8.2 Bestemt integral og fundamentalteoremet | Matematikk for økonomer

Riemann-summer, bestemt integral, fundamentalteoremet (Newton-Leibniz) og areal mellom kurver.

55 min

16 oppgaver

Bestemt integralFundamentalteoremetRiemann-sumAreal under grafAreal mellom kurver

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Antiderivert og ubestemt integral

Brukes videre i

8.3Integrasjonsmetoder

I forrige kapittel lærte vi å finne antideriverte. I dette kapittelet skal vi se hvordan antideriverte brukes til å regne ut bestemte integraler, som blant annet representerer arealet under en graf og den akkumulerte effekten av en grensestørrelse over et intervall.

For eksempel: hvis $K'(x)$ er grensekostnaden, hva er den totale ekstrakostnaden ved å øke produksjonen fra $x = 100$ til $x = 200$ ? Svaret finner vi via et bestemt integral.

Tenk deg at vi vil beregne arealet under grafen til en kontinuerlig funksjon

f(x) \geq 0

fra

x = a

til

x = b

. Vi deler intervallet

[a, b]

inn i

n

like brede biter med bredde

\displaystyle \Delta x = \frac{b - a}{n}

og tilnærmer arealet ved en sum av rektangler:

$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x$

Når $n \to \infty$ blir tilnærmingen perfekt. Denne grenseverdien kalles Riemann-summen og definerer det bestemte integralet.

Bestemt integral

f

Mens det ubestemte integralet $\int f(x)\,dx$ er en funksjon (familie av antideriverte), er det bestemte integralet $\int_a^b f(x)\,dx$ et tall. Det er denne forskjellen som gjør at vi ikke trenger $+C$ ved bestemte integraler — konstanten kanselleres.

📜Fundamentalteoremet for kalkulus (Newton-Leibniz)

f

være kontinuerlig på

[a, b]

, og la

F

være en antiderivert til

f

(altså

F'(x) = f(x)

). Da gjelder

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Vi skriver dette ofte kompakt som
$\int_a^b f(x)\,dx = \Bigl[F(x)\Bigr]_a^b = F(b) - F(a)$

Dette teoremet knytter sammen derivasjon og integrasjon, og er grunnsteinen i hele integralregningen.

✏️Eksempel 1: Bruk av fundamentalteoremet

Regn ut $\int_1^3 x^2\,dx$ .

Løsning:

Vi finner først en antiderivert til $f(x) = x^2$ :

$F(x) = \frac{x^3}{3}$

Vi trenger ikke å ta med $+C$ siden den uansett vil kanselleres ut. Vi bruker fundamentalteoremet:

$\int_1^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$

Geometrisk er dette arealet under parabelen $y = x^2$ fra $x = 1$ til $x = 3$ .

✏️Eksempel 2: Polynom

Regn ut $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx$ .

Løsning:

Vi finner antiderivert ledd for ledd:

$F(x) = x^3 - 2x^2 + x$

Deretter setter vi inn grensene:

$\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx = \Bigl[x^3 - 2x^2 + x\Bigr]_0^2$

$= (2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2) - (0 - 0 + 0) = (8 - 8 + 2) - 0 = 2$

📜Egenskaper ved bestemte integraler

For kontinuerlige funksjoner

f

g

og konstanter

a, b, c, k

gjelder:

Nullintervall:
$\int_a^a f(x)\,dx = 0$

Bytting av grenser:
$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$

Additivitet (oppdeling):
$\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$

Linearitet:
$\int_a^b \bigl(k_1 f(x) + k_2 g(x)\bigr)\,dx = k_1 \int_a^b f(x)\,dx + k_2 \int_a^b g(x)\,dx$

✏️Eksempel 3: Eksponential og logaritme

Regn ut:

a) $\int_0^2 e^x\,dx$

b) $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x}\,dx$

Løsning:

a) Antiderivert til $e^x$ er $e^x$ :
$\int_0^2 e^x\,dx = \Bigl[e^x\Bigr]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}389$

b) Antiderivert til $\displaystyle \frac{1}{x}$ er $\ln|x|$ . På intervallet $[1, e]$ er $x > 0$ :
$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Bigl[\ln x\Bigr]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

Når funksjonen er negativ

Hvis

f(x) < 0

på et intervall, gir det bestemte integralet en negativ verdi. Dette gjenspeiler at arealet ligger under x-aksen.

