9.3 Kule og sammensatte figurer | Matematikk 9. klasse

Beregn volum og overflate av kuler og sammensatte figurer.

50 min

7 oppgaver

KuleSammensatte figurerVolumOverflate

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Kuler og samansette figurar

Kula er kanskje den mest «perfekte» romfiguren. Ho har ingen kantar, ingen hjørne – berre éi jamt bøygd overflate. Ballar, jordkloden og såpebobler er alle eksempel på kuler.

I dette kapittelet skal vi lære formlane for volum og overflate av kuler. Deretter skal vi jobbe med samansette figurar – romfigurar som er sette saman av fleire enkle figurar. For å finne volumet eller overflata av slike figurar må vi kombinere formlane vi har lært.

Til dømes kan ein blyant skildrast som ein sylinder med ei kjegle på toppen, og ein silo som ein sylinder med ei halvkule på toppen.

Kule

r

Samansette figurar

Ein samansett figur er ein romfigur som er sett saman av to eller fleire enkle romfigurar (prisme, sylindrar, kjegler, pyramidar, kuler osv.). Strategi for volumutrekning: 1. Del opp figuren i kjende enkle figurar. 2. Rekn ut volumet av kvar del for seg. 3. Legg saman (eller trekk frå) delvoluma. Strategi for overflateutrekning: 1. Identifiser kva flater som er synlege (ytre flater). 2. Trekk frå flater som er «gøymde» inne i figuren (der to delar møtest). 3. Legg saman dei synlege flateareala. Ver spesielt merksam på at indre flater (der to delar møtest) ikkje er del av overflata!

✏️Eksempel 1 – Kule

Ein basketball har diameter $24 \text{ cm}$ .

a) Rekn ut volumet av basketballen.
b) Rekn ut overflatearealet.

Løysing:

Radius: $\displaystyle r = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm}$

a) Volum:
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 12^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1728 = 2304\pi \approx 7238 \text{ cm}^3$

Det svarar til om lag $7{,}2$ liter.

b) Overflate:
$O = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 12^2 = 576\pi \approx 1810 \text{ cm}^2$

✏️Eksempel 2 – Silo (sylinder + halvkule)

Ein kornsilo har form som ein sylinder med ei halvkule på toppen. Sylinderen har radius $3 \text{ m}$ og høgd $10 \text{ m}$ .

a) Rekn ut det totale volumet av siloen.
b) Rekn ut den totale overflata (medrekna botnen).

Løysing:

a) Totalvolum:

Sylinder: $V_1 = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi$

Halvkule: $\displaystyle V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 27 = 18\pi$

$V_{\text{total}} = 90\pi + 18\pi = 108\pi \approx 339 \text{ m}^3$

b) Total overflate:

Vi treng:
- Botnen (sirkel): $\pi r^2 = 9\pi$
- Sylindermantelen: $2\pi r h = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi$
- Halvkula (bøygd del): $2\pi r^2 = 2\pi \cdot 9 = 18\pi$

Merk: Vi tek ikkje med toppsirkelen av sylinderen eller botnsirkelen av halvkula, fordi dei er gøymde (der sylinder og halvkule møtest).

$O = 9\pi + 60\pi + 18\pi = 87\pi \approx 273 \text{ m}^2$

✏️Eksempel 3 – Sylinder med kjegleforma hol

Ein massiv sylinder med radius $5 \text{ cm}$ og høgd $10 \text{ cm}$ har eit kjegleforma hol bora inn frå toppen. Holet har same radius som sylinderen og djupn $6 \text{ cm}$ .

Rekn ut volumet av den attverande figuren.

Løysing:

Vi reknar ut volumet av sylinderen og trekkjer frå volumet av kjegla.

Sylindervolum:
$V_{\text{syl}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = 250\pi$

Kjeglevolum (holet):
$V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 6 = 50\pi$

Attverande volum:
$V = V_{\text{syl}} - V_{\text{kjegle}} = 250\pi - 50\pi = 200\pi \approx 628 \text{ cm}^3$

📝Oppgave 1

Ei kule har radius $6 \text{ cm}$ . Rekn ut volumet. Oppgi svaret eksakt med $\pi$ og avrunda til næraste heile $\text{cm}^3$ .

📝Oppgave 2

Ei kule har diameter $10 \text{ cm}$ . Rekn ut overflatearealet.

📝Oppgave 3

Jordkloden har ein radius på om lag $6371 \text{ km}$ . Rekn ut overflata til jorda i $\text{km}^2$ . Oppgi svaret i millionar $\text{km}^2$ .

📝Oppgave 4

Ein blyant kan skildrast som ein sylinder med ei kjegle i den eine enden (spissen). Sylinderen har diameter $7 \text{ mm}$ og lengd $17 \text{ cm}$ . Kjegla har høgd $1 \text{ cm}$ .

