2.7 Praktisk bruk av andregradslikninger

Når virkeligheten gir andre potens

Andregradslikninger er ikke bare en regneøvelse -- de dukker opp overalt der noe ganges med seg selv. Areal er lengde ganger bredde, en kastet ball følger en parabel, og selv enkle tallgåter kan ende i $x^2$. I dette kapitlet bruker vi abc-formelen og faktorisering fra tidligere til å løse problemer fra virkeligheten, og vi lærer et nytt og viktig grep: å forkaste løsninger som ikke gir mening.

Vi starter med areal. Et rektangel har omkrets $28$ cm og areal $48$ cm². Lar vi lengden være $x$ og bredden $y$, gir omkretsen $2x+2y=28$, altså $y=14-x$. Arealet er $x\cdot y=48$. Setter vi inn, får vi $x(14-x)=48$, som blir $14x-x^2=48$, eller ordnet: $x^2-14x+48=0$. Dette faktoriserer til $(x-6)(x-8)=0$, så $x=6$ eller $x=8$. Velger vi $x=8$, blir $y=6$. Rektangelet er altså $8$ cm langt og $6$ cm bredt.

Når abc-formelen trengs, ser det slik ut: «En hage er $5$ m lengre enn den er bred, og arealet er $150$ m².» La bredden være $x$, så er lengden $x+5$. Arealet $x(x+5)=150$ gir $x^2+5x-150=0$. Abc-formelen: $\displaystyle x=\frac{-5\pm\sqrt{25+600}}{2}=\frac{-5\pm 25}{2}$, altså $x=10$ eller $x=-15$. En bredde kan ikke være negativ, så vi forkaster $-15$. Bredden er $10$ m og lengden $15$ m.

Kastebevegelse

Når vi kaster noe rett opp, beskriver høyden en parabel. Den generelle formelen er $\displaystyle h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$, der $g\approx 10$ m/s² er tyngdeakselerasjonen, $v_0$ er starthastigheten og $h_0$ er starthøyden. Når vi setter høyden lik en bestemt verdi, får vi en andregradslikning -- og siden en ball passerer samme høyde to ganger (én gang opp, én gang ned), gir likningen ofte to fornuftige svar.

Ta en ball som kastes rett opp fra bakken med fart $20$ m/s, med høyde $h(t)=-5t^2+20t$. Når er ballen $15$ meter over bakken? Vi setter $h(t)=15$: $-5t^2+20t=15$, altså $-5t^2+20t-15=0$. Her lønner det seg å dele alt på $-5$: $t^2-4t+3=0$, som faktoriserer til $(t-1)(t-3)=0$. Løsningene er $t=1$ og $t=3$.

Begge svarene gir mening her, og det er nettopp poenget med å tolke løsningen i sammenheng. Ballen er $15$ meter oppe to ganger: etter $1$ sekund på vei opp, og etter $3$ sekunder på vei ned. I kastebevegelse forkaster vi sjelden noe -- men vi må kunne fortelle hva hvert tall betyr fysisk.

Pytagoras og tallgåter

I rettvinklede trekanter gir Pytagoras' setning $a^2+b^2=c^2$ ofte en andregradslikning. «Den ene kateten er $2$ cm lengre enn den andre, og hypotenusen er $10$ cm.» La den korteste kateten være $x$, så er den andre $x+2$. Pytagoras gir $x^2+(x+2)^2=10^2$. Vi ganger ut: $x^2+x^2+4x+4=100$, altså $2x^2+4x-96=0$, og delt på $2$: $x^2+2x-48=0$. Dette faktoriserer til $(x+8)(x-6)=0$. En lengde kan ikke være negativ, så vi forkaster $x=-8$ og beholder $x=6$. Katetene er $6$ cm og $8$ cm.

Også rene tallgåter kan kreve andregradslikninger. «Produktet av to påfølgende positive hele tall er $132$.» La det første tallet være $n$, så er det neste $n+1$. Produktet $n(n+1)=132$ gir $n^2+n-132=0$, som faktoriserer til $(n+12)(n-11)=0$. Siden tallene skal være positive, forkaster vi $n=-12$ og får $n=11$. Tallene er $11$ og $12$.

Legg merke til det gjennomgående mønsteret: vi setter opp likningen, løser den, og forkaster svar som er urimelige i sammenhengen -- negative lengder, negative tall der det skal være positive, og lignende. Fremgangsmåten er alltid den samme: les nøye, innfør en variabel, sett opp likningen, løs, forkast det meningsløse, og svar med riktig enhet.

Oppsummering

Andregradslikninger gir oss verktøyet til å løse praktiske problemer der noe ganges med seg selv. I arealoppgaver fører lengde ganger bredde til en andregradslikning, som da hagen ble $10\times 15$ m. I kastebevegelse beskriver $\displaystyle h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$ høyden, og en ball passerer samme høyde to ganger -- begge løsninger har en fysisk mening. Pytagoras $a^2+b^2=c^2$ gir andregradslikninger i rettvinklede trekanter, og selv tallgåter som to påfølgende tall med produkt $132$ løses slik.

Det aller viktigste nye grepet er å forkaste løsninger som ikke gir mening: en lengde eller et positivt tall kan ikke være negativt. Fremgangsmåten er den samme hver gang -- les oppgaven, innfør en variabel, sett opp andregradslikningen, løs den med faktorisering eller abc-formelen, forkast det urimelige, og svar med riktig enhet. Slik blir andregradslikninger et kraftig redskap for å modellere virkeligheten.