Hvis funksjonen veksler fortegn på intervallet, må du dele opp og ta absoluttverdi hvis du vil ha det geometriske arealet:

$\text{Areal} = \int_a^b |f(x)|\,dx$

✏️Eksempel 4: Funksjon med fortegnsskifte

Regn ut $\int_0^3 (x^2 - 4)\,dx$ og finn det geometriske arealet mellom grafen og x-aksen på intervallet $[0, 3]$ .

Løsning:

Verdien av integralet: Antiderivert er $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x$ .

$\int_0^3 (x^2 - 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^3 = (9 - 12) - 0 = -3$

Geometrisk areal: Funksjonen $x^2 - 4$ er negativ på $[0, 2]$ (siden $x^2 < 4$ ) og positiv på $[2, 3]$ . Vi deler opp:

$A = -\int_0^2 (x^2 - 4)\,dx + \int_2^3 (x^2 - 4)\,dx$

$\displaystyle \int_0^2 (x^2 - 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$

$\displaystyle \int_2^3 (x^2 - 4)\,dx = (9 - 12) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

$A = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$

Areal mellom to kurver

f

✏️Eksempel 5: Areal mellom to kurver

Finn arealet av området avgrenset av grafene til $f(x) = 4 - x^2$ og $g(x) = x^2 - 2x$ .

Løsning:

Steg 1: Skjæringspunkter. Vi setter $f(x) = g(x)$ :

$4 - x^2 = x^2 - 2x \Leftrightarrow 2x^2 - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$ , så $x = -1$ eller $x = 2$ .

Steg 2: Bestem hvilken er øverst. Ved $x = 0$ : $f(0) = 4$ og $g(0) = 0$ , så $f \geq g$ på $[-1, 2]$ .

Steg 3: Integrer differansen.

$A = \int_{-1}^{2} \bigl((4 - x^2) - (x^2 - 2x)\bigr)\,dx = \int_{-1}^{2} (4 - 2x^2 + 2x)\,dx$

$= \left[4x - \frac{2x^3}{3} + x^2\right]_{-1}^{2}$

$\displaystyle F(2) = 8 - \frac{16}{3} + 4 = 12 - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}$

$\displaystyle F(-1) = -4 + \frac{2}{3} + 1 = -3 + \frac{2}{3} = -\frac{7}{3}$

$A = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9$

✏️Eksempel 6: Totalkostnad fra grensekostnad

En bedrift har grensekostnad $K'(x) = 3x^2 + 10$ (kroner per enhet). Hvor mye øker totalkostnaden ved en produksjonsøkning fra 5 til 15 enheter?

Løsning:

Endringen i totalkostnad er det bestemte integralet av grensekostnaden:

$\Delta K = \int_5^{15} K'(x)\,dx = \int_5^{15} (3x^2 + 10)\,dx$

$= \Bigl[x^3 + 10x\Bigr]_5^{15} = (15^3 + 150) - (5^3 + 50)$

$= (3375 + 150) - (125 + 50) = 3525 - 175 = 3350$

Tolkning: Det koster bedriften ytterligere 3350 kroner å øke produksjonen fra 5 til 15 enheter.

Økonomisk tolkning av bestemte integraler:

- $\int_a^b K'(x)\,dx = K(b) - K(a)$ : total kostnadsøkning fra $a$ til $b$ enheter
- $\int_a^b I'(x)\,dx = I(b) - I(a)$ : total inntektsøkning
- $\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,dt$ : akkumulert mengde over tidsperioden $[t_1, t_2]$ når $f(t)$ er en rate (f.eks. inntekt per tidsenhet)

✏️Eksempel 7: Akkumulert inntekt over tid

En bedrift mottar inntekter med rate $r(t) = 50e^{0{,}04t}$ tusen kroner per år, der $t$ er år fra i dag. Hvor mye inntekt akkumulerer bedriften de neste 10 årene?

