6.4 Etterspørsel og priselastisitet | Matematikk for økonomer

Etterspørselsfunksjoner, priselastisitet, elastisk og uelastisk etterspørsel.

55 min

16 oppgaver

EtterspørselPriselastisitetElastiskUelastiskOptimal prissetting

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Derivasjonsregler

Brukes videre i

6.5Markedslikevekt

Kor mykje konsumentane vil kjøpe av ei vare avheng av prisen. Samanhengen mellom pris og selt mengd blir skildra av ein etterspurnadsfunksjon. Kor følsam etterspurnaden er for prisendringar blir kalla priselastisitet og er eit av dei viktigaste verktøya ei bedrift har når ho skal setje rett pris.

Etterspurnad og inntektsfunksjon

Endre koeffisientane i den lineære etterspurnadsfunksjonen og sjå korleis inntektsfunksjonen ($p \cdot x$) får ei parabel-form med maksimum.

x(p) = a - bp

I(p) = p \cdot x(p)

a

(skjæring)

b

(helning)

0,5

Etterspurnadsfunksjon

x(p)

✏️Lineær etterspurnad

Ei bedrift sel ei vare med etterspurnadsfunksjon $x(p) = 100 - 2p$ .

a) Kor mange einingar blir selde ved $p = 30$ ?
b) Kva pris gir null etterspurnad?

x(30) = 100 - 2 \cdot 30 = 40

einingar.

b) Vi løyser $x(p) = 0$ :
$100 - 2p = 0 \Rightarrow p = 50$

Ved pris over 50 kr vil ingen kjøpe vara.

Tenk deg at du er bedriftsleiar og vurderer ein prisauke. Du må vite kor mykje etterspurnaden søkk. Ser du berre på den deriverte $x'(p)$ , får du eit tal i einingar per krone, og det er vanskeleg å samanlikne på tvers av varer. Elastisitet løyser dette ved å måle den prosentvise endringa i etterspurnad for kvar prosent prisen aukar.

Priselastisitet

x(p)

Elastisk og uelastisk etterspurnad

|E_p|

✏️Rekne ut priselastisitet

Etterspurnaden er $x(p) = 100 - 2p$ . Finn elastisiteten ved $p = 20$ og tolk svaret.

Steg 1 — rekn ut etterspurnaden:

x(20) = 100 - 2 \cdot 20 = 60

Steg 2 — deriver:
$x'(p) = -2$

Steg 3 — set inn i formelen:
$E_p = \frac{20}{60} \cdot (-2) = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67$

$\displaystyle |E_p| = \frac{2}{3} < 1$ , så etterspurnaden er uelastisk ved $p = 20$ .

Tolking: Viss prisen aukar frå 20 kr med 1 %, søkk etterspurnaden med ca. 0,67 %.

Sjølv om $x(p) = a - bp$ har konstant derivert $x'(p) = -b$ , varierer elastisiteten med prisen. Ved låge prisar er etterspurnaden ofte uelastisk, og ved høge prisar elastisk. Det finst alltid ein pris der $|E_p| = 1$ , og denne prisen ligg midt mellom $p = 0$ og prisen der $x(p) = 0$ .

📜Elastisitet og inntekt

Lat

I(p) = p \cdot x(p)

vere inntektsfunksjonen. Då gjeld:

I'(p) = x(p) \cdot (1 + E_p)

Derfor:
- Uelastisk ( $|E_p| < 1$ ): Prisauke gir høgare inntekt
- Elastisk ( $|E_p| > 1$ ): Prisauke gir lågare inntekt
- Einingselastisk ( $|E_p| = 1$ ): Inntekta er maksimal

Kvifor? Vi deriverer

I(p) = p \cdot x(p)

med produktregelen:

I'(p) = x(p) + p \cdot x'(p) = x(p)\left(1 + \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p)\right) = x(p)(1 + E_p)

Sidan $x(p) > 0$ , har $I'(p)$ same forteikn som $1 + E_p$ . Inntekta aukar når $E_p > -1$ (uelastisk), og søkk når $E_p < -1$ (elastisk). Maksimum blir altså nådd når $E_p = -1$ , det vil seie $|E_p| = 1$ .

