.

I dette kapittelet skriv vi likningssystem på matriseform, lærer radoperasjonar, og brukar Gauss-eliminasjon til å løyse $3 \times 3$ -system trinn for trinn.

Lineært likningssystem på matriseform

Eit lineært likningssystem har forma

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$

Dette kan skrivast kompakt som $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ der $A$ er ei $m \times n$ -koeffisientmatrise, $\mathbf{x}$ er ein kolonnevektor av ukjende, og $\mathbf{b}$ er ein kolonnevektor av høgresider.

Koeffisient- og totalmatrise

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

✏️Eksempel 1: Skrive system på matriseform

Skriv likningssystemet på matriseform og oppgi koeffisient- og totalmatrise:

$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - 3y + 2z = -1 \\ 4x + 2y + 5z = 12 \end{cases}$

Matriseform:

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

med

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 12 \end{pmatrix}$

Totalmatrise:

$\left[A \,|\, \mathbf{b}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & -3 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & 5 & 12 \end{array}\right]$

📝Oppgave 1

Skriv kvart likningssystem på matriseform og oppgi totalmatrisa.

\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - 5y = 1 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ -x + y + 2z = 7 \end{cases}

\begin{cases} 4a - b = 2 \\ a + 3b - 2c = 0 \\ b + c = 5 \end{cases}

Radoperasjonar

For å løyse systemet vil vi forenkle totalmatrisa så mykje som mogleg — utan å endre løysinga. Det finst tre elementære radoperasjonar som bevarer løysingssettet:

Elementære radoperasjonar

R_i \leftrightarrow R_j

Trappeform og redusert trappeform

1

Gauss-eliminasjon

Gauss-eliminasjon er ein framgangsmåte for å bringe totalmatrisa på trappeform ved hjelp av radoperasjonar. Når matrisa er på trappeform, finn vi $x, y, z$ ved bakover-innsetjing (òg kalla tilbakeinnsetjing).

Strategien er:

1. Bruk rad 1 til å lage 0-ar under pivoten i kolonne 1.
2. Bruk rad 2 til å lage 0-ar under pivoten i kolonne 2.
3. Hald fram til matrisa er på trappeform.
4. Les av siste likning og set tilbake oppover.

✏️Eksempel 2: Gauss-eliminasjon på $3 \times 3$

Løys likningssystemet ved Gauss-eliminasjon:

$\begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 9 \end{cases}$

Steg 0: Skriv totalmatrisa:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 9 \end{array}\right]$

Steg 1: Eliminer $x$ frå rad 2 og 3.

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ :
$(2 - 2, \, 1 - 4, \, -1 - 2 \,|\, 1 - 16) = (0, -3, -3 \,|\, -15)$

$R_3 \to R_3 - 3R_1$ :
$(3 - 3, \, -1 - 6, \, 2 - 3 \,|\, 9 - 24) = (0, -7, -1 \,|\, -15)$

Ny matrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & -3 & -3 & -15 \\ 0 & -7 & -1 & -15 \end{array}\right]$

Steg 2: Forenkle rad 2 og eliminer $y$ frå rad 3.

$\displaystyle R_2 \to -\frac{1}{3} R_2$ for å få pivot 1:
$(0, 1, 1 \,|\, 5)$

$R_3 \to R_3 + 7 R_2$ :
$(0, -7 + 7, -1 + 7 \,|\, -15 + 35) = (0, 0, 6 \,|\, 20)$

Trappeform:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & 20 \end{array}\right]$

Steg 3: Bakover-innsetjing.

Frå rad 3: $\displaystyle 6z = 20 \Rightarrow z = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Frå rad 2: $\displaystyle y + z = 5 \Rightarrow y = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$

Frå rad 1: $\displaystyle x + 2y + z = 8 \Rightarrow x = 8 - 2 \cdot \frac{5}{3} - \frac{10}{3} = 8 - \frac{20}{3} = \frac{4}{3}$

Løysing: $\displaystyle x = \frac{4}{3}, \; y = \frac{5}{3}, \; z = \frac{10}{3}$ .

Tips: Ved handrekning er det ofte enklast å la pivot bli større tal (ikkje 1) i mellomstega, og berre normalisere heilt på slutten. Dette unngår uoversiktlege brøkar i dei mellomliggjande stega.

✏️Eksempel 3: Med pene tal

Løys ved Gauss-eliminasjon:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ og $R_3 \to R_3 - R_1$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{array}\right]$

Byt $R_2 \leftrightarrow R_3$ for å få ein pen pivot:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \end{array}\right]$

$R_3 \to R_3 + 3R_2$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{array}\right]$

Bakover-innsetjing:

Rad 3: $-7z = -21 \Rightarrow z = 3$

Rad 2: $y - 2 \cdot 3 = -4 \Rightarrow y = 2$

Rad 1: $x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1$

Løysing: $x = 1, y = 2, z = 3$ .

