8.3 Integrasjonsmetoder | Matematikk for økonomer

Substitusjon (variabelskift) og delvis integrasjon, med LIATE-regelen som veiledning.

60 min

18 oppgaver

SubstitusjonDelvis integrasjonLIATEVariabelskift

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.2Bestemt integral og fundamentalteoremet

Brukes videre i

8.4Økonomiske anvendelser av integral

Standardformlene i kapittel 8.1 dekker bare et begrenset utvalg integraler. Mange integraler vi møter i økonomi krever spesielle teknikker. I dette kapittelet skal vi lære to grunnleggende integrasjonsmetoder:

1. Substitusjon (variabelskift) — den omvendte av kjerneregelen for derivasjon.
2. Delvis integrasjon — den omvendte av produktregelen for derivasjon.

Med disse to teknikkene kan vi løse de aller fleste integraler man møter på MET 1180.

Del 1: Substitusjon (variabelskift)

Når vi deriverer en sammensatt funksjon $F(g(x))$ med kjerneregelen, får vi $F'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Substitusjon er den omvendte prosessen: vi gjenkjenner et integral på formen $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ og forenkler det ved å sette $u = g(x)$ .

📜Substitusjon (variabelskift)

u = g(x)

være en deriverbar funksjon. Da gjelder

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

Vi setter altså $u = g(x)$ og $du = g'(x)\,dx$ — og uttrykker hele integralet i den nye variabelen $u$ . Etter integrasjon substituerer vi tilbake $u = g(x)$ .

For bestemte integraler: Husk å oppdatere grensene! Hvis $u = g(x)$ , så går $u$ fra $g(a)$ til $g(b)$ når $x$ går fra $a$ til $b$ :
$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$

✏️Eksempel 1: Lineær substitusjon

Regn ut $\int (3x + 2)^5\,dx$ .

Løsning:

Vi setter $u = 3x + 2$ . Da er $\displaystyle \frac{du}{dx} = 3$ , altså $du = 3\,dx$ , som gir $\displaystyle dx = \frac{du}{3}$ .

Vi substituerer:

$\int (3x + 2)^5\,dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^5\,du$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{18} + C$

Til slutt substituerer vi tilbake $u = 3x + 2$ :

$\int (3x + 2)^5\,dx = \frac{(3x + 2)^6}{18} + C$

Sjekk: Deriver med kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{(3x+2)^6}{18}\right] = \frac{6(3x+2)^5 \cdot 3}{18} = (3x+2)^5$ . ✓

✏️Eksempel 2: Substitusjon med eksponential

Regn ut $\int x e^{x^2}\,dx$ .

Løsning:

Vi observerer at $x^2$ deriverer til $2x$ , og vi har en faktor $x$ utenfor eksponenten. Sett $u = x^2$ . Da er $du = 2x\,dx$ , altså $\displaystyle x\,dx = \frac{du}{2}$ .

$\int x e^{x^2}\,dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^u + C$

Substituerer tilbake:

$\int x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

✏️Eksempel 3: Substitusjon med logaritme

Regn ut $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx$ .

Løsning:

Vi setter $u = x^2 + 1$ . Da er $du = 2x\,dx$ , altså nøyaktig telleren.

$\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$

Siden $x^2 + 1 > 0$ alltid, slipper vi absoluttverdien:

$\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$

Når kan substitusjon brukes? Se etter en "indre funksjon"

u = g(x)

slik at den deriverte

g'(x)

også opptrer (kanskje med en konstant) i integranden. Typiske mønstre:

- Polynom $g(x)$ i potens, gange med $g'(x)$
- $e^{g(x)}$ gange med $g'(x)$
- $\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}$ (gir $\ln|g(x)|$ )
- $\sqrt{g(x)} \cdot g'(x)$

✏️Eksempel 4: Bestemt integral med substitusjon

Regn ut $\int_0^1 x(x^2 + 1)^3\,dx$ .

