10.3 Geometriske rekker | Matematikk for økonomer

Geometrisk følge $a_n = a_1 k^{n-1}$ og sum $S_n = a_1\frac{k^n-1}{k-1}$, med sluttverdi av annuitet som anvendelse.

50 min

16 oppgaver

Geometrisk følgeKvotientGeometrisk rekkeSluttverdi av annuitetEksponentiell vekst

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

10.2Aritmetiske rekker

Brukes videre i

10.4Uendelige rekker og perpetuiteter

Geometriske rekkjer

Medan aritmetiske følgjer skildrar vekst som tilfører eit fast beløp per periode, skildrar geometriske følgjer vekst som gangar med ein fast faktor per periode — det vi gjerne kallar eksponentiell vekst.

Geometriske følgjer og rekkjer er berebjelken i finansmatematikk. Kvar gong vi snakkar om rentes rente, sluttverdi av faste innskot, noverdi av annuitetar eller eksponentielt veksande sal, ligg ei geometrisk rekkje i botnen.

Geometrisk følgje

\{a_n\}

✏️Eksempel 1: Geometrisk følgje

Ei geometrisk følgje har $a_1 = 5$ og $k = 1{,}1$ .

a) Skriv opp dei fem første ledda.
b) Finn $a_{10}$ .

Løysing:

a) Kvart ledd er det førre multiplisert med $1{,}1$ :
$a_1 = 5$
$a_2 = 5 \cdot 1{,}1 = 5{,}5$
$a_3 = 5{,}5 \cdot 1{,}1 = 6{,}05$
$a_4 \approx 6{,}655$
$a_5 \approx 7{,}321$

b) Eksplisitt formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ .
$a_{10} = 5 \cdot 1{,}1^9 = 5 \cdot 2{,}3579 \approx 11{,}79$

✏️Eksempel 2: Bestemme $a_1$ og $k$

I ei geometrisk følgje er $a_3 = 18$ og $a_6 = 486$ . Finn $a_1$ og $k$ .

Løysing:

Frå $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ :
$a_3 = a_1 \cdot k^2 = 18$
$a_6 = a_1 \cdot k^5 = 486$

Vi deler den andre på den første:
$\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 k^5}{a_1 k^2} = k^3 = \frac{486}{18} = 27$

Så $k = \sqrt[3]{27} = 3$ .

Innsett: $a_1 \cdot 9 = 18 \Rightarrow a_1 = 2$ .

Følgja er $2, 6, 18, 54, 162, 486, \ldots$

📝Oppgave 1

Geometriske følgjer

a_1 = 4

k = 2

. Finn

a_{10}

a_1 = 100

k = 0{,}5

. Finn

a_8

a_1 = 1\,000

k = 1{,}05

. Finn

a_5

(rund til to desimalar).

I ei geometrisk følgje er $a_2 = 12$ og $a_5 = 96$ . Finn $k$ .

Løs oppgaven Tren

Sum av endeleg geometrisk rekkje

Summen $S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^2 + \ldots + a_1 k^{n-1}$ av dei $n$ første ledda i ei geometrisk følgje kan reknast ut med ein elegant formel. Trikset er å sjå på $S_n - k \cdot S_n$ .

📜Sum av endeleg geometrisk rekkje

For

k \neq 1

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k}$

Dei to formene er likeverdige; bruk gjerne den øvste når $k > 1$ (teljaren blir positiv), og den nedste når $k < 1$ .

Spesialtilfelle: For $k = 1$ er alle ledda like, så $S_n = n \cdot a_1$ .

✏️Eksempel 3: Bevis

Vis at $S_n = a_1 \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1}$ for ei geometrisk rekkje (med $k \neq 1$ ).

Løysing:

Vi skriv opp summen og multipliserer han med $k$ :

$S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^2 + \ldots + a_1 k^{n-1}$
$k \cdot S_n = \phantom{a_1 +\ } a_1 k + a_1 k^2 + \ldots + a_1 k^{n-1} + a_1 k^n$

Vi trekkjer den øvre frå den nedre. Alle dei mellomliggjande ledda kanselleras:

$k S_n - S_n = a_1 k^n - a_1$
$S_n (k - 1) = a_1 (k^n - 1)$

Dersom $k \neq 1$ , kan vi dele med $k - 1$ :

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$

✏️Eksempel 4: Doblande ledd

Ein sjakk-legende: kornet på første rute er 1, andre er 2, tredje er 4, og så vidare, alltid det doble. Kor mange korn er det på rutene 1 til 10 til saman?

