9.3 Kule og sammensatte figurer

Den perfekte formen

Av alle romfigurer er kulen den mest «perfekte». Ingen kanter, ingen hjørner -- bare en jevnt buet overflate der hvert eneste punkt er nøyaktig like langt fra sentrum. Baller, jordkloden, såpebobler og appelsiner -- kuler er overalt.

Det som gjør kulen spesiell matematisk, er at den har det minste overflatearealet for et gitt volum. Naturen vet dette: såpebobler former seg til kuler fordi overflatespenningen minimerer overflaten.

I dette kapittelet lærer vi formlene for kuler, og deretter kombinerer vi alt vi har lært for å takle sammensatte figurer -- romfigurer som er bygd opp av flere enkle figurer.

Kuleformlene

For en kule med radius $r$ har vi:

Volum:
$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

Overflate:
$$O = 4\pi r^2$$

Overflaten er nøyaktig fire ganger arealet av en storsirkel ($\pi r^2$). Du kan tenke på det slik: hvis du kapper en appelsin i to og presser skallbitene flatt, dekker de nøyaktig fire sirkler med same radius.

En basketball med diameter $24$ cm har radius $r = 12$ cm. Volumet er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi \cdot 12^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728 = 2304\pi \approx 7238 \text{ cm}^3 \approx 7{,}2$ liter. Overflaten er $O = 4\pi \cdot 144 = 576\pi \approx 1810 \text{ cm}^2$.

For en halvkule halverer vi volumet og legger til den flate sirkelflaten:
- Volum: $\displaystyle V = \frac{2}{3}\pi r^3$
- Overflate: $O = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$ (buet del + flat sirkel)

En vakker sammenheng oppdaget av Arkimedes for over 2000 år siden: Hvis en kule passer perfekt inni en sylinder (same radius og høyde $= 2r$), er kulens volum $\displaystyle \frac{2}{3}$ av sylinderens volum, og kulens overflate er lik sylinderens mantelflate ($4\pi r^2$).

Sammensatte figurer -- som å bygge med LEGO

I virkeligheten er de fleste objekter ikke bare én enkel form. En blyant er en sylinder med en kjegle på toppen. En silo er en sylinder med en halvkule som tak. En iskrem er en kule plassert på en kjegle. For å finne volum og overflate av slike sammensatte figurer bruker vi en enkel strategi:

For volum:
1. Del opp figuren i kjente enkle figurer.
2. Beregn volumet av hver del for seg.
3. Legg sammen (eller trekk fra hvis det er hull).

For overflate:
1. Identifiser hvilke flater som er synlige (ytre flater).
2. Trekk fra flater som er skjult inne i figuren (der to deler møtes).
3. Legg sammen de synlige flatearealene.

Det siste punktet er viktig! Når en halvkule sitter oppå en sylinder, er toppsirkelen til sylinderen og bunnsirkelen til halvkulen skjult -- de er inne i figuren og skal ikke telles med i overflaten.

La oss ta et eksempel: En silo med sylinderradius $3$ m og sylinderhøyde $10$ m, med en halvkule som tak. Volumet er $\displaystyle V = \pi \cdot 9 \cdot 10 + \frac{2}{3}\pi \cdot 27 = 90\pi + 18\pi = 108\pi \approx 339 \text{ m}^3$. For overflaten tar vi bunnsirkelen ($9\pi$), sylindermantelen ($60\pi$) og halvkulens buede del ($18\pi$), men ikke sirkelen der de møtes: $O = 9\pi + 60\pi + 18\pi = 87\pi \approx 273 \text{ m}^2$.

Tennisballer, sjokolade og tomrom

Et morsomt problem: Tre tennisballer (diameter $6{,}7$ cm) stables i en sylindrisk boks. Boksen har radius $3{,}35$ cm og høyde $3 \cdot 6{,}7 = 20{,}1$ cm.

Boksens volum: $V_{\text{boks}} = \pi \cdot 3{,}35^2 \cdot 20{,}1 \approx 708{,}7 \text{ cm}^3$.
Ballenes volum: $\displaystyle V_{\text{baller}} = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 3{,}35^3 \approx 472{,}4 \text{ cm}^3$.
Tomrommet: $708{,}7 - 472{,}4 = 236{,}3 \text{ cm}^3$, som er $\displaystyle \frac{236{,}3}{708{,}7} \approx 33{,}3\%$.

Omtrent en tredjedel av boksen er tom luft! Og dette gjelder uansett hvor store ballene er -- det er alltid $\displaystyle \frac{1}{3}$.

Et annet eksempel: Seks kulerunde sjokolader (diameter $4$ cm) i en $3 \times 2$-eske. Esken måler $12 \times 8 \times 4$ cm med volum $384 \text{ cm}^3$. Sjokoladene har totalt volum $\displaystyle 6 \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 = 64\pi \approx 201 \text{ cm}^3$. Nesten halvparten ($47{,}6\%$) av esken er tom plass!

Disse problemene illustrerer et dypt matematisk spørsmål: pakkeproblemet -- hvordan fyller man rom mest effektivt med kuler?

Oppsummering

Vi har utforsket kuler og lært å kombinere romfigurer.

Arkimedes' vakre resultat: En kule innskrevet i en sylinder har $\displaystyle \frac{2}{3}$ av sylinderens volum og lik mantelflate. Denne sammenhengen er så elegant at Arkimedes ba om at den ble gravert på gravstøtten hans.