9.2 Determinanter og invers matrise

Determinant for $2\times 2$ og $3\times 3$ (Sarrus, kofaktorutvikling), invers matrise og invertibilitet.

55 min

16 oppgaver

DeterminantSarrus-regelKofaktorInvers matriseInvertibilitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Matriser og matriseregning

Brukes videre i

9.3Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon

Ein determinant er eit tal som vi kan rekne ut frå ei kvadratisk matrise. Determinanten fortel oss mykje om matrisa — mellom anna om ho er invertibel (om det finst ei «inversmatrise» $A^{-1}$ ), og om det tilhøyrande likningssystemet har ei eintydig løysing.

Den inverse matrisa $A^{-1}$ er motstykket til divisjon: i vanleg rekning kan vi løyse $ax = b$ ved å dele med $a$ (når $a \neq 0$ ). For matriser løyser vi $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ved å multiplisere med $A^{-1}$ — når $A^{-1}$ finst.

Determinant av ei

2 \times 2

-matrise

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Notasjon: Vi skriv determinanten både som

\det(A)

og som

\left|A\right|

. Inne i absoluttverdistrekar byter vi gjerne ut parentesar:

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

✏️Eksempel 1: Determinant av $2 \times 2$

Rekn ut determinanten til

a) $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

b) $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

c) $C = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$

\det(A) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 12 - 2 = 10

b) $\det(B) = 5 \cdot 12 - 6 \cdot 10 = 60 - 60 = 0$

c) $\det(C) = (-1)(-5) - 3 \cdot 2 = 5 - 6 = -1$

I eksempel 1b er $\det(B) = 0$ . Dette tyder at matrisa $B$ ikkje er invertibel — kolonnane (og radene) er proporsjonale: andre rad er nøyaktig 2 gonger første rad.

📝Oppgave 1

Rekn ut determinanten.

\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 6 & -8 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}

Løs oppgaven Tren

Determinanten til ei $3 \times 3$ -matrise

Det finst fleire måtar å rekne $3 \times 3$ -determinant på. Vi går gjennom to:

1. Sarrus' regel — ein kort og praktisk metode som berre verkar for $3 \times 3$ .
2. Kofaktorutvikling — ein meir generell metode som òg fungerer for større matriser.

Sarrus' regel for

3 \times 3

-determinantar

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Praktisk hugseregel for Sarrus: Skriv dei to første kolonnane éin gong til på høgre side av matrisa. Plussar dei tre diagonalane som går \\ nedover og minus dei tre som går / oppover.

$\begin{array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}$

Pluss-diagonalar: $a_{11}a_{22}a_{33}$ , $a_{12}a_{23}a_{31}$ , $a_{13}a_{21}a_{32}$ .

Minus-diagonalar: $a_{13}a_{22}a_{31}$ , $a_{11}a_{23}a_{32}$ , $a_{12}a_{21}a_{33}$ .

✏️Eksempel 2: $3 \times 3$ med Sarrus

Rekn ut

\det(A)

når

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

Pluss-diagonalar:
-

1 \cdot 4 \cdot 6 = 24

2 \cdot 5 \cdot 1 = 10

3 \cdot 0 \cdot 0 = 0

Minus-diagonalar:
- $3 \cdot 4 \cdot 1 = 12$
- $1 \cdot 5 \cdot 0 = 0$
- $2 \cdot 0 \cdot 6 = 0$

$\det(A) = (24 + 10 + 0) - (12 + 0 + 0) = 34 - 12 = 22$

Kofaktorutvikling langs første rad

3 \times 3

✏️Eksempel 3: $3 \times 3$ med kofaktorutvikling

Rekn ut

\det(A)

ved kofaktorutvikling langs første rad:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

\det(A) = 2 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}

$= 2(3 \cdot 2 - 4 \cdot 0) - 1(0 \cdot 2 - 4 \cdot 5) + (-1)(0 \cdot 0 - 3 \cdot 5)$

$= 2 \cdot 6 - 1 \cdot (-20) + (-1)(-15) = 12 + 20 + 15 = 47$

Tips: Du kan utvikle langs kva som helst rad eller kolonne — vel den med flest nullar, så slepp du å rekne ut små minorar som likevel blir gonga med 0. Forteiknsmønsteret er:

$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$

📝Oppgave 2

Rekn ut determinanten ved å bruke Sarrus' regel eller kofaktorutvikling.

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 5 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 1 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Eigenskapar ved determinantar

Determinanten har fleire nyttige eigenskapar som vi kan bruke til å rekne raskare.

