2.5 Rasjonale likninger | Matematikk for økonomer

Løs likninger som inneholder brøker ved hjelp av ulike metoder.

60 min

6 oppgaver

BrøklikningerProduktregelenLikninger med brøk

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Brøkregning 1.6Rasjonale uttrykk

Brøklikningar

No skal vi lære å løyse likningar som inneheld brøkar. Hovudstrategien er ofte å multiplisere begge sider med nemnaren for å bli kvitt brøken.

✏️Eksempel 1

Rekn ut:

a) $\displaystyle \frac{x}{3} = 2$

b) $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x = 6$

c) $\displaystyle \frac{6}{x} = 2$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{x}{3} = 2 \quad | \cdot 3$
$\displaystyle \frac{x}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$
$x = 6$

b) $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x = 6$
$\displaystyle \frac{2x}{5} = 6 \quad | \cdot 5$
$2x = 30 \quad | \div 2$
$x = 15$

c) $\displaystyle \frac{8}{2x} = 2 \quad | \cdot 2x$
$8 = 4x \quad | \div 4$
$2 = x$
$x = 2$

📝Oppgave 1

Løys likningane

\displaystyle \frac{x}{5} = 2

\displaystyle \frac{x}{4} = 8

\displaystyle \frac{2x}{3} = 2

\displaystyle 9 = \frac{3y}{4}

\displaystyle \frac{4}{x} = 2

\displaystyle \frac{28}{2x} = 7

✏️Eksempel 2

Rekn ut:

a) $\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{2}{5}$

b) $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4}$

c) $\displaystyle \frac{3}{7x} = 1$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{2}{5} \quad | \cdot 5$
$x = 2$

b) $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle x = \frac{5}{4} \cdot 3 = \frac{15}{4}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnemnar):
$\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 12$
$4x = 3 \cdot 5$
$4x = 15 \quad | \div 4$
$\displaystyle x = \frac{15}{4}$

c) $\displaystyle \frac{3}{7x} = 1 \quad | \cdot 7x$
$3 = 7x \quad | \div 7$
$\displaystyle x = \frac{3}{7}$

📝Oppgave 2

Løys likningane

\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{3}{7}

\displaystyle \frac{1}{8}x = \frac{1}{4}

\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{4}{3}

\displaystyle \frac{3x}{2} = 9

\displaystyle \frac{5}{4x} = 2

\displaystyle \frac{2}{2y} = \frac{1}{7}

✏️Eksempel 3

Rekn ut:

a) $\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2$

b) $\displaystyle \frac{1}{3}x - 1 = 3$

Løysing:

a) Alternativ 1:
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | - \frac{1}{2}$
$\displaystyle x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnemnar):
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | \cdot 2$
$2x + 1 = 4 \quad | - 1$
$2x = 3 \quad | \div 2$
$\displaystyle x = \frac{3}{2}$

b) Alternativ 1:
$\displaystyle \frac{1}{3}x - 1 = 3 \quad | + 1$
$\displaystyle \frac{x}{3} = 4 \quad | \cdot 3$
$x = 12$

📝Oppgave 3

Løys likningane

\displaystyle x + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{1}{2}x = 2

\displaystyle \frac{1}{3}x + \frac{x}{3} = 2

\displaystyle 2x - \frac{1}{3} = 2

\displaystyle \frac{x}{2} - 3x = -2

\displaystyle \frac{x}{11} = 2 + \frac{1}{2}

📝Oppgave 4

Løys likningane

\displaystyle \frac{x}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{2}{5}x + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle 3x - \frac{2}{5} = 0

\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{3x}{5} = -2

\displaystyle \frac{x}{13} = 2 + \frac{1}{3}

✏️Eksempel 4

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$

Løysing:

$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$

$\displaystyle \frac{2x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{x \cdot 3}{5 \cdot 3} = -2$

$\displaystyle \frac{10x}{15} + \frac{3x}{15} = -2$

$\displaystyle \frac{13x}{15} = -2 \quad | \cdot 15$

$13x = -30 \quad | \div 13$

$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

Alternativ løysing:
$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2 \quad | \cdot 15$
$5 \cdot 2x + 3x = -30$
$13x = -30$
$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

✏️Eksempel 5

Løys likninga:

$\displaystyle -3x = \frac{6}{7}$

Løysing:

$\displaystyle -3x = \frac{6}{7} \quad | \div (-3)$

$\displaystyle \frac{-3x}{-3} = \frac{6}{-3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2}{7}$

NB: Å dele med eit tal er det same som å gange nemnaren med det talet.
Eksempel: $\displaystyle \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4 \cdot 2}$

📝Oppgave 5

Løys likningane

\displaystyle 5x = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = -2

\displaystyle \frac{1}{5}x + \frac{x}{5} = 1

\displaystyle 2x - \frac{x}{3} = 0

\displaystyle \frac{x}{2} = -\frac{3}{4}

\displaystyle \frac{-x}{8} = 2x + \frac{1}{2}

✏️Eksempel 6

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4$

Løysing:

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4 \quad | \cdot 2$

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$x + 2 = 8 \quad | - 2$

$x = 6$

📜Brøklikningar med produktregelen

Når vi skal finne ut når ein brøk har verdien 0 så held det å finne ut når teljaren (det over brøkstreken) i brøken er lik 0.

$\displaystyle \frac{0}{x} = 0$ for alle verdiar av $x$ (med unntak av 0).