Kontroll: Set inn i likning 1: $1 + 2 + 3 = 6$ ✓

📝Oppgave 2

Løys likningssystemet ved Gauss-eliminasjon.

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}

\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + 2y + z = 8 \\ 3x - y + 2z = 7 \end{cases}

\begin{cases} x + 2y + 3z = 10 \\ 2x + y + z = 8 \\ x - y + z = 1 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Tal på løysingar

Når vi når trappeforma, kan vi straks lese av kor mange løysingar systemet har:

- Éi løysing: Alle ukjende er eintydig bestemte (alle kolonnar har pivot).
- Inga løysing: Det dukkar opp ei rad som seier $0 = c$ for ein konstant $c \neq 0$ . Systemet er inkonsistent.
- Uendeleg mange løysingar: Det er færre pivotar enn variablar. Dei variablane som ikkje har pivot blir kalla frie variablar og kan setjast til kva som helst — løysinga blir uttrykt med parametrar.

✏️Eksempel 4: Inga løysing

Vis at systemet ikkje har noka løysing:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 7 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 7 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ :

$(0, 0, 0 \,|\, 7 - 6) = (0, 0, 0 \,|\, 1)$

Rad 2 seier $0 = 1$ , som er umogleg. Systemet har inga løysing — det er inkonsistent.

(Geometrisk: plana definerte av likning 1 og 2 er parallelle, men ikkje samanfallande.)

✏️Eksempel 5: Uendeleg mange løysingar

Løys systemet:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 2y + 2z = 12 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 2 & 2 & 12 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ , $R_3 \to R_3 - R_1$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \end{array}\right]$

Rad 2 er ei triviell $0 = 0$ — fjern ho (ho gir ingen info). Byt og forenkle:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \end{array}\right]$

Berre 2 pivotar for 3 variablar — éin fri variabel ( $z$ ).

Frå rad 2: $y = 2$ .

Frå rad 1: $x + 2 + z = 6 \Rightarrow x = 4 - z$ .

La $z = t$ vere ein parameter:

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 - t \\ 2 \\ t \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

Systemet har uendeleg mange løysingar parameterisert med $t$ .

Samanheng med determinant: For eit kvadratisk system

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

- $\det(A) \neq 0$ : nøyaktig éi løysing.
- $\det(A) = 0$ : anten inga eller uendeleg mange løysingar (avheng av $\mathbf{b}$ ).

Determinanten gir altså rask info om systemet er eintydig løysbart.

📝Oppgave 3

Avgjer om systemet har éi, inga eller uendeleg mange løysingar. Finn løysinga(ane).

\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}

\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 5 \end{cases}

\begin{cases} x - y + z = 1 \\ 2x + y - z = 4 \\ x + 2y - 2z = 3 \end{cases}

\begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Bruk: Økonomisk problemløysing

Gauss-eliminasjon blir brukt til alt frå produksjonsplanlegging til blandingsproblem. Vi ser to typiske bruksområde.

✏️Eksempel 6: Produksjonsplanlegging

Ein fabrikk produserer tre produkt A, B og C. Per eining brukar dei arbeid, materialar og maskintid:

Innsatsfaktor	A	B	C	Tilgjengeleg
Arbeid (timar)	2	3	1	100
Materialar (kg)	1	2	4	120
Maskintid (timar)	3	1	2	90

Kor mange einingar

x

av A,

y

av B og

z

av C bør produserast for å bruke nøyaktig alt som er tilgjengeleg?

Likningssystem:

$\begin{cases} 2x + 3y + z = 100 \\ x + 2y + 4z = 120 \\ 3x + y + 2z = 90 \end{cases}$

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 100 \\ 1 & 2 & 4 & 120 \\ 3 & 1 & 2 & 90 \end{array}\right]$

Byt $R_1 \leftrightarrow R_2$ for å få pivot 1:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 120 \\ 2 & 3 & 1 & 100 \\ 3 & 1 & 2 & 90 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ , $R_3 \to R_3 - 3R_1$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 120 \\ 0 & -1 & -7 & -140 \\ 0 & -5 & -10 & -270 \end{array}\right]$

$R_3 \to R_3 - 5R_2$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 120 \\ 0 & -1 & -7 & -140 \\ 0 & 0 & 25 & 430 \end{array}\right]$

Frå rad 3: $25z = 430 \Rightarrow z = 17{,}2$

Frå rad 2: $-y - 7 \cdot 17{,}2 = -140 \Rightarrow y = 140 - 120{,}4 = 19{,}6$

Frå rad 1: $x + 2 \cdot 19{,}6 + 4 \cdot 17{,}2 = 120 \Rightarrow x = 120 - 39{,}2 - 68{,}8 = 12$

Svar: Produser 12 einingar av A, 19,6 av B og 17,2 av C.