✏️Inntekt og optimal pris

Etterspurnaden er $x(p) = 200 - 4p$ . Ved kva pris er inntekta maksimal, og kva er den maksimale inntekta?

Inntektsfunksjonen:

I(p) = p \cdot x(p) = p(200 - 4p) = 200p - 4p^2

Deriverer og set lik null:
$I'(p) = 200 - 8p = 0 \Rightarrow p = 25$

Sjekk at det er maksimum:
$I''(p) = -8 < 0$ ✓

Maksimal inntekt:
$I(25) = 25 \cdot (200 - 100) = 25 \cdot 100 = 2500$

Sjekk via elastisitet:
$x(25) = 100$ , $x'(p) = -4$
$\displaystyle E_p = \frac{25}{100} \cdot (-4) = -1$

$|E_p| = 1$ ved optimal pris, akkurat som teoremet seier. Maksimal inntekt er 2500 kr.

✏️Konstant elastisitet

Etterspurnaden er $x(p) = \dfrac{1000}{p^2}$ for $p > 0$ . Finn elastisiteten.

Skriv

x(p) = 1000 p^{-2}

. Då er

x'(p) = -2000 p^{-3} = -\dfrac{2000}{p^3}

$E_p = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p) = \frac{p}{1000/p^2} \cdot \left(-\frac{2000}{p^3}\right) = \frac{p^3}{1000} \cdot \left(-\frac{2000}{p^3}\right) = -2$

Elastisiteten er konstant lik $-2$ for alle prisar. Etterspurnaden er alltid elastisk: 1 % prisauke gir 2 % nedgang i etterspurnad. Ein prisauke vil derfor alltid redusere inntekta.

- Bedrifter med uelastiske varer (medisin, straum, sigarettar) kan auke prisen og få høgare inntekt
- Bedrifter med elastiske varer (fly, restaurantar, klede) bør vere forsiktige med prisaukar fordi dei raskt mistar kundar
- Styresmaktene bruker elastisiteten når dei vurderer avgifter: høg avgift på uelastiske varer gir mest skatteinntekt

📝Oppgave 1

Etterspurnaden er $x(p) = 80 - 0{,}5p$ .

Finn etterspurnaden ved $p = 40$ .

Finn elastisiteten ved $p = 40$ .

Er etterspurnaden elastisk eller uelastisk ved $p = 40$ ?

Ved kva pris er $|E_p| = 1$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Etterspurnaden for ei vare er $x(p) = 300 - 5p$ .

Set opp inntektsfunksjonen $I(p)$ .

Finn prisen som maksimerer inntekta.

Kva er den maksimale inntekta?

Vis at $|E_p| = 1$ ved den optimale prisen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Ei vare har etterspurnadsfunksjon $x(p) = \dfrac{500}{p}$ for $p > 0$ .

Finn $x'(p)$ .

Vis at elastisiteten er konstant og lik $-1$ .

Kva tyder dette for inntekta?

📝Oppgave 4

Sal av kinobillettar har etterspurnadsfunksjon $x(p) = 1000 - 4p^2$ for $0 \leq p \leq 15$ .

Finn $x'(p)$ .

Rekn ut elastisiteten ved $p = 10$ .

Er etterspurnaden elastisk eller uelastisk ved $p = 10$ ? Kva tyder dette for kinoeigaren viss ho vurderer å auke prisen?

Finn prisen som maksimerer inntekta (oppgi to desimalar).

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Etterspurnadsfunksjon: $x(p)$ er avtakande - høgare pris gir lågare etterspurnad.
- Priselastisitet: Måler kor mykje etterspurnaden reagerer på prisendringar.
- Klassifisering: $|E_p| > 1$ elastisk, $|E_p| < 1$ uelastisk.
- Inntekt og elastisitet: Ved uelastisk etterspurnad gir prisauke høgare inntekt.

Viktige formlar

E_p = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p), \qquad I'(p) = x(p)(1 + E_p)

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Etterspurnadsfunksjon	$x(p)$ , avtakande
Priselastisitet	Etterspurnaden si følsemd for pris
Elastisk	$\|E_p\| > 1$
Uelastisk	$\|E_p\| < 1$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.