Løsning:

Sett $u = x^2 + 1$ . Da er $du = 2x\,dx$ , altså $\displaystyle x\,dx = \frac{du}{2}$ .

Bytt grenser: Når $x = 0$ , er $u = 0^2 + 1 = 1$ . Når $x = 1$ , er $u = 1^2 + 1 = 2$ .

$\int_0^1 x(x^2 + 1)^3\,dx = \int_1^2 u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2$

$= \frac{1}{8}(16 - 1) = \frac{15}{8}$

Del 2: Delvis integrasjon

Produktregelen for derivasjon sier at $(uv)' = u'v + uv'$ . Integrerer vi begge sider, får vi $uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx$ , som gir formelen for delvis integrasjon.

📜Delvis integrasjon

For to deriverbare funksjoner

u(x)

v(x)

gjelder

\int u(x) \cdot v'(x)\,dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x)\,dx

Dette skrives ofte kompakt som
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Idéen er å bytte integralet med ett som er enklere. Det krever lurt valg av $u$ og $v'$ .

LIATE-regelen — hvilken faktor skal være $u$ ?

Når du har et produkt av to faktorer, velg $u$ som det som kommer først i listen:

- Logaritmer ( $\ln x$ )
- Inverse trigfunksjoner
- Algebraiske uttrykk (polynomer som $x$ , $x^2$ )
- Trigonometriske funksjoner
- Eksponentialfunksjoner ( $e^x$ , $2^x$ )

Den andre faktoren (lenger ned i listen) blir $v'$ .

✏️Eksempel 5:

x \cdot e^x

Regn ut $\int x e^x\,dx$ .

Løsning:

LIATE: Algebraisk ( $x$ ) før Eksponential ( $e^x$ ). Vi velger

$u = x, \quad v' = e^x$

Da er $u' = 1$ og $v = e^x$ . Formel:

$\int x e^x\,dx = \underbrace{x \cdot e^x}_{uv} - \int \underbrace{1 \cdot e^x}_{u'v}\,dx = xe^x - e^x + C$

$= (x - 1)e^x + C$

Sjekk: $\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl((x-1)e^x\bigr) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$ . ✓

✏️Eksempel 6:

x \cdot \ln x

Regn ut $\int x \ln x\,dx$ .

Løsning:

LIATE: Logaritme før Algebraisk. Vi velger

$u = \ln x, \quad v' = x$

Da er $\displaystyle u' = \frac{1}{x}$ og $\displaystyle v = \frac{x^2}{2}$ .

$\int x \ln x\,dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2}\,dx$

$= \frac{x^2 \ln x}{2} - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C$

✏️Eksempel 7:

\ln x

alene

Regn ut $\int \ln x\,dx$ .

Løsning:

Vi har bare én faktor, men kan likevel bruke delvis integrasjon ved å tenke på integranden som $1 \cdot \ln x$ :

$u = \ln x, \quad v' = 1$

$\displaystyle u' = \frac{1}{x}$ , $v = x$ .

$\int \ln x\,dx = \ln x \cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x\,dx = x \ln x - \int 1\,dx$

$= x \ln x - x + C$

Dette er et viktig standardresultat — verdt å huske.

✏️Eksempel 8: Polynom og eksponential

Regn ut $\int x^2 e^x\,dx$ . Tips: Bruk delvis integrasjon to ganger.

Løsning:

Første gang: $u = x^2$ , $v' = e^x$ . Da $u' = 2x$ , $v = e^x$ .

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx = x^2 e^x - 2\int x e^x\,dx$

Fra eksempel 5 vet vi at $\int x e^x\,dx = (x-1)e^x$ , så

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2(x-1)e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Hva hvis vi velger feil?

Hvis du velger $u$ og $v'$ slik at det nye integralet $\int v\,du$ er vanskeligere enn det opprinnelige, har du valgt feil. Prøv da motsatt valg. LIATE-regelen er en god rettesnor, men ikke alltid absolutt — øvelse gir innsikt.

