8.1 Antiderivert og ubestemt integral | Matematikk for økonomer

Antiderivert, integrasjonskonstant, standardformler og regneregler for ubestemte integraler.

50 min

16 oppgaver

AntiderivertUbestemt integralIntegrasjonskonstantStandardintegralerTotalkostnad

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Derivasjonsregler 5.3Derivasjon av spesielle funksjoner

Brukes videre i

8.2Bestemt integral og fundamentalteoremet

Når vi deriverer, går vi frå ein funksjon $F(x)$ til den deriverte $F'(x)$ . I dette kapittelet skal vi gjere det motsette: gitt ein funksjon $f(x)$ , finne ein funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = f(x)$ . Dette blir kalla antiderivasjon eller integrasjon, og er eit av dei viktigaste verktøya i økonomisk analyse.

I økonomi møter vi ofte grenseverdiar: grensekostnad $K'(x)$ , grenseinntekt $I'(x)$ og grensenytte $U'(x)$ . Antiderivasjon let oss gå motsett veg — frå grensekostnad tilbake til totalkostnad, frå grenseinntekt tilbake til total inntekt.

Antiderivert

F(x)

Legg merke til at $F(x) = x^2$ ikkje er den einaste antideriverte til $f(x) = 2x$ . Også $F(x) = x^2 + 5$ , $F(x) = x^2 - 17$ og generelt $F(x) = x^2 + C$ for ein kva som helst konstant $C$ , har derivert $2x$ . Dette fordi den deriverte av ein konstant alltid er null.

Vi får altså ein familie av antideriverte som skil seg frå kvarandre med ein konstant. Dette motiverer definisjonen av det ubestemte integralet.

Ubestemt integral

f(x)

Gløym aldri

+C

Når du skriv eit ubestemt integral, skal du alltid leggje til integrasjonskonstanten $+C$ . Utan denne har du berre angitt éin av uendeleg mange moglege antideriverte. På eksamen gir det poengtrekk å gløyme $C$ .

✏️Eksempel 1: Verifisere antiderivert

Vis at $\displaystyle F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x + 7$ er ein antiderivert til $f(x) = x^2 + 2$ .

Løysing:

Vi deriverer $F(x)$ og sjekkar at vi får $f(x)$ :

$F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot 1 + 0 = x^2 + 2 = f(x)$

Sidan $F'(x) = f(x)$ , er $F$ ein antiderivert til $f$ . Vi kan skrive

$\int (x^2 + 2)\,dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x + C$

📜Potensregelen for integrasjon

For alle reelle

n \neq -1

gjeld

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Merk: vi aukar eksponenten med 1 og deler på den nye eksponenten.

✏️Eksempel 2: Potensregelen

Rekn ut dei ubestemte integrala:

a) $\int x^4\,dx$

b) $\int \sqrt{x}\,dx$

c) $\displaystyle \int \frac{1}{x^3}\,dx$

Løysing:

a) Med $n = 4$ :
$\int x^4\,dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$

b) Vi skriv $\sqrt{x} = x^{1/2}$ . Med $n = \tfrac{1}{2}$ :
$\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$

c) Vi skriv $\displaystyle \frac{1}{x^3} = x^{-3}$ . Med $n = -3$ :
$\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

Kvifor

n \neq -1

Potensregelen krev $n \neq -1$ . Viss vi prøvde regelen med $n = -1$ , ville vi få $\displaystyle \frac{x^0}{0}$ , som er udefinert. For tilfellet $n = -1$ treng vi ein eigen regel: $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ .

📜Standardintegral

Dei viktigaste standardformlane er:

Integrand	Antiderivert
$\int k\,dx$	$kx + C$ (for konstant $k$ )
$\int x^n\,dx$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (for $n \neq -1$ )
$\int \dfrac{1}{x}\,dx$	$\ln\lvert x \rvert + C$
$\int e^x\,dx$	$e^x + C$
$\int e^{ax}\,dx$	$\dfrac{1}{a}e^{ax} + C$ (for $a \neq 0$ )
$\int a^x\,dx$	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$ (for $a>0$ , $a \neq 1$ )

✏️Eksempel 3: Logaritme og eksponentialfunksjonar

Rekn ut:

a) $\displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx$

b) $\int e^{0{,}05t}\,dt$

c) $\int 2^x\,dx$

Løysing:

a) $\int \frac{3}{x}\,dx = 3 \int \frac{1}{x}\,dx = 3\ln|x| + C$

b) Med $a = 0{,}05$ :
$\int e^{0{,}05t}\,dt = \frac{1}{0{,}05}e^{0{,}05t} + C = 20e^{0{,}05t} + C$

c) Med $a = 2$ :
$\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

📜Reknereglar for ubestemte integral

For to integrerbare funksjonar

f

g

og ein konstant

k

gjeld:

Konstantmultiplikasjon:
$\int k \cdot f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx$

Sumregelen:
$\int \bigl(f(x) + g(x)\bigr)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

Differanseregelen:
$\int \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx$

Merk at det ikkje finst ein tilsvarande enkel regel for produkt og kvotientar; desse krev eigne metodar (sjå kapittel 8.3).

✏️Eksempel 4: Integrere polynom

Rekn ut $\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$ .

Løysing:

Vi bruker sumregelen og konstantregelen, og integrerer kvart ledd separat:

$\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx = 6\int x^2\,dx - 4\int x\,dx + 5\int 1\,dx$

$= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = 2x^3 - 2x^2 + 5x + C$

Sjekk alltid svaret ved å derivere! Når du har funne

F(x)

skal

F'(x) = f(x)

. I eksempelet over:

\displaystyle \frac{d}{dx}(2x^3 - 2x^2 + 5x + C) = 6x^2 - 4x + 5

. Stemmer.

