2.7 Praktisk bruk av andregradslikninger | Matematikk for økonomer

Bruk andregradslikninger til å løse praktiske problemer med areal, bevegelse og økonomi.

55 min

14 oppgaver

ArealproblemerKastebevegelseOptimeringØkonomiske modeller

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Andregradslikninger 2.6Praktisk bruk av likninger

Praktisk bruk av andregradslikningar

Andregradslikningar dukkar opp i mange praktiske samanhengar:
- Arealproblem (rektangel, trekantar)
- Kastrørsle (ball, prosjektil)
- Økonomi (profitt, kostnader)
- Geometri (Pytagoras)

I dette kapitlet lærer du å setje opp og løyse slike problem.

Arealproblem

Når vi jobbar med areal av rektangel eller andre figurar, får vi ofte andregradslikningar fordi areal = lengd × breidd.

✏️Eksempel 1

Eit rektangel har omkrins 28 cm og areal 48 cm². Finn lengda og breidda.

Løysing:

La lengda vere $x$ og breidda vere $y$ .

Frå omkrinsen: $2x + 2y = 28 \Rightarrow x + y = 14 \Rightarrow y = 14 - x$

Frå arealet: $x \cdot y = 48$

Set inn for $y$ :
$x(14 - x) = 48$
$14x - x^2 = 48$
$x^2 - 14x + 48 = 0$

Faktoriserer: $(x - 6)(x - 8) = 0$

$x = 6$ eller $x = 8$

Hvis $x = 8$ , så er $y = 14 - 8 = 6$ .

Svar: Lengd 8 cm og breidd 6 cm.

📝Oppgave 1

Løys arealproblemet

Eit rektangel har omkrins 20 cm og areal 24 cm². Finn sidene.

Eit rektangel har omkrins 34 cm og areal 60 cm². Finn sidene.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2

Ein hage er 5 meter lengre enn han er brei. Arealet er 150 m². Finn dimensjonane.

Løysing:

La breidda vere $x$ meter. Då er lengda $(x + 5)$ meter.

Areal:
$x(x + 5) = 150$
$x^2 + 5x - 150 = 0$

ABC-formelen:
$\displaystyle x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 600}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}$

$x = 10$ eller $x = -15$ (forkastast)

Svar: Breidd 10 m, lengd 15 m.

📝Oppgave 2

Løys problema

Ei tomt er 3 m breiare enn ho er lang. Arealet er 180 m². Finn dimensjonane.

Lengda av eit rektangel er dobbelt så stor som breidda. Arealet er 72 cm². Finn sidene.

Løs oppgaven Tren

Kastrørsle

Høgda til ein gjenstand som blir kasta opp kan ofte skildrast med ein andregradsfunksjon:

$h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$

der:
- $g \approx 10$ m/s² (tyngdeakselerasjonen)
- $v_0$ er starthastigheita
- $h_0$ er starthøgda

✏️Eksempel 3

Ein ball blir kasta rett opp frå bakken med fart 20 m/s. Høgda er gitt ved $h(t) = -5t^2 + 20t$ . Når er ballen 15 meter over bakken?

Løysing:

Vi set $h(t) = 15$ :
$-5t^2 + 20t = 15$
$-5t^2 + 20t - 15 = 0$

Deler på $-5$ :
$t^2 - 4t + 3 = 0$
$(t - 1)(t - 3) = 0$
$t = 1$ eller $t = 3$

Tolking: Ballen er 15 m over bakken to gonger:
- På veg opp etter 1 sekund
- På veg ned etter 3 sekund

Svar: Etter 1 s og etter 3 s.

📝Oppgave 3

Ein ball blir kasta opp med $h(t) = -5t^2 + 30t$ meter.

Når er ballen 40 m over bakken?

Når treffer ballen bakken igjen?

Kva er maksimal høgd? (Hint: Finn toppunktet)

Løs oppgaven Tren

Pytagoras

I rettvinkla trekantar gir Pytagoras' setning ofte andregradslikningar:

$a^2 + b^2 = c^2$

✏️Eksempel 4

I ein rettvinkla trekant er den eine kateten 2 cm lengre enn den andre. Hypotenusen er 10 cm. Finn katetane.

Løysing:

La den kortaste kateten vere $x$ . Den andre er $(x + 2)$ .

Pytagoras:
$x^2 + (x + 2)^2 = 10^2$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100$
$2x^2 + 4x - 96 = 0$
$x^2 + 2x - 48 = 0$
$(x + 8)(x - 6) = 0$
$x = 6$ (forkastar $x = -8$ )

Svar: Katetane er 6 cm og 8 cm.

📝Oppgave 4

Løys trekantproblema

I ein rettvinkla trekant er den eine kateten 7 cm lengre enn den andre. Hypotenusen er 13 cm. Finn katetane.

Ein stige på 5 m står mot ein vegg. Botnen av stigen er 1 m lengre frå veggen enn toppen er opp på veggen. Kor høgt opp på veggen når stigen?

Løs oppgaven Tren

Talproblem

Andregradslikningar kan òg brukast til å løyse talgåter.

✏️Eksempel 5

Produktet av to påfølgjande positive heile tal er 132. Finn tala.

Løysing:

La det første talet vere $n$ . Det neste er $(n + 1)$ .

$n(n + 1) = 132$
$n^2 + n - 132 = 0$
$(n + 12)(n - 11) = 0$
$n = 11$ (forkastar $n = -12$ )

Svar: Tala er 11 og 12.

📝Oppgave 5

Løys talproblema

Produktet av to påfølgjande positive heile tal er 240. Finn tala.

Summen av eit tal og kvadratet av talet er 72. Finn talet (positivt).

Produktet av to påfølgjande partal er 168. Finn tala.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av andregradslikningar i praktiske situasjonar.

Ei andregradslikning som kjem frå eit arealproblem gir to løysingar: $x = -3$ og $x = 7$ . Kva for ei er gyldig, og kvifor må du alltid sjekke begge løysingane i ein praktisk kontekst?

Modellering. Lag eit eige tekstproblem (1-2 setningar) der svaret krev å løyse ei andregradslikning, og kor begge løysingane er gyldige (det vil seie: begge har ei praktisk tyding i konteksten).

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Oppsummering

h = -5t^2 + v_0 t + h_0

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Praktiske andregradslikningar: Dukkar opp i areal-, kaste- og talproblem.
- Areal: Areal = lengd x breidd gir ofte andregradslikningar.
- Pytagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ i rettvinkla trekantar.
- Forkaste løysingar: Negative lengder og urimelege verdiar forkastast.

Viktige formlar

h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0, \qquad a^2 + b^2 = c^2

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Arealproblem	Gir andregradslikning via areal
Kastrørsle	Høgd som andregradsfunksjon
Pytagoras	$a^2 + b^2 = c^2$
Forkaste løysing	Fjerne urimelege svar

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.