✏️Eksempel 7

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$

Løysing:

$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$

Vi ser her at $x + 1 = 0$ når $x = -1$ . Ettersom teljaren i brøken då blir 0 så vil heile brøken då ha verdien 0 og likskapen er oppfylt.

Løysinga er altså $x = -1$

✏️Eksempel 8

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x - 1} = 0$

Løysing:

Vi faktoriserer teljaren i brøken (til dømes ved nullpunktsfaktorisering eller ved sum- og produktmetoden):

$\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 3)}{x - 1} = 0$

Produktregelen fortel oss at det over brøkstreken er 0 når minst éin av faktorane er lik 0.

Vi ser her at $x + 2 = 0$ når $x = -2$ og at $x + 3 = 0$ når $x = -3$ .

Ettersom teljaren i brøken i begge tilfella blir 0 så vil heile brøken då ha verdien 0 og likskapen er oppfylt.

Løysingane her er altså $x = -2$ og $x = -3$

NB: Det under brøkstreken er lik 0 når $x = 1$ , men dette vil ikkje gi oss noko nullpunkt.

📝Oppgave 6

Løys likningane ved bruk av produktregelen

\displaystyle \frac{x - 5}{5} = 0

\displaystyle \frac{x + 2}{x} = 0

\displaystyle x + \frac{x - 1}{5} = 1

\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0

\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2

\displaystyle 2x - 2 - \frac{x - 1}{3} = 0

Løs oppgaven Tren

Når ingen verdiar av x gir ei løysing og når alle verdiar av x gir ei løysing

✏️Eksempel 9

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0$

Løysing:

$\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0 \quad | \cdot 3$

$\displaystyle \frac{3(x - 3)}{3} - \frac{3(x - 2)}{3} = 3 \cdot 0$

$x - 3 - (x - 2) = 0$

$x - 3 - x + 2 = 0$

$-1 = 0$

Men $-1$ er aldri lik $0$ , det spelar inga rolle kva $x$ er her. Svaret blir altså inga løysing.

✏️Eksempel 10

Løys likninga:

$\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10}$

Løysing:

$\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10} \quad | \cdot 10$

$\displaystyle \frac{10(2x + 3)}{5} = \frac{10(4x + 6)}{10}$

$\displaystyle \frac{2 \cdot 5(2x + 3)}{5} = 4x + 6$

$4x + 6 = 4x + 6$

Uansett kva $x$ er så vil venstresida og høgresida i dette uttrykket vere like kvarandre.

Her kan vi altså seie at løysinga er alle moglege verdiar av x. Andre måtar vi kan seie dette på er "alle reelle tal" eller berre alle $x \in \mathbb{R}$ .

✏️Eksempel 11

Å gange med fleire ledd på begge sider samtidig.

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2$

Løysing:

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2 \quad | \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} \cdot (2x + 4) = -2 \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{(x - 3)(2x + 4)}{(2x + 4)} = -2(2x + 4)$

$x - 3 = -4x - 8 \quad | + (4x + 3)$

$x + 4x - 3 + 3 = -4x + 4x - 8 + 3$

$5x = -5 \quad | \div 5$

$x = -1$

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av rasjonale likningar.

Finn feilen. Ein student skal løyse likninga

\dfrac{1}{x} = 5

. Ho gangar med

x

på begge sider og får

1 = 5x

, altså

x = \tfrac{1}{5}

. Så sjekkar ho

x = 0

: " $\tfrac{1}{0} = 5$ er feil, så $x = 0$ er ikkje ei løysing", og skriv: "Løysingane er $x = \tfrac{1}{5}$ og $x = 0$ er forkasta." Kva er problemet med formuleringa hennar?

Forklar utan rekning kvifor ein alltid må sjekke om ei løysing gjer nemnaren i den opphavlege likninga lik null. Kva blir slike løysingar kalla?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Rasjonale likningar

Steg/Omgrep	Skildring
Form	$\dfrac{\text{teljar}_1}{\text{nemnar}_1} = \dfrac{\text{teljar}_2}{\text{nemnar}_2}$ eller $\dfrac{\text{teljar}}{\text{nemnar}} = \text{tal}$
Steg 1	Finn forbodne verdiar — alle $x$ som gjer ein nemnar lik $0$
Steg 2	Gang begge sider med fellesnemnar for å fjerne brøkane
Steg 3	Løys den resulterande (vanlegvis polynomielle) likninga
Steg 4	Kontroller at løysinga ikkje er ein forboden verdi. Forkast falske røter.
Kryssmultiplikasjon	$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \;\Rightarrow\; ad = bc$ (med $b, d \neq 0$ )
Produktregel for nullbrøk	$\dfrac{T(x)}{N(x)} = 0 \;\Leftrightarrow\; T(x) = 0$ (med $N(x) \neq 0$ )
Faktorisert nemnar	$x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$ — bruk dette til å finne fellesnemnar
Falsk rot	Kandidat som gjer ein opphavleg nemnar lik $0$ — må forkastast

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Rasjonale likningar: Likningar med brøkar; gang opp med nemnaren for å bli kvitt brøken.
- Brøk lik null: Ein brøk er null når teljaren er null.
- Sjekk nemnaren: Verdiar som gjer nemnaren null må forkastast.
- Spesialtilfelle: Nokre likningar har inga løysing, andre uendeleg mange.

Viktige formlar

\frac{\text{teljar}}{\text{nemnar}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \text{teljar} = 0

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Rasjonal likning	Likning med brøk(ar)
Felles nemnar	Gang opp for å fjerne brøk
Forbodne verdiar	Gjer nemnaren null
Teljar lik null	Gir brøkverdi null

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.