9.3 Kule og sammensatte figurer | Matematikk 9. klasse

Beregn volum og overflate av kuler og sammensatte figurer.

50 min

7 oppgaver

KuleSammensatte figurerVolumOverflate

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Kuler og sammensatte figurer

Kulen er kanskje den mest «perfekte» romfiguren. Den har ingen kanter, ingen hjørner – bare én jevnt buet overflate. Baller, jordkloden og såpebobler er alle eksempler på kuler.

I dette kapittelet skal vi lære formlene for volum og overflate av kuler. Deretter skal vi jobbe med sammensatte figurer – romfigurer som er satt sammen av flere enkle figurer. For å finne volumet eller overflaten av slike figurer må vi kombinere formlene vi har lært.

For eksempel kan en blyant beskrives som en sylinder med en kjegle på toppen, og en silo som en sylinder med en halvkule på toppen.

Kule

r

Sammensatte figurer

En sammensatt figur er en romfigur som er satt sammen av to eller flere enkle romfigurer (prismer, sylindere, kjegler, pyramider, kuler osv.). Strategi for volumberegning: 1. Del opp figuren i kjente enkle figurer. 2. Beregn volumet av hver del for seg. 3. Legg sammen (eller trekk fra) delvolumene. Strategi for overflateberegning: 1. Identifiser hvilke flater som er synlige (ytre flater). 2. Trekk fra flater som er «skjult» inne i figuren (der to deler møtes). 3. Legg sammen de synlige flatearealene. Vær spesielt oppmerksom på at indre flater (der to deler møtes) ikke er del av overflaten!

✏️Eksempel 1 – Kule

En basketball har diameter $24 \text{ cm}$ .

a) Beregn volumet av basketballen.
b) Beregn overflatearealet.

Løsning:

Radius: $\displaystyle r = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm}$

a) Volum:
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 12^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1728 = 2304\pi \approx 7238 \text{ cm}^3$

Det tilsvarer omtrent $7{,}2$ liter.

b) Overflate:
$O = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 12^2 = 576\pi \approx 1810 \text{ cm}^2$

✏️Eksempel 2 – Silo (sylinder + halvkule)

En kornsilo har form som en sylinder med en halvkule på toppen. Sylinderen har radius $3 \text{ m}$ og høyde $10 \text{ m}$ .

a) Beregn det totale volumet av siloen.
b) Beregn den totale overflaten (inkludert bunnen).

Løsning:

a) Totalvolum:

Sylinder: $V_1 = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi$

Halvkule: $\displaystyle V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 27 = 18\pi$

$V_{\text{total}} = 90\pi + 18\pi = 108\pi \approx 339 \text{ m}^3$

b) Total overflate:

Vi trenger:
- Bunnen (sirkel): $\pi r^2 = 9\pi$
- Sylindermantelen: $2\pi r h = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi$
- Halvkulen (buet del): $2\pi r^2 = 2\pi \cdot 9 = 18\pi$

Merk: Vi tar ikke med toppsirkelen av sylinderen eller bunnsirkelen av halvkulen, fordi de er skjult (der sylinder og halvkule møtes).

$O = 9\pi + 60\pi + 18\pi = 87\pi \approx 273 \text{ m}^2$

✏️Eksempel 3 – Sylinder med kjegleformet hull

En massiv sylinder med radius $5 \text{ cm}$ og høyde $10 \text{ cm}$ har et kjegleformet hull boret inn fra toppen. Hullet har samme radius som sylinderen og dybde $6 \text{ cm}$ .

Beregn volumet av den gjenværende figuren.

Løsning:

Vi beregner volumet av sylinderen og trekker fra volumet av kjeglen.

Sylindervolum:
$V_{\text{syl}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = 250\pi$

Kjeglevolum (hullet):
$V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 6 = 50\pi$

Gjenværende volum:
$V = V_{\text{syl}} - V_{\text{kjegle}} = 250\pi - 50\pi = 200\pi \approx 628 \text{ cm}^3$

📝Oppgave 1

En kule har radius $6 \text{ cm}$ . Beregn volumet. Oppgi svaret eksakt med $\pi$ og avrundet til nærmeste hele $\text{cm}^3$ .

📝Oppgave 2

En kule har diameter $10 \text{ cm}$ . Beregn overflatearealet.

📝Oppgave 3

Jordkloden har en radius på omtrent $6371 \text{ km}$ . Beregn jordas overflate i $\text{km}^2$ . Oppgi svaret i millioner $\text{km}^2$ .