📜Eigenskapar ved determinantar

For kvadratiske matriser $A, B$ av same storleik:

1. $\det(I) = 1$
2. $\det\left(A^T\right) = \det(A)$
3. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$
4. $\det(kA) = k^n \det(A)$ for ei $n \times n$ -matrise og skalar $k$
5. $\displaystyle \det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)}$ (når $A^{-1}$ finst)
6. Viss to rader (eller kolonnar) er like, er $\det(A) = 0$
7. Viss ei heil rad eller kolonne er null, er $\det(A) = 0$
8. For ei triangulær (øvre eller nedre) matrise: $\det(A)$ = produktet av diagonalelementa

✏️Eksempel 4: Bruk av eigenskapar

La $\det(A) = 5$ og $\det(B) = -2$ , der $A$ og $B$ er $3 \times 3$ -matriser. Rekn ut:

a) $\det(AB)$

b) $\det(2A)$

c) $\det\left(A^{-1}\right)$

\det(AB) = \det(A) \det(B) = 5 \cdot (-2) = -10

b) Sidan $A$ er $3 \times 3$ , gjeld $\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \cdot 5 = 40$

c) $\displaystyle \det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{5}$

Invers matrise

For eit tal $a \neq 0$ veit vi at det finst eit tal $\displaystyle \frac{1}{a}$ slik at $\displaystyle a \cdot \frac{1}{a} = 1$ . Vi gjer det same for matriser.

Invers matrise

A

📜Når er

A

invertibel?

Ei kvadratisk matrise $A$ er invertibel viss og berre viss $\det(A) \neq 0$ .

- Viss $\det(A) = 0$ , blir $A$ kalla singulær og $A^{-1}$ finst ikkje.
- Viss $\det(A) \neq 0$ , blir $A$ kalla ikkje-singulær og $A^{-1}$ finst og er eintydig.

📜Invers av

2 \times 2

-matrise

For

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \text{med } \det(A) = ad - bc \neq 0,$

så er

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Hugs: byt $a$ og $d$ , byt forteikn på $b$ og $c$ , og del på determinanten.

✏️Eksempel 5: Invers av $2 \times 2$

Finn

A^{-1}

når

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

Verifiser at $AA^{-1} = I_2$ .

Determinant:

\det(A) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 10

Sidan $\det(A) \neq 0$ , finst $A^{-1}$ :

$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & -0{,}2 \\ -0{,}1 & 0{,}3 \end{pmatrix}$

Kontroll:

$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 12 - 2 & -6 + 6 \\ 4 - 4 & -2 + 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} = I_2 \checkmark$

✏️Eksempel 6: Matrise utan invers

Vis at

$B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

ikkje har ein invers.

\det(B) = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 12 - 12 = 0

Sidan $\det(B) = 0$ , er $B$ singulær og $B^{-1}$ finst ikkje.

Legg merke til at andre rad er $1{,}5 \cdot$ første rad — radene er proporsjonale, og matrisa «inneheld ikkje nok informasjon» til å vere invertibel.

📝Oppgave 3

Avgjer om matrisa er invertibel. Viss ja, finn $A^{-1}$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Å løyse likningssystem med invers matrise

Den viktigaste bruken av invers matrise er å løyse likningssett. Viss vi har systemet $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ og $A$ er invertibel, kan vi multiplisere på begge sider med $A^{-1}$ :

$A^{-1}A\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

$I \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

✏️Eksempel 7: Løyse likningssett via invers

Løys likningssystemet ved hjelp av invers matrise:

$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + 4y = 12 \end{cases}$

Vi skriv systemet på matriseform

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

med

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 12 \end{pmatrix}$

Frå eksempel 5 har vi $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ .

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 16 \\ 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 64 - 24 \\ -16 + 36 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 40 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Løysing: $x = 4$ og $y = 2$ .

Kontroll: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 12 + 4 = 16$ ✓ og $4 + 4 \cdot 2 = 12$ ✓.

📝Oppgave 4

Løys likningssettet ved hjelp av invers matrise.

\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x + 3y = 9 \end{cases}

\begin{cases} 4x - y = 7 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}

\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 5y = 13 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Kort om invers av $3 \times 3$ -matriser

For $3 \times 3$ - og større matriser blir formelen meir omfattande. Den vanlegaste metoden er Gauss-Jordan-eliminasjon: ein skriv $[A \,|\, I]$ ved sida av kvarandre og brukar radoperasjonar til venstre side blir $I$ . Då står $A^{-1}$ på høgre side.

