10.1 Tallfølger | Matematikk for økonomer

Eksplisitte og rekursive følger, konvergens og divergens, samt avgrensede og monotone følger.

40 min

14 oppgaver

TallfølgeEksplisitt formelRekursiv formelKonvergensDivergens

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

10.2Aritmetiske rekker

Talfølgjer

Mange økonomiske storleikar endrar seg trinnvis frå periode til periode: saldoen på ein sparekonto frå år til år, månadlege lønnsutbetalingar, eller årlege avdrag på eit lån. Slike trinnvise talrekkjer blir kalla talfølgjer.

Å forstå talfølgjer er grunnlaget for å forstå rekkjer, som igjen er grunnlaget for finansmatematiske omgrep som annuitetar, perpetuitetar og noverdi av evigvarande kontantstraumar.

Talfølgje

\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots

To måtar å skildre ei talfølgje

Vi kan skildre ei talfølgje på to hovudmåtar: med ein eksplisitt formel eller med ein rekursiv formel.

Eksplisitt formel gjev oss ein direkte regel som reknar ut $a_n$ frå $n$ :
$a_n = f(n)$

Rekursiv formel gjev oss ein regel for å rekne ut det neste leddet frå det førre, saman med éin eller fleire startverdiar:
$a_{n+1} = g(a_n), \quad a_1 = \text{startverdi}$

✏️Eksempel 1: Eksplisitt formel

Talfølgja $\{a_n\}$ er gjeven ved den eksplisitte formelen $a_n = 2n + 3$ .

a) Skriv opp dei fem første ledda.
b) Finn $a_{20}$ .

Løysing:

a) Vi set inn $n = 1, 2, 3, 4, 5$ :
$a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
$a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 7$
$a_3 = 2 \cdot 3 + 3 = 9$
$a_4 = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
$a_5 = 2 \cdot 5 + 3 = 13$

Dei fem første ledda er $5, 7, 9, 11, 13$ .

b) $a_{20} = 2 \cdot 20 + 3 = 43$ .

✏️Eksempel 2: Rekursiv formel

Talfølgja $\{b_n\}$ er gjeven rekursivt ved $b_1 = 4$ og $b_{n+1} = 3 b_n - 2$ .

Skriv opp dei fem første ledda.

Løysing:

Vi brukar rekursjonen $b_{n+1} = 3 b_n - 2$ trinnvis:

$b_1 = 4$
$b_2 = 3 \cdot 4 - 2 = 10$
$b_3 = 3 \cdot 10 - 2 = 28$
$b_4 = 3 \cdot 28 - 2 = 82$
$b_5 = 3 \cdot 82 - 2 = 244$

Dei fem første ledda er $4, 10, 28, 82, 244$ .

Eksplisitt vs. rekursiv

Med eksplisitt formel kan vi finne kva som helst ledd direkte. Til dømes kan vi finne $a_{1000}$ utan å rekne ut alle ledda før.

Med rekursiv formel må vi ofte rekne oss fram ledd for ledd — men rekursive formlar skildrar økonomiske prosessar veldig naturleg (saldoen i år avheng av saldoen i fjor).

📝Oppgave 1

Skriv opp dei fire første ledda i talfølgja.

a_n = 3n - 1

a_n = n^2 + 1

\displaystyle a_n = \frac{1}{n}

a_n = (-1)^n

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Skriv opp dei fire første ledda i den rekursivt definerte talfølgja.

a_1 = 2

a_{n+1} = a_n + 5

a_1 = 3

a_{n+1} = 2 a_n

a_1 = 100

a_{n+1} = 0{,}5 \cdot a_n + 10

Løs oppgaven Tren

Konvergens og divergens

Eit sentralt spørsmål om ei talfølgje er: kva skjer med ledda når $n$ blir veldig stor? Nærmar ledda seg ein bestemt verdi, eller veks/oscillerer dei utan å setje seg?

