10.2 Aritmetiske rekker | Matematikk for økonomer

Aritmetisk følge $a_n = a_1 + (n-1)d$ og sumformelen $S_n = \tfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ (Gauss' bevis).

45 min

14 oppgaver

Aritmetisk følgeDifferansSumformelGauss' bevisSerielån

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

10.1Tallfølger

Brukes videre i

10.3Geometriske rekker

Aritmetiske rekkjer

Ei aritmetisk følgje er ei talfølgje der vi går frå eitt ledd til det neste ved å leggje til eit fast tal — den såkalla differansen. Aritmetiske følgjer dukkar opp overalt der noko aukar eller minkar med eit fast beløp per periode: lineært aukande lønn, faste avdrag på serielån, eller jamt aukande månadlege innskot på ein sparekonto.

Når vi summerer ledda i ei aritmetisk følgje, får vi ei aritmetisk rekkje. I dette kapittelet skal vi lære korleis vi effektivt kan rekne ut ein slik sum — utan å leggje saman alle ledda eitt etter eitt.

Aritmetisk følgje

\{a_n\}

Eksplisitt formel

Frå den rekursive formelen $a_{n+1} = a_n + d$ kan vi finne ein eksplisitt formel for $a_n$ . Kvart steg frå $a_1$ til $a_n$ legg til $d$ , og vi tek $n-1$ slike steg:

$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_4 = a_1 + 3d$
$\vdots$
$a_n = a_1 + (n-1) d$

📜Eksplisitt formel for aritmetisk følgje

a_n = a_1 + (n - 1) d

der $a_1$ er det første leddet og $d$ er differansen.

✏️Eksempel 1: Finne ledd i aritmetisk følgje

Ei aritmetisk følgje har $a_1 = 5$ og $d = 3$ .

a) Skriv opp dei fem første ledda.
b) Finn $a_{50}$ .

Løysing:

a) Vi legg til $d = 3$ for kvart steg:
$a_1 = 5,\ a_2 = 8,\ a_3 = 11,\ a_4 = 14,\ a_5 = 17$

b) Med eksplisitt formel:
$a_{50} = a_1 + (50 - 1) \cdot d = 5 + 49 \cdot 3 = 5 + 147 = 152$

✏️Eksempel 2: Bestemme $a_1$ og $d$

I ei aritmetisk følgje er $a_3 = 14$ og $a_8 = 39$ . Finn $a_1$ og $d$ .

Løysing:

Vi brukar eksplisitt formel:
$a_3 = a_1 + 2d = 14$
$a_8 = a_1 + 7d = 39$

Vi trekkjer den første likninga frå den andre:
$5d = 25 \quad \Rightarrow \quad d = 5$

Innsett: $a_1 + 2 \cdot 5 = 14 \ \Rightarrow \ a_1 = 4$ .

Følgja er altså $4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, \ldots$

📝Oppgave 1

Aritmetiske følgjer

Ei aritmetisk følgje har $a_1 = 7$ og $d = 4$ . Finn $a_{10}$ .

Ei aritmetisk følgje har $a_1 = 100$ og $d = -3$ . Finn $a_{20}$ .

I ei aritmetisk følgje er $a_2 = 11$ og $a_5 = 26$ . Finn $d$ .

Med data frå c), finn $a_1$ .

Løs oppgaven Tren

Sum av aritmetisk rekkje

Ei historie seier at læraren til den unge Carl Friedrich Gauss (1777–1855) gav klassen i oppgåve å summere alle heile tal frå 1 til 100. Medan medelevane sat og la saman tal for tal, fann Gauss svaret nesten med ein gong. Trikset hans er like elegant i dag.

Lat $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ vere summen av dei $n$ første ledda i ei aritmetisk følgje. Vi skriv summen to gonger — éin gong forfrå og éin gong bakfrå — og legg saman ledd for ledd:

📜Sum av aritmetisk rekkje

Summen av dei

n

første ledda i ei aritmetisk følgje er:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n \bigl(2 a_1 + (n - 1) d\bigr)}{2}$

Den første forma er nyttig når vi kjenner både $a_1$ og $a_n$ ; den andre når vi kjenner $a_1$ og $d$ .

✏️Eksempel 3: Gauss' bevis

Vis at $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ for ei aritmetisk rekkje.