✏️Eksempel 9: Anvendelse i økonomi

En bedrift har grenseinntekt $I'(x) = (100 - x)e^{-0{,}05x}$ . Finn inntektsfunksjonen $I(x)$ med $I(0) = 0$ .

Løsning:

Vi må beregne $I(x) = \int (100 - x)e^{-0{,}05x}\,dx$ .

Delvis integrasjon: $u = 100 - x$ (algebraisk), $v' = e^{-0{,}05x}$ .

$u' = -1$ , og $v = \int e^{-0{,}05x}\,dx = -20e^{-0{,}05x}$ .

$I(x) = (100-x)(-20e^{-0{,}05x}) - \int (-1)(-20e^{-0{,}05x})\,dx$

$= -20(100-x)e^{-0{,}05x} - 20\int e^{-0{,}05x}\,dx$

$= -20(100-x)e^{-0{,}05x} - 20 \cdot (-20)e^{-0{,}05x} + C$

$= -20(100-x)e^{-0{,}05x} + 400 e^{-0{,}05x} + C$

$= e^{-0{,}05x}\bigl(-20(100-x) + 400\bigr) + C = e^{-0{,}05x}(20x - 1600) + C$

Fra $I(0) = -1600 + C = 0$ får vi $C = 1600$ :

$I(x) = e^{-0{,}05x}(20x - 1600) + 1600$

📝Oppgave 1

Bruk substitusjon

\int (2x + 5)^3\,dx

\int (4x - 1)^7\,dx

\int e^{5x}\,dx

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Substitusjon med eksponential

\int x e^{x^2}\,dx

\int 3x^2 e^{x^3}\,dx

\int 2x e^{-x^2}\,dx

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Substitusjon som gir logaritme

\displaystyle \int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx

\displaystyle \int \frac{3x^2}{x^3 + 1}\,dx

\displaystyle \int \frac{1}{2x + 1}\,dx

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Bestemte integraler med substitusjon

\int_0^2 x(x^2 + 1)^2\,dx

\int_0^1 e^{2x}\,dx

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Delvis integrasjon — grunnleggende

\int x e^{2x}\,dx

\int x \ln x\,dx

\int \ln x\,dx

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Delvis integrasjon — utvidet

\int x^2 \ln x\,dx

\int x e^{-x}\,dx

\int x^2 e^{-x}\,dx

(Tips: to ganger delvis integrasjon.)

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Velg riktig metode

\int 2x \sqrt{x^2 + 3}\,dx

\int x \ln(x^2)\,dx

\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 8

Økonomiske anvendelser

Grensekostnad $K'(x) = 10x e^{0{,}1 x^2}$ . Bestem antiderivert $K(x)$ med $K(0) = 500$ .

Grenseinntekt $I'(x) = x e^{-0{,}1 x}$ . Finn $I(x)$ med $I(0) = 0$ .

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Integrasjonsmetoder

Metode	Formel / regel
Substitusjon (ubestemt)	$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ , $u = g(x)$
Substitusjon (bestemt)	$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$
Delvis integrasjon	$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
LIATE	Velg $u$ : Logaritme, Invers trig, Algebraisk, Trig, Eksponential
Standard	$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$
Standard	$\displaystyle \int xe^{ax}\,dx = \frac{(ax-1)e^{ax}}{a^2} + C$
Standard	$\displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln\lvert g(x) \rvert + C$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Substitusjon: Den omvendte av kjerneregelen; sett $u = g(x)$ og $du = g'(x)\,dx$ .
- Delvis integrasjon: Den omvendte av produktregelen.
- LIATE-regelen: Hjelper deg å velge hvilken faktor som skal være $u$ .
- Anvendelse: Metodene utvider hvilke integraler vi kan løse.

Viktige formler

\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

\int u v'\,dx = uv - \int u' v\,dx

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Substitusjon	Variabelskift $u = g(x)$
Delvis integrasjon	Omvendt produktregel
LIATE	Regel for valg av $u$
Indre funksjon	$u = g(x)$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.