Løsning:

Total akkumulert inntekt er

$\int_0^{10} 50e^{0{,}04t}\,dt = 50 \cdot \frac{1}{0{,}04}\Bigl[e^{0{,}04t}\Bigr]_0^{10} = 1250\bigl(e^{0{,}4} - 1\bigr)$

Med $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$ :

$\approx 1250 \cdot 0{,}4918 \approx 614{,}8 \text{ tusen kroner}$

Bedriften akkumulerer altså omtrent 614 800 kroner i inntekt over de neste 10 årene.

📝Oppgave 1

Regn ut de bestemte integralene

\int_0^1 x^2\,dx

\int_1^4 2x\,dx

\int_0^3 5\,dx

\int_{-1}^{1} (x^2 + 1)\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Regn ut

\int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx

\int_1^2 (4x^3 - 6x)\,dx

\int_0^1 (e^x - 1)\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Regn ut

\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx

\int_0^1 e^{2x}\,dx

\int_1^4 \sqrt{x}\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Bruk egenskapene

Gitt $\int_0^4 f(x)\,dx = 12$ og $\int_4^7 f(x)\,dx = 5$ . Finn $\int_0^7 f(x)\,dx$ .

Gitt $\int_a^b f(x)\,dx = 8$ . Finn $\int_b^a f(x)\,dx$ .

Gitt $\int_1^5 f(x)\,dx = 10$ og $\int_1^5 g(x)\,dx = 4$ . Finn $\int_1^5 (3f(x) - 2g(x))\,dx$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Areal under graf

Finn arealet under grafen til $f(x) = 6x - x^2$ fra $x = 0$ til $x = 6$ .

Finn arealet under grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ fra $x = 1$ til $x = e^2$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Areal mellom to kurver

Finn arealet av området avgrenset av $f(x) = x + 2$ og $g(x) = x^2$ på intervallet hvor de skjærer hverandre.

Finn arealet mellom $f(x) = x^3$ og $g(x) = x$ på $[0, 1]$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Grensekostnad og total kostnadsendring

En bedrift har grensekostnad $K'(x) = 4x + 20$ kroner per enhet. Hvor mye øker totalkostnaden når produksjonen øker fra 10 til 25 enheter?

Grenseinntekten er $I'(x) = 200 - 2x$ . Hva er endringen i inntekt når salget øker fra 20 til 50 enheter?

Hva er endringen i overskudd $O(x) = I(x) - K(x)$ når produksjon og salg øker fra 20 til 50, gitt grensestørrelsene i a) og b)?

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 8

Akkumulert inntekt og kostnadsstrøm

En investering gir kontantstrøm med rate $r(t) = 80e^{0{,}03t}$ tusen kroner per år. Hvor stor inntekt akkumuleres de første 5 årene? Gi svar avrundet til nærmeste hele tusen.

En kostnadsstrøm har rate $c(t) = 30 + 2t$ kroner per dag. Hva er totalkostnaden over første 30 dager?

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Bestemt integral

Begrep / regel	Formel
Definisjon	$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$
Fundamentalteoremet	$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
Nullintervall	$\int_a^a f(x)\,dx = 0$
Bytting	$\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$
Additivitet	$\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$
Linearitet	$\int_a^b (kf+lg)\,dx = k\int_a^b f\,dx + l\int_a^b g\,dx$
Areal mellom kurver	$A = \int_a^b (f(x)-g(x))\,dx$ ( $f \geq g$ )
Endring fra grensestørrelse	$\int_a^b K'(x)\,dx = K(b)-K(a)$
Akkumulert mengde	$\int_{t_1}^{t_2} r(t)\,dt$ ( $r$ er rate)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Bestemt integral: Grensen av en sum; gir areal under grafen.
- Fundamentalteoremet: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .
- Areal mellom kurver: Integralet av differansen mellom øvre og nedre kurve.
- Økonomisk tolkning: Integralet av en grensefunksjon gir total endring.

Viktige formler

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

A = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Bestemt integral	Areal under grafen fra $a$ til $b$
Fundamentalteoremet	$\int_a^b f = F(b) - F(a)$
Areal mellom kurver	Integral av differansen
Integrasjonsgrenser	$a$ og $b$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.