Løysing (Gauss' trick):

Vi skriv summen forfrå og bakfrå:
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} + a_n$
$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \ldots + a_2 + a_1$

Vi legg likningane saman ledd for ledd. I kvar kolonne får vi $a_1 + a_n$ , $a_2 + a_{n-1}$ , og så vidare. I ei aritmetisk følgje er kvart slikt par like stort:
$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n \quad \text{(same sum heile vegen)}$

Det gjev $n$ kolonnar med same sum $a_1 + a_n$ :
$2 S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$

Altså:
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Og frå eksplisitt formel $a_n = a_1 + (n-1)d$ får vi den ekvivalente forma:
$S_n = \frac{n \bigl(2 a_1 + (n-1) d\bigr)}{2}$

✏️Eksempel 4: $1 + 2 + 3 + \ldots + n$

Vis at $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ , og finn deretter $1 + 2 + \ldots + 100$ .

Løysing:

Dette er ei aritmetisk rekkje med $a_1 = 1$ , $d = 1$ og $a_n = n$ . Vi set inn i formelen:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(1 + n)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$

Med $n = 100$ :
$S_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10\,100}{2} = 5\,050$

Dette er Gauss' berømte svar.

✏️Eksempel 5: Sparing som aukar med fast beløp

Du set inn $5\,000$ kr på ein sparekonto første år, og aukar med $1\,000$ kr kvart år (altså $5\,000$ , $6\,000$ , $7\,000$ , …). Kor mykje har du sett inn til saman etter 10 år? (Vi ser bort frå rente i denne oppgåva.)

Gjeve:
-

a_1 = 5\,000

kr
-

d = 1\,000

kr
-

n = 10

år

Vi finn $a_{10}$ :
$a_{10} = a_1 + (n-1) d = 5\,000 + 9 \cdot 1\,000 = 14\,000 \text{ kr}$

Totalt innskot:
$S_{10} = \frac{10 (a_1 + a_{10})}{2} = \frac{10 (5\,000 + 14\,000)}{2} = \frac{10 \cdot 19\,000}{2} = 95\,000 \text{ kr}$

Du har sett inn til saman 95 000 kr på 10 år.

Kva for formel skal eg bruke?

- Kjenner du $a_1$ og $a_n$ (første og siste ledd)? Bruk $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
- Kjenner du $a_1$ og $d$ (første ledd og differanse)? Bruk $S_n = \dfrac{n(2 a_1 + (n-1) d)}{2}$ , eller finn $a_n$ først.

✏️Eksempel 6: Lineært aukande lønn

Du startar i ein jobb med årslønn $480\,000$ kr og får ei lønnsauke på $24\,000$ kr kvart år. Kor mykje har du tent til saman etter 15 år?

Gjeve:
-

a_1 = 480\,000

kr (lønn første år)
-

d = 24\,000

kr (årleg lønnsauke)
-

n = 15

år

Lønn i år 15:
$a_{15} = 480\,000 + 14 \cdot 24\,000 = 480\,000 + 336\,000 = 816\,000 \text{ kr}$

Total lønn over 15 år:
$S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} = \frac{15 (480\,000 + 816\,000)}{2} = \frac{15 \cdot 1\,296\,000}{2}$
$S_{15} = \frac{19\,440\,000}{2} = 9\,720\,000 \text{ kr}$

Du har tent ca. 9,72 millionar kr på 15 år.

📝Oppgave 2

Sum av aritmetiske rekkjer

Finn summen $1 + 2 + 3 + \ldots + 50$ .

Finn summen $3 + 7 + 11 + 15 + \ldots$ av dei første 20 ledda.

Finn summen $100 + 95 + 90 + \ldots + 5$ .

Finn summen av oddetala frå 1 til 99 ( $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$ ).

Løs oppgaven Tren

Bruksområde: Serielån

Eit serielån kjenneteiknast ved at avdraget per termin er konstant, medan renta blir redusert etter kvart som restgjelda søkk. Dette gjev terminbeløp som dannar ei aritmetisk følgje.

Lat $L$ vere lånebeløpet, $n$ talet på terminar og $r$ rente per termin. Kvar termin betalast:
- Avdrag: $\dfrac{L}{n}$ (konstant)
- Rente: prosent av restgjeld (søkk lineært)

Fordi renta søkk lineært med restgjelda, dannar terminbeløpa ei aritmetisk følgje — og vi kan difor summere dei effektivt.