(I praksis må vi runde av til heile tal — eller løyse eit lineærprogrammeringsproblem viss vi vil ha heiltalsløysingar.)

✏️Eksempel 7: Blandingsproblem

Ein kaffiprodusent skal lage 100 kg blanding av tre kaffibønner: Brasil (30 kr/kg), Etiopia (40 kr/kg) og Colombia (50 kr/kg). Blandinga skal koste 3800 kr totalt (38 kr/kg), og det skal vere dobbelt så mykje Brasil som Colombia. Kor mange kg av kvar type?

x, y, z

vere talet på kg av Brasil, Etiopia og Colombia.

Vilkår 1: Totalvekt: $x + y + z = 100$ .

Vilkår 2: Totalpris: $30x + 40y + 50z = 3\,800$ .

Vilkår 3: $x = 2z$ , dvs. $x - 2z = 0$ .

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 30 & 40 & 50 & 3\,800 \\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 30R_1$ , $R_3 \to R_3 - R_1$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 10 & 20 & 800 \\ 0 & -1 & -3 & -100 \end{array}\right]$

$\displaystyle R_2 \to \frac{1}{10}R_2$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 1 & 2 & 80 \\ 0 & -1 & -3 & -100 \end{array}\right]$

$R_3 \to R_3 + R_2$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 1 & 2 & 80 \\ 0 & 0 & -1 & -20 \end{array}\right]$

Frå rad 3: $z = 20$ .

Frå rad 2: $y + 2 \cdot 20 = 80 \Rightarrow y = 40$ .

Frå rad 1: $x = 100 - 40 - 20 = 40$ .

Svar: 40 kg Brasil, 40 kg Etiopia og 20 kg Colombia.

Kontroll: $40 + 40 + 20 = 100$ kg ✓. Totalpris: $30 \cdot 40 + 40 \cdot 40 + 50 \cdot 20 = 1200 + 1600 + 1000 = 3\,800$ kr ✓. Brasil dobbelt så mykje som Colombia: $40 = 2 \cdot 20$ ✓.

📝Oppgave 4

Ei bedrift produserer tre typar møblar: bord (B), stolar (S) og hyller (H). Per eining blir desse ressursane brukte:

B	S	H
Treverk (m²)	2	1	3
Arbeid (timar)	4	2	1
Beslag (sett)	1	2	1

Bedrifta har 50 m² treverk, 60 arbeidstimar og 40 beslag-sett. Kor mange av kvar vare kan dei produsere?

Set opp likningssystemet.

Skriv totalmatrisa.

Løys ved Gauss-eliminasjon.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 5

Løys ved Gauss-eliminasjon.

\begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + y + z = 6 \end{cases}

\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ x + 3y - z = 4 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 6

For kva verdiar av

a

har systemet ei eintydig løysing?

$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ 2x + ay + 3z = 5 \\ x + y + 2z = 4 \end{cases}$

Skriv koeffisientmatrisa $A$ .

Rekn $\det(A)$ som funksjon av $a$ .

For kva $a$ har systemet eintydig løysing?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Lineære likningssystem

Konsept	Detaljar
Matriseform	$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Totalmatrise	$[A \,\|\, \mathbf{b}]$
Radoperasjonar	$R_i \leftrightarrow R_j$ , $R_i \to kR_i$ ( $k\neq 0$ ), $R_i \to R_i + kR_j$
Trappeform	Pivotar blir forskuva til høgre nedover
Gauss-eliminasjon	Bring til trappeform, bakover-innsetjing

Tal på løysingar:

Tilfelle	Tolking
Alle kolonnar har pivot	Éi løysing
Rad $[0\ 0\ \ldots\ 0\,\|\,c]$ med $c \neq 0$	Inga løysing
Færre pivotar enn variablar	Uendeleg mange (med frie variablar)

For kvadratiske system:

\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow

éi eintydig løysing.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Lineært likningssystem på matriseform: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ .
- Totalmatrise: Koeffisientmatrisa utvida med høgresida.
- Radoperasjonar: Tre elementære operasjonar som ikkje endrar løysinga.
- Gauss-eliminasjon: Bringer matrisa på trappeform for å lese av talet på løysingar.

Viktige formlar

A\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad [A \,|\, \mathbf{b}]

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Matriseform	$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Totalmatrise	$[A \,\|\, \mathbf{b}]$
Radoperasjon	Endrar matrisa utan å endre løysing
Trappeform	Echelon form etter Gauss-eliminasjon

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.