Konvergens og divergens

\{a_n\}

✏️Eksempel 3: Konvergerande følgje

Undersøk om følgja $a_n = \dfrac{1}{n}$ konvergerer, og finn grenseverdien dersom ho gjer det.

Løysing:

Vi reknar ut nokre ledd:
$a_1 = 1,\ a_{10} = 0{,}1,\ a_{100} = 0{,}01,\ a_{1000} = 0{,}001$

Når $n$ blir stor, blir $\displaystyle \frac{1}{n}$ vilkårleg nær 0. Altså:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

Følgja konvergerer mot 0.

✏️Eksempel 4: Divergerande følgje (veks)

Undersøk følgja $a_n = 2^n$ .

Løysing:

Vi reknar ut nokre ledd:
$a_1 = 2,\ a_2 = 4,\ a_3 = 8,\ a_{10} = 1024,\ a_{20} = 1\,048\,576$

Ledda veks utan grense. Altså:

$\lim_{n \to \infty} 2^n = \infty$

Følgja divergerer mot uendeleg.

✏️Eksempel 5: Divergerande følgje (oscillerer)

Undersøk følgja $a_n = (-1)^n$ .

Løysing:

Vi reknar ut ledda:
$a_1 = -1,\ a_2 = 1,\ a_3 = -1,\ a_4 = 1, \ldots$

Ledda vekslar mellom $-1$ og $1$ utan å setje seg. Følgja har ingen grenseverdi.

Følgja divergerer ved oscillasjon.

✏️Eksempel 6: Konvergens mot 1

Undersøk om følgja $a_n = \dfrac{n}{n+1}$ konvergerer.

Løysing:

Vi reknar ut nokre ledd:
$a_1 = \tfrac{1}{2} = 0{,}5,\ a_2 = \tfrac{2}{3} \approx 0{,}667,\ a_{10} = \tfrac{10}{11} \approx 0{,}909$
$a_{100} = \tfrac{100}{101} \approx 0{,}990,\ a_{1000} \approx 0{,}999$

Ledda nærmar seg 1. Vi kan vise dette algebraisk ved å dele teljar og nemnar med $n$ :

$a_n = \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + \tfrac{1}{n}}$

Når $n \to \infty$ , går $\tfrac{1}{n} \to 0$ , så nemnaren går mot $1$ . Difor:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

Følgja konvergerer mot 1.

Divergens er ikkje alltid "

\infty

Mange trur at ei divergerande følgje må vekse mot uendeleg. Det er feil. Ei følgje divergerer rett og slett når ho ikkje konvergerer — og ein av dei vanlegaste måtane dette skjer på, er ved oscillasjon (som $(-1)^n$ ).

Følgja $\sin(n)$ oscillerer mellom $-1$ og $1$ utan å setje seg, og divergerer difor.

📝Oppgave 3

Undersøk om følgja konvergerer eller divergerer, og finn grenseverdien dersom han eksisterer.

a_n = \dfrac{5}{n}

a_n = 3^n

a_n = \dfrac{2n+1}{n}

a_n = (-1)^n \cdot n

Løs oppgaven Tren

Avgrensa og monotone følgjer

Vi seier at ei følgje $\{a_n\}$ er:

- monotont voksande dersom $a_{n+1} \geq a_n$ for alle $n$ (kvart ledd er minst like stort som det førre),
- monotont avtakande dersom $a_{n+1} \leq a_n$ for alle $n$ ,
- avgrensa dersom det finst tal $M$ og $m$ slik at $m \leq a_n \leq M$ for alle $n$ .

Eit nyttig resultat (utan bevis her) er: ei monoton og avgrensa følgje konvergerer alltid. Dette blir mellom anna brukt til å vise at saldoen på ein sparekonto med faste innskot konvergerer mot ein bestemt verdi når renta er lita.