✏️Eksempel 5: Frå grensekostnad til totalkostnad

Ei bedrift har grensekostnad $K'(x) = 3x^2 + 20$ kroner per eining, og faste kostnader på $K(0) = 1000$ kroner. Finn totalkostnadsfunksjonen $K(x)$ .

Løysing:

Totalkostnaden er antiderivert til grensekostnaden:

$K(x) = \int K'(x)\,dx = \int (3x^2 + 20)\,dx = x^3 + 20x + C$

For å finne $C$ bruker vi at $K(0) = 1000$ :

$K(0) = 0^3 + 20 \cdot 0 + C = C = 1000$

Altså er totalkostnadsfunksjonen

$K(x) = x^3 + 20x + 1000$

Økonomisk tolking: Integrasjonskonstanten $C$ svarar her til dei faste kostnadene — kostnadene som påløper sjølv om produksjonsmengda er null.

I økonomisk bruk har integrasjonskonstanten $C$ ofte ei konkret tolking. For kostnadsfunksjonar svarar $C$ til faste kostnader. For nyttefunksjonar kan $C$ tolkast som ein baseline-nytte. Som regel blir det oppgitt eit vilkår — til dømes $K(0) = 1000$ — som let oss bestemme $C$ eintydig.

✏️Eksempel 6: Frå grenseinntekt til total inntekt

Ein produsent har grenseinntekt $I'(x) = 200 - 4x$ kroner per eining ved eit sal på $x$ einingar. Det er inga inntekt når ingenting blir selt, slik at $I(0) = 0$ . Finn inntektsfunksjonen $I(x)$ , og rekn ut inntekta ved eit sal på $x = 30$ einingar.

Løysing:

Vi integrerer grenseinntekta:

$I(x) = \int (200 - 4x)\,dx = 200x - 2x^2 + C$

Vilkåret $I(0) = 0$ gir $C = 0$ , så

$I(x) = 200x - 2x^2$

Ved $x = 30$ :

$I(30) = 200 \cdot 30 - 2 \cdot 30^2 = 6000 - 1800 = 4200 \text{ kroner}$

📝Oppgave 1

Rekn ut dei ubestemte integrala

\int x^5\,dx

\int 7\,dx

\int x^{-4}\,dx

\int \sqrt[3]{x}\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Rekn ut

\int (4x^3 + 2x)\,dx

\int (6x^2 - 8x + 3)\,dx

\int (10 - 5x^4)\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Rekn ut

\displaystyle \int \frac{5}{x}\,dx

\int e^x\,dx

\int e^{2x}\,dx

\int e^{-0{,}1t}\,dt

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Rekn ut

\displaystyle \int \left(x^2 + \frac{1}{x}\right)\,dx

\int (3e^x - 2x)\,dx

\displaystyle \int \left(\sqrt{x} + \frac{2}{x^2}\right)\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Bestem antiderivert som tilfredsstiller det gitte vilkåret

Finn $F(x)$ slik at $F'(x) = 2x + 3$ og $F(0) = 5$ .

Finn $F(x)$ slik at $F'(x) = 4x^3 - 1$ og $F(1) = 2$ .

Finn $F(x)$ slik at $F'(x) = e^x$ og $F(0) = 3$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Grensekostnad og totalkostnad

Ei bedrift har grensekostnad $K'(x) = 4x + 50$ . Dei faste kostnadene er 2000 kroner. Finn $K(x)$ .

Kva er totalkostnaden ved produksjon av 20 einingar?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Grenseinntekt og inntekt

Grenseinntekta er $I'(x) = 300 - 6x$ kroner per eining, og $I(0) = 0$ . Finn $I(x)$ .

Rekn ut inntekta ved eit sal på 25 einingar.

Ved kva sal er grenseinntekta lik null?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Grensenytte og total nytte

Grensenytta til ein konsument av ei vare er $\displaystyle U'(x) = \frac{100}{x}$ for $x > 0$ . Nytta ved $x = 1$ er $U(1) = 0$ . Finn $U(x)$ .

Rekn ut total nytte ved $x = 10$ (gi svar med to desimalar).

Ei anna vare har grensenytte $U'(x) = 50e^{-0{,}2x}$ og $U(0) = 0$ . Finn $U(x)$ .

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Antiderivert og ubestemt integral

Omgrep / regel	Formel
Antiderivert	$F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F$ antiderivert til $f$
Ubestemt integral	$\int f(x)\,dx = F(x) + C$
Konstant	$\int k\,dx = kx + C$
Potens ( $n \neq -1$ )	$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$1/x$	$\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x \rvert + C$
Eksponential	$\int e^x\,dx = e^x + C$
Skalert eksponential	$\int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax} + C$
Generelt grunntal	$\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$
Konstantmultiplikasjon	$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$
Sumregelen	$\int (f+g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$
Økonomisk tolking	$K(x) = \int K'(x)\,dx$ , $I(x) = \int I'(x)\,dx$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Antiderivert: $F(x)$ er antiderivert til $f(x)$ viss $F'(x) = f(x)$ .
- Ubestemt integral: Mengda av alle antideriverte, $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ .
- Potensregelen for integrasjon: Auk eksponenten med 1 og del på den nye.
- Reknereglar: Konstantmultiplikasjon og sumregel.

Viktige formlar

\int f(x)\,dx = F(x) + C, \qquad \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \;\;(n \neq -1)

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Antiderivert	$F'(x) = f(x)$
Ubestemt integral	$\int f(x)\,dx = F(x) + C$
Integrasjonskonstant	$C$
Potensregelen	$\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1) + C$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.