Løysing:

Talet på korn på rute $n$ er $a_n = 1 \cdot 2^{n-1}$ — ei geometrisk følgje med $a_1 = 1$ og $k = 2$ .

Summen av dei 10 første rutene:
$S_{10} = a_1 \cdot \frac{k^{10} - 1}{k - 1} = 1 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = \frac{1024 - 1}{1} = 1\,023$

Det er 1 023 korn på dei 10 første rutene.

✏️Eksempel 5: Sluttverdi av like årlege innskot

Du set inn 10 000 kr på ein sparekonto ved slutten av kvart år i 8 år. Renta er 5 % per år. Kor mykje har du etter det åttande innskotet?

Løysing:

Vi følgjer pengane. Eit innskot på $A = 10\,000$ kr sett inn ved slutten av år $j$ (der $j = 1, 2, \ldots, 8$ ) tener rente i $8 - j$ år, og er ved slutten av år 8 verdt:

$A \cdot 1{,}05^{8-j}$

Sluttverdien blir summen av alle 8 innskota:
$FV = A \cdot 1{,}05^7 + A \cdot 1{,}05^6 + \ldots + A \cdot 1{,}05^0$

Dette er ei geometrisk rekkje med $a_1 = A \cdot 1$ , $k = 1{,}05$ og $n = 8$ ledd (men i omvend rekkjefølgje — summen er den same):

$FV = A \cdot \frac{1{,}05^8 - 1}{1{,}05 - 1} = 10\,000 \cdot \frac{1{,}4775 - 1}{0{,}05}$
$FV = 10\,000 \cdot \frac{0{,}4775}{0{,}05} = 10\,000 \cdot 9{,}549 \approx 95\,491 \text{ kr}$

Du har skote inn totalt $80\,000$ kr, men sit att med ca. 95 491 kr takka vere rentes rente.

Resultatet i eksempel 5 er nettopp sluttverdiformelen for ordinær annuitet frå kapittel 4.3:

$FV = A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$

Skriv vi $k = 1 + r$ , blir nemnaren $k - 1 = r$ , og formelen er identisk med geometrisk sumformel. Heile finansmatematikken byggjer altså på geometriske rekkjer.

📝Oppgave 2

Sum av geometrisk rekkje

Finn $S_8$ for følgja $3, 6, 12, 24, \ldots$

Finn $1 + 3 + 9 + 27 + \ldots + 3^{10}$ (11 ledd).

Finn $S_6$ for $a_n = 100 \cdot 0{,}5^{n-1}$ (rund til to desimalar).

Finn $S_{12}$ når $a_1 = 200$ og $k = 1{,}1$ (rund til heile kroner).

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6: Pensjonssparing

Du set inn 24 000 kr i året på ein pensjonskonto i 30 år. Renta er 6 % per år. Kor mykje har du ved pensjon? (Innskot ved slutten av kvart år.)

Gjeve:
-

A = 24\,000

kr/år
-

r = 0{,}06

n = 30

år

Løysing:
$FV = A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r} = 24\,000 \cdot \frac{1{,}06^{30} - 1}{0{,}06}$

Vi har $1{,}06^{30} \approx 5{,}7435$ , så:

$FV = 24\,000 \cdot \frac{4{,}7435}{0{,}06} = 24\,000 \cdot 79{,}058 \approx 1\,897\,400 \text{ kr}$

Du har spart inn totalt $30 \cdot 24\,000 = 720\,000$ kr, men sit med ca. 1,9 millionar kr — rentes rente har meir enn dobla pengane dine.

✏️Eksempel 7: Eksponentielt veksande sal

Ei oppstartsbedrift sel 50 einingar den første månaden, og salet veks med 8 % per månad. Kor mange einingar har bedrifta selt til saman etter 24 månader?

Gjeve:
-

a_1 = 50

einingar
-

k = 1{,}08

n = 24

månader

Sum av geometrisk rekkje:
$S_{24} = a_1 \cdot \frac{k^{24} - 1}{k - 1} = 50 \cdot \frac{1{,}08^{24} - 1}{0{,}08}$

Vi har $1{,}08^{24} \approx 6{,}3412$ , så:

$S_{24} = 50 \cdot \frac{5{,}3412}{0{,}08} = 50 \cdot 66{,}765 \approx 3\,338 \text{ einingar}$

Bedrifta har selt ca. 3 338 einingar totalt på 24 månader.