Mange økonomiske storleikar utviklar seg trinnvis frå periode til periode, og kan difor naturleg skildrast som talfølgjer:

- Kontoutvikling: Saldo år for år med rente og innskot.
- Avdragsplan: Restgjeld på eit lån frå termin til termin.
- Salsprognosar: Forventa sal per kvartal med vekstrate.
- Pensjonsbehaldning: Verdien av pensjonssparinga for kvart leveår.

I dei neste kapitla skal vi sjå på spesielle typar talfølgjer — aritmetiske og geometriske følgjer — og summar av ledda deira.

✏️Eksempel 7: Kontoutvikling som talfølgje

Du set inn 10 000 kr på ein sparekonto med 4 % årleg rente. Lat $K_n$ vere saldoen etter $n$ år.

a) Skriv opp ein rekursiv formel for $K_n$ .
b) Finn ein eksplisitt formel for $K_n$ .
c) Kva er saldoen etter 5 år?

Løysing:

a) Kvart år veks saldoen med 4 %, så han blir ganga med faktoren $1 + 0{,}04 = 1{,}04$ :
$K_0 = 10\,000, \quad K_{n+1} = 1{,}04 \cdot K_n$

b) Vi observerer mønsteret:
$K_1 = 1{,}04 \cdot 10\,000$
$K_2 = 1{,}04^2 \cdot 10\,000$
$K_n = 1{,}04^n \cdot 10\,000$

Eksplisitt formel: $K_n = 10\,000 \cdot 1{,}04^n$ .

c) $K_5 = 10\,000 \cdot 1{,}04^5 = 10\,000 \cdot 1{,}2167 \approx 12\,167$ kr.

Dette er ei geometrisk følgje, som vi skal studere i kapittel 10.3.

📝Oppgave 4

Du set inn 50 000 kr på ein konto med 3 % årleg rente. Lat $K_n$ vere saldoen etter $n$ år.

Skriv opp ein rekursiv formel for $K_n$ (med $K_0 = 50\,000$ ).

Finn ein eksplisitt formel for $K_n$ .

Kva er saldoen etter 10 år? Avrund til næraste heile krone.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Avgjer om følgjene er monotont voksande, monotont avtakande eller ingen av delane.

a_n = 5n - 2

a_n = \dfrac{1}{n}

a_n = (-1)^n \cdot n

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Konvergens og grenseverdiar

Finn $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 2}{n^2 + 5}$ .

Finn $\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n + 7}{2n - 1}$ .

Konvergerer følgja $a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ ? Viss ja, finn grenseverdien.

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Talfølgjer

Omgrep	Forklaring / Formel
Talfølgje	$\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, \ldots$
Eksplisitt formel	$a_n = f(n)$ — rekn $a_n$ direkte frå $n$
Rekursiv formel	$a_{n+1} = g(a_n)$ med startverdi $a_1$
Konvergens	$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L$ for eit endeleg tal $L$
Divergens	Følgja har ingen endeleg grenseverdi (veks eller oscillerer)
Monoton følgje	$a_{n+1} \geq a_n$ (voksande) eller $a_{n+1} \leq a_n$ (avtakande) for alle $n$
Avgrensa følgje	$m \leq a_n \leq M$ for alle $n$
Hovudresultat	Monoton og avgrensa $\Rightarrow$ konvergerer

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Talfølgje: Ei ordna liste av tal der $a_n$ er det $n$ -te leddet.
- Eksplisitt og rekursiv formel: Eksplisitt gjev eit ledd direkte; rekursiv ut frå førre ledd.
- Konvergens og divergens: Ei følgje konvergerer viss ledda nærmar seg ein grenseverdi.
- Avgrensa og monotone følgjer: Voksande eller avtakande, og eventuelt avgrensa.

Viktige formlar

\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, \ldots, \qquad \lim_{n \to \infty} a_n = L

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Talfølgje	Ordna liste av tal
Eksplisitt formel	$a_n = f(n)$
Rekursiv formel	$a_n$ ut frå førre ledd
Konvergens	Ledda nærmar seg ein verdi

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.