Rekn ut det totale volumet av blyanten. Oppgi svaret i $\text{mm}^3$ .

📝Oppgave 5

Ei halvkule med radius $8 \text{ cm}$ er plassert oppå ein sylinder med same radius og høgd $15 \text{ cm}$ .

a) Rekn ut totalvolumet.
b) Rekn ut den totale overflata.

📝Oppgave 6

Ein iskrem som består av ei kule plassert på ei kjegle. Kula har radius $3 \text{ cm}$ og kjegla har radius $3 \text{ cm}$ og høgd $12 \text{ cm}$ .

Rekn ut det totale volumet av iskremen (kule + kjegle).

📝Oppgave 7

Ei kule med radius $r$ er plassert inne i ein sylinder slik at kula akkurat rører botn, topp og sideflatene til sylinderen.

a) Kva er høgda og radiusen til sylinderen uttrykt ved $r$ ?
b) Vis at volumet av kula er $\displaystyle \frac{2}{3}$ av volumet til sylinderen.
c) Vis at overflata av kula er lik mantelflata til sylinderen.

📝Oppgave 8

Ein tennisballboks er ein sylinder som inneheld 3 tennisballar, stabla oppå kvarandre. Kvar tennisball har diameter $6{,}7 \text{ cm}$ .

a) Kva er den minste radiusen og høgda boksen kan ha?
b) Rekn ut volumet av boksen.
c) Rekn ut det totale volumet av dei 3 tennisballane.
d) Kor stor del av boksen er «tom» (luft)?

📝Oppgave 9

Ein kulerund sjokolade har diameter $4 \text{ cm}$ og er pakka inn i aluminiumsfolie. Sjokoladen skal pakkast i ei øskje forma som eit rektangulært prisme som rommar $2 \times 3 = 6$ sjokoladar i eitt lag.

a) Kva er dei minste dimensjonane til øskja?
b) Rekn ut volumet av øskja.
c) Rekn ut det totale volumet av dei 6 sjokoladane.
d) Kor mange prosent av øskja er ubrukt plass?

📝Oppgave 10

Ein vassfontene sprutar vatn som formar ein parabel. Vatnet landar i eit basseng forma som ei halvkule med radius $1{,}5 \text{ m}$ . Bassenget blir tømt gjennom eit røyr i botnen med ein fart på $20$ liter per minutt.

a) Rekn ut volumet bassenget kan halde (i liter).
b) Kor lang tid tek det å tømme eit fullt basseng?

📝Oppgave F1

Finn feilen! Nora skal rekne ut volumet av ein samansett figur som består av ein sylinder med ei halvkule på toppen. Sylinderen har radius

4 \text{ cm}

og høgd

10 \text{ cm}

. Halvkula har same radius som sylinderen.

$\displaystyle V = \pi r^2 h + \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 + \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = 160\pi + \frac{256}{3}\pi \approx 770 \text{ cm}^3$

Finn feilen og skriv rett utrekning.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Overflata av ei kule med radius $r$ er $4\pi r^2$ , altså nøyaktig fire gonger arealet av ein storsirkel.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Ein produsent vil lage hermetikkboksar som rommar

500 \text{ cm}^3

. Dei vurderer tre former: ein sylinder, ein kube og ei kule. Kva form bruker minst materiale (har minst overflate) for det gitte volumet? Diskuter kvifor naturen ofte bruker kuleforma (f.eks. dropar og såpebobler), og forklar kvifor vi likevel bruker sylindrar og boksar som emballasje i staden for kuler.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Kule: Volumet er $\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi r^3$ og overflata er $O = 4\pi r^2$ . Overflata er nøyaktig fire gonger arealet av ein storsirkel.
- Halvkule: Volumet er $\displaystyle V = \frac{2}{3} \pi r^3$ og overflata er $O = 3\pi r^2$ (bøygd del pluss flat sirkelflate).
- Samansette figurar: For å finne volum eller overflate av samansette romfigurar, deler vi dei opp i kjende enkle figurar, reknar kvar del for seg, og legg saman eller trekkjer frå. Hugs at indre flater (der to delar møtest) ikkje er del av overflata.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Kule	Alle punkt med avstand $r$ frå eit sentrum; $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , $O = 4\pi r^2$
Halvkule	Halv kule; $\displaystyle V = \frac{2}{3}\pi r^3$ , $O = 3\pi r^2$
Samansett figur	Romfigur sett saman av fleire enkle figurar
Indre flater	Flater der to delar møtest, som ikkje blir talde med i overflata
Storsirkel	Sirkel gjennom sentrum av kula med radius $r$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.