Når $|k| < 1$ : Ledda søkk mot null. Sumformelen er framleis gyldig, men det er ofte enklare å bruke forma

S_n = a_1 \cdot \tfrac{1 - k^n}{1 - k}

for å unngå negative tal i teljar og nemnar.

Når $k > 1$ : Ledda veks. Bruk $S_n = a_1 \cdot \tfrac{k^n - 1}{k - 1}$ — begge ledd er positive.

📝Oppgave 3

Sluttverdi av annuitet (geometrisk rekkje)

Du sparar 8 000 kr/år i 20 år til 4 % rente. Kva er sluttverdien? Rund til heile kroner.

Du sparar 3 000 kr/år i 15 år til 6 % rente. Kva er sluttverdien? Rund til heile kroner.

Kor mange år må du spare 12 000 kr/år til 5 % rente for å nå minst 200 000 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Eksponentiell vekst

Ei bedrift har 80 tilsette og forventar 12 % vekst i talet kvart år. Kor mange tilsette etter 5 år?

Ein by har 50 000 innbyggjarar og ein vekstrate på 2,5 % per år. Kor stor er folkesetnaden om 20 år?

Ei investering på 100 000 kr blir dobla kvart 7. år. Kor mykje er ho verdt etter 35 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Spareplanar

Ein forelder set inn 15 000 kr på ein barnesparekonto ved fødselen og kvart år fram til barnet fyller 18 (totalt 19 innskot). Renta er 4 % per år. Kor mykje står på kontoen rett etter siste innskot?

Kor mykje må ein spare per år i 25 år til 5 % rente for å nå 1 000 000 kr?

Med ein startkapital på 200 000 kr og 7 % årleg avkastning, kor mange år tek det før beløpet passerer 1 000 000 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Bestemming av $k$ og $a_1$

I ei geometrisk følgje er $a_2 = 6$ og $a_5 = 162$ . Finn $k$ .

Med data frå a), finn $a_1$ og $S_6$ .

Ei geometrisk følgje har $a_1 = 8$ og $S_4 = 80$ . Finn $k$ (positiv kvotient, ikkje lik 1). Rund svaret til to desimalar.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Annuitetar og geometriske rekkjer

Ein annuitet betaler ut 50 000 kr/år i 20 år. Viss avkastningskravet er 7 %, kva er noverdien? Bruk $PV = A \cdot \tfrac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$ .

Sluttverdien av annuiteten ovanfor (etter 20 år, ingen vidare rentes rente frå utbetalingstidspunkt) er $50\,000 \cdot \tfrac{1{,}07^{20} - 1}{0{,}07}$ . Rekn ut.

Vis at $PV \cdot (1+r)^n = FV$ for tala i a) og b).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Investeringar og dobling

Kor lang tid tek det å doble pengane ved 6 % årleg avkastning? Bruk $1{,}06^n = 2$ og logaritmar.

"Regelen om 72": dobling i $n \approx \tfrac{72}{r \cdot 100}$ år. Samanlikn med a) ved $r = 0{,}06$ .

Ein investor har 500 000 kr og forventar 9 % årleg avkastning i 25 år. Kva blir den endelege verdien?

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Geometriske rekkjer

Omgrep	Formel
Geometrisk følgje	$a_{n+1} = k \cdot a_n$
Eksplisitt formel	$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$
Sum (endeleg, $k \neq 1$ )	$S_n = a_1 \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1} = a_1 \cdot \dfrac{1 - k^n}{1 - k}$
Sum ved $k = 1$	$S_n = n \cdot a_1$
Sluttverdi (annuitet)	$FV = A \cdot \dfrac{(1 + r)^n - 1}{r}$
Noverdi (annuitet)	$PV = A \cdot \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$

Når blir geometriske rekkjer brukte? Eksponentiell vekst eller nedgang: sparing med rentes rente, annuitetar, folkevekst, prisstigning.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Geometrisk følgje: Konstant forhold $k$ mellom påfølgjande ledd.
- Eksplisitt formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ .
- Sum av endeleg geometrisk rekkje: Gjeven ved ein lukka formel for $k \neq 1$ .
- Bruksområde: Geometriske rekkjer skildrar rentes-rente og sparing.

Viktige formlar

a_n = a_1 \cdot k^{n-1}, \qquad S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} \;\;(k \neq 1)

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Geometrisk følgje	Konstant forhold $k$
Kvotient	$k = a_{n+1}/a_n$
Eksplisitt formel	$a_n = a_1 k^{n-1}$
Sumformel	$S_n = a_1(k^n - 1)/(k - 1)$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.