Vi viser idéen med eitt eksempel. (Ein meir fullstendig gjennomgang av Gauss-eliminasjon kjem i kapittel 9.3.)

✏️Eksempel 8: Invers av $3 \times 3$ (Gauss-Jordan)

Finn

A^{-1}

når

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Vi set opp

[A \,|\, I]

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

For å få $0$ i posisjon $(1,3)$ tek vi rad 1 minus 2 gonger rad 3:

$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

Venstresida er no $I$ , så

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Kontroller: $A \cdot A^{-1} = I_3$ ✓.

I praksis: For større system brukar vi datamaskinar (Excel, Python, R, GeoGebra, kalkulator). Det viktige er at du kan tolke resultatet, og at du forstår når ein invers finst — nemleg når

\det(A) \neq 0

📝Oppgave 5

Rekn ut $\det(A)$ for $3 \times 3$ -matrisene. Er $A$ invertibel?

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Bruk i økonomi

Den inverse matrisa blir mellom anna brukt til å:

- Løyse likningssystem for likevektsprisar, optimal produksjon eller portefølje-allokering.
- Snu ein Leontief input-output-modell for å finne kor mykje totalproduksjon som trengst for ein gitt sluttetterspurnad (meir i kapittel 9.4).
- Sjekke om ein lineær modell er konsistent — null determinant indikerer at noko må endrast.

✏️Eksempel 9: Marknadslikevekt

Etterspurnaden (

Q_D

) og tilbodet (

Q_S

) etter eit produkt avheng av prisen

p

på produktet og prisen

q

på eit substitutt:

$Q_D = 100 - 2p + q$
$Q_S = -20 + 3p$

Med eit tilsvarande sett av likningar for substituttet endar vi (etter forenkling) opp med likningssettet

$\begin{cases} 5p - q = 120 \\ -p + 3q = 40 \end{cases}$

Finn likevektsprisane $p$ og $q$ ved å bruke invers matrise.

Skriv som

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

med

$A = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 120 \\ 40 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 15 - 1 = 14$

$A^{-1} = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 360 + 40 \\ 120 + 200 \end{pmatrix} = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 400 \\ 320 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 28{,}57 \\ 22{,}86 \end{pmatrix}$

Likevektsprisen for produktet er $p \approx 28{,}57$ og for substituttet $q \approx 22{,}86$ kr.

📝Oppgave 6

Ein produsent har to fabrikkar som produserer to varer. Etter ein kort analyse skal mengdene

x_1

(fabrikk 1) og

x_2

(fabrikk 2) tilfredsstille:

$\begin{cases} 4x_1 + 3x_2 = 200 \\ 2x_1 + 5x_2 = 200 \end{cases}$

Set opp $A$ og $\mathbf{b}$ .

Rekn ut $\det(A)$ .

Finn $A^{-1}$ .

Løys likningssettet.

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Determinantar og invers

Omgrep	Formel / Tolking
Det. $2 \times 2$	$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
Det. $3 \times 3$	Sarrus eller kofaktorutvikling
Triangulær	Produkt av diagonalen
$\det(A^T)$	$= \det(A)$
$\det(AB)$	$= \det(A)\det(B)$
$\det(kA)$	$= k^n \det(A)$ for $n \times n$
Invertibel?	$A^{-1}$ finst $\Leftrightarrow$ $\det(A) \neq 0$
$A^{-1}$ for $2 \times 2$	$\displaystyle \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
Løys $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$	$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ (når $A^{-1}$ finst)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Determinant: Eit tal rekna ut frå ei kvadratisk matrise.
- 2x2 og 3x3: $\det = ad - bc$ for 2x2; Sarrus' regel eller kofaktorutvikling for 3x3.
- Invertibilitet: Ei matrise er invertibel viss og berre viss determinanten ikkje er null.
- Invers matrise: Blir brukt til å løyse likningssystem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ .

Viktige formlar

\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Determinant	Tal frå ei kvadratisk matrise
Sarrus' regel	Determinant av 3x3-matrise
Invertibel	$\det(A) \neq 0$
Singulær	$\det(A) = 0$ , ingen invers

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

Determinanten til ei 3×33 \times 33×3-matrise

Eigenskapar ved determinantar

Invers matrise

Å løyse likningssystem med invers matrise

Kort om invers av 3×33 \times 33×3-matriser

Bruk i økonomi

Oppsummering

Viktige formlar

Nøkkelomgrep

Determinanten til ei $3 \times 3$ -matrise

Kort om invers av $3 \times 3$ -matriser