✏️Eksempel 7: Total kostnad ved eit serielån

Eit serielån på $200\,000$ kr har 4 % årleg rente og skal nedbetalast over 5 år med eitt avdrag per år.

a) Sett opp terminbeløpa år for år.
b) Finn det totale beløpet du betaler (avdrag + renter) over dei 5 åra.

Løysing:

Årleg avdrag: $\dfrac{200\,000}{5} = 40\,000$ kr.

Rente blir betalt av restgjelda ved årsstart:

År	Restgjeld start	Rente (4 %)	Avdrag	Termin
1	200 000	8 000	40 000	48 000
2	160 000	6 400	40 000	46 400
3	120 000	4 800	40 000	44 800
4	80 000	3 200	40 000	43 200
5	40 000	1 600	40 000	41 600

Terminbeløpa

48\,000,\ 46\,400,\ 44\,800,\ 43\,200,\ 41\,600

dannar ei aritmetisk følgje med

d = -1\,600

.
Total betaling:

S_5 = \frac{5(48\,000 + 41\,600)}{2} = \frac{5 \cdot 89\,600}{2} = 224\,000 \text{ kr}

Totale rentekostnader =

224\,000 - 200\,000 = 24\,000

kr.

Aritmetiske følgjer oppstår når noko endrar seg med eit fast beløp per periode (lineær vekst eller nedgang).

Geometriske følgjer — som vi tek for oss i neste kapittel — oppstår når noko endrar seg med ein fast prosent per periode (eksponentiell vekst, rentes rente).

Dei fleste finansmatematiske formlar byggjer på geometriske rekkjer, men aritmetiske rekkjer dukkar opp i kontekstar som serielån og lineært aukande kontantstraumar.

📝Oppgave 3

Praktiske bruksområde

Ein seljar tener provisjon som aukar med 500 kr per månad. Første månad får ho 3 000 kr. Kva blir den totale provisjonen i løpet av eit år (12 månader)?

Eit serielån på 500 000 kr har 5 % årleg rente og 10 års nedbetaling. Kva er det totale rentebeløpet du betaler? (Hint: rente i år 1 = $5\% \cdot 500\,000 = 25\,000$ . Rente i år 10 = $5\% \cdot 50\,000 = 2\,500$ .)

Ein entreprenør planlegg 20 like store byggjetrinn. Trinn nr. 1 kostar 80 000 kr, og kvart trinn aukar med 5 000 kr. Kva er totalkostnaden?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Ei aritmetisk følgje har $a_5 = 23$ og $a_{12} = 65$ .

Finn differansen $d$ .

Finn første ledd $a_1$ .

Finn summen $S_{20}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Sum-relaterte oppgåver

Finn $n$ slik at $1 + 2 + 3 + \ldots + n = 5\,050$ .

Ei aritmetisk rekkje har $a_1 = 4$ , $d = 3$ . For kva for $n$ er $S_n = 209$ ?

Summen av ei aritmetisk rekkje med $n$ ledd er 100. Viss $a_1 = 4$ og $a_n = 16$ , finn $n$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Ein tilsett har ei startlønn på $420\,000$ kr og får $18\,000$ kr i lønnsauke kvart år.

Kva er lønna i år 25?

Kva er den totale lønna utbetalt i løpet av desse 25 åra?

Etter kor mange år overstig den årlege lønna 1 million kr for første gong?

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Aritmetiske rekkjer

Omgrep	Formel
Aritmetisk følgje	$a_{n+1} = a_n + d$
Eksplisitt formel	$a_n = a_1 + (n - 1) d$
Sum (med $a_n$ )	$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$
Sum (utan $a_n$ )	$S_n = \dfrac{n \bigl(2 a_1 + (n-1) d\bigr)}{2}$
Spesialtilfelle	$1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Når blir aritmetiske rekkjer brukte? Lineær vekst/nedgang per periode: serielån, lineær lønnsauke, jamn auke i sal eller kostnader.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Aritmetisk følgje: Konstant differanse $d$ mellom påfølgjande ledd.
- Eksplisitt formel: $a_n = a_1 + (n - 1)d$ .
- Sum av aritmetisk rekkje: $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
- Bruksområde: Serielån har konstant avdrag, som gjev ein aritmetisk struktur.

Viktige formlar

a_n = a_1 + (n - 1)d, \qquad S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Aritmetisk følgje	Konstant differanse $d$
Differanse	$d = a_{n+1} - a_n$
Sumformel	$S_n = n(a_1 + a_n)/2$
Serielån	Konstant avdrag per termin

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.