📝Oppgave 4

En blyant kan beskrives som en sylinder med en kjegle i ene enden (spissen). Sylinderen har diameter $7 \text{ mm}$ og lengde $17 \text{ cm}$ . Kjeglen har høyde $1 \text{ cm}$ .

Beregn det totale volumet av blyanten. Oppgi svaret i $\text{mm}^3$ .

📝Oppgave 5

En halvkule med radius $8 \text{ cm}$ er plassert oppå en sylinder med samme radius og høyde $15 \text{ cm}$ .

a) Beregn totalvolumet.
b) Beregn den totale overflaten.

📝Oppgave 6

En iskrem bestående av en kule plassert på en kjegle. Kulen har radius $3 \text{ cm}$ og kjeglen har radius $3 \text{ cm}$ og høyde $12 \text{ cm}$ .

Beregn det totale volumet av iskremen (kule + kjegle).

📝Oppgave 7

En kule med radius $r$ er plassert inne i en sylinder slik at kulen akkurat berører bunn, topp og sideflatene til sylinderen.

a) Hva er høyden og radiusen til sylinderen uttrykt ved $r$ ?
b) Vis at volumet av kulen er $\displaystyle \frac{2}{3}$ av volumet til sylinderen.
c) Vis at overflaten av kulen er lik mantelflaten til sylinderen.

📝Oppgave 8

En tennisballboks er en sylinder som inneholder 3 tennisballer, stablet oppå hverandre. Hver tennisball har diameter $6{,}7 \text{ cm}$ .

a) Hva er den minste radius og høyde boksen kan ha?
b) Beregn volumet av boksen.
c) Beregn det totale volumet av de 3 tennisballene.
d) Hvor stor andel av boksen er «tom» (luft)?

📝Oppgave 9

En kulerund sjokolade har diameter $4 \text{ cm}$ og er pakket inn i aluminiumsfolie. Sjokoladen skal pakkes i en eske formet som et rektangulært prisme som rommer $2 \times 3 = 6$ sjokolader i ett lag.

a) Hva er de minste dimensjonene til esken?
b) Beregn volumet av esken.
c) Beregn det totale volumet av de 6 sjokoladene.
d) Hvor mange prosent av esken er ubrukt plass?

📝Oppgave 10

En vannfontene spruter vann som former en parabel. Vannet lander i et basseng formet som en halvkule med radius $1{,}5 \text{ m}$ . Bassenget tømmes gjennom et rør i bunnen med en hastighet på $20$ liter per minutt.

a) Beregn volumet bassenget kan holde (i liter).
b) Hvor lang tid tar det å tømme et fullt basseng?

📝Oppgave F1

Finn feilen! Nora skal beregne volumet av en sammensatt figur som består av en sylinder med en halvkule på toppen. Sylinderen har radius

4 \text{ cm}

og høyde

10 \text{ cm}

. Halvkulen har samme radius som sylinderen.

$\displaystyle V = \pi r^2 h + \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 + \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = 160\pi + \frac{256}{3}\pi \approx 770 \text{ cm}^3$

Finn feilen og skriv riktig utregning.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Overflaten av en kule med radius $r$ er $4\pi r^2$ , altså nøyaktig fire ganger arealet av en storsirkel.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: En produsent vil lage hermetikkbokser som rommer

500 \text{ cm}^3

. De vurderer tre former: en sylinder, en kube og en kule. Hvilken form bruker minst materiale (har minst overflate) for det gitte volumet? Diskuter hvorfor naturen ofte bruker kuleformen (f.eks. dråper og såpebobler), og forklar hvorfor vi likevel bruker sylindere og bokser som emballasje i stedet for kuler.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Kule: Volumet er $\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi r^3$ og overflaten er $O = 4\pi r^2$ . Overflaten er nøyaktig fire ganger arealet av en storsirkel.
- Halvkule: Volumet er $\displaystyle V = \frac{2}{3} \pi r^3$ og overflaten er $O = 3\pi r^2$ (buet del pluss flat sirkelflate).
- Sammensatte figurer: For å finne volum eller overflate av sammensatte romfigurer, deler vi dem opp i kjente enkle figurer, beregner hver del for seg, og legger sammen eller trekker fra. Husk at indre flater (der to deler møtes) ikke er del av overflaten.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Kule	Alle punkter med avstand $r$ fra et sentrum; $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , $O = 4\pi r^2$
Halvkule	Halv kule; $\displaystyle V = \frac{2}{3}\pi r^3$ , $O = 3\pi r^2$
Sammensatt figur	Romfigur satt sammen av flere enkle figurer
Indre flater	Flater der to deler møtes, som ikke telles med i overflaten
Storsirkel	Sirkel gjennom sentrum av kulen med radius $r$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.