10.1 Spredningsmål i praksis | Matematikk 9. klasse

Kvartiler, IQR og boksplott for å beskrive datasett.

50 min

7 oppgaver

KvartilerIQRBoksplottSpredningsmål

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Hvorfor trenger vi spredningsmål?

Når vi beskriver et datasett med bare gjennomsnittet, mister vi mye informasjon. Tenk deg to klasser som begge har gjennomsnittlig karakteren $4{,}0$ i matematikk. I den ene klassen har alle elevene mellom $3$ og $5$ , mens i den andre har halvparten $2$ og halvparten $6$ .

Sentralmål (gjennomsnitt, median, typetall) forteller oss hvor "midten" av dataene ligger. Men for å forstå hele bildet trenger vi også spredningsmål som forteller oss hvor spredt dataene er rundt midten.

I dette kapittelet lærer vi om:
- Kvartiler ( $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ ) som deler datasettet i fire like store deler
- Interkvartilbredde (IQR) som måler spredningen til de midterste 50 % av dataene
- Boksplott (box plot) som gir en visuell oversikt over fordelingen
- Standardavvik som måler den gjennomsnittlige avstanden fra gjennomsnittet

Kvartiler

Q_1

Interkvartilbredde (IQR)

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

✏️Eksempel 1 - Finne kvartiler

Resultatene til 11 elever på en matteprøve (maks 20 poeng) er:

$8, \; 12, \; 15, \; 7, \; 18, \; 10, \; 14, \; 9, \; 16, \; 11, \; 13$

Finn $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ og IQR.

Løsning:

Steg 1: Sorter dataene fra minst til størst:
$7, \; 8, \; 9, \; 10, \; 11, \; 12, \; 13, \; 14, \; 15, \; 16, \; 18$

Steg 2: Finn medianen ( $Q_2$ ). Vi har 11 verdier, så medianen er verdi nummer 6:
$Q_2 = 12$

Steg 3: Nedre halvdel (uten medianen): $7, \; 8, \; 9, \; 10, \; 11$
Medianen av disse 5 verdiene er verdi nummer 3:
$Q_1 = 9$

Steg 4: Øvre halvdel (uten medianen): $13, \; 14, \; 15, \; 16, \; 18$
Medianen av disse 5 verdiene er verdi nummer 3:
$Q_3 = 15$

Steg 5: Beregn IQR:
$\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 15 - 9 = 6$

De midterste 50 % av elevene fikk mellom 9 og 15 poeng, med en spredning på 6 poeng.

📝Oppgave F1

Finn feilen! Jonas har funnet kvartilene i dette datasettet:

$3, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 13, \; 15$

Han skriver:

$Q_2 = 9$ , nedre halvdel er $3, \; 5, \; 7, \; 9$ , og $\displaystyle Q_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6$ .

Finn feilen og skriv riktig utregning.

Boksplott

Q_1

✏️Eksempel 2 - Tegne boksplott og finne uteliggere

Antall sjokoladebiter 13 elever spiste i løpet av en uke:

$2, \; 3, \; 5, \; 6, \; 7, \; 7, \; 8, \; 9, \; 10, \; 11, \; 12, \; 14, \; 25$

a) Finn femtallsoversikten ( $\text{min}$ , $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , $\text{maks}$ ).
b) Beregn IQR og finn eventuelle uteliggere.
c) Beskriv boksplottet.

Løsning:

a) Femtallsoversikt:

Dataene er allerede sortert. Vi har 13 verdier.

$Q_2$ = verdi nummer 7: $Q_2 = 8$

Nedre halvdel: $2, \; 3, \; 5, \; 6, \; 7, \; 7$
$\displaystyle Q_1 = \frac{5 + 6}{2} = 5{,}5$

Øvre halvdel: $9, \; 10, \; 11, \; 12, \; 14, \; 25$
$\displaystyle Q_3 = \frac{11 + 12}{2} = 11{,}5$

Femtallsoversikt: $\text{min} = 2$ , $Q_1 = 5{,}5$ , $Q_2 = 8$ , $Q_3 = 11{,}5$ , $\text{maks} = 25$

b) IQR og uteliggere:

$\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 11{,}5 - 5{,}5 = 6$

Nedre grense: $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 5{,}5 - 9 = -3{,}5$
Øvre grense: $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 11{,}5 + 9 = 20{,}5$

Verdien $25$ er over den øvre grensen på $20{,}5$ , så 25 er en uteligger.

c) Boksplottbeskrivelse:
- Boksen strekker seg fra $5{,}5$ til $11{,}5$ med medianlinje på $8$
- Nedre whisker går fra $2$ til $5{,}5$
- Øvre whisker går fra $11{,}5$ til $14$ (siste verdi som ikke er uteligger)
- $25$ markeres som et enkeltpunkt (uteligger)
- Vi ser at fordelingen er høyreskjev fordi medianen ligger nærmere $Q_1$ enn $Q_3$

Introduksjon til standardavvik

Mens IQR bare ser på de midterste 50 %, finnes det et spredningsmål som tar hensyn til alle datapunktene: standardavviket.

Standardavviket måler den gjennomsnittlige avstanden fra gjennomsnittet. Et lite standardavvik betyr at verdiene er samlet tett rundt gjennomsnittet, mens et stort standardavvik betyr stor spredning.

Formelen for standardavvik for et datasett med $n$ verdier $x_1, x_2, \ldots, x_n$ og gjennomsnitt $\bar{x}$ :

$s = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n - 1}}$

eller kortere:

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$

Steg for beregning:
1. Finn gjennomsnittet $\bar{x}$ .
2. Finn avviket fra gjennomsnittet for hver verdi: $x_i - \bar{x}$ .
3. Kvadrer hvert avvik: $(x_i - \bar{x})^2$ .
4. Finn gjennomsnittet av de kvadrerte avvikene (del på $n-1$ ).
5. Ta kvadratroten.

Tips: På 9. trinn er det viktigst å forstå hva standardavviket betyr, og å kunne beregne det med kalkulator.

✏️Eksempel 3 - Standardavvik

Fem venner har følgende antall apper på telefonen:

$12, \; 15, \; 18, \; 20, \; 25$

Beregn standardavviket.

Løsning:

Steg 1: Gjennomsnitt:
$\bar{x} = \frac{12 + 15 + 18 + 20 + 25}{5} = \frac{90}{5} = 18$

Steg 2 og 3: Avvik og kvadrerte avvik:

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
$12$	$12 - 18 = -6$	$36$
$15$	$15 - 18 = -3$	$9$
$18$	$18 - 18 = 0$	$0$
$20$	$20 - 18 = 2$	$4$
$25$	$25 - 18 = 7$	$49$

Steg 4: Sum av kvadrerte avvik:

\sum (x_i - \bar{x})^2 = 36 + 9 + 0 + 4 + 49 = 98

Steg 5: Standardavvik:

s = \sqrt{\frac{98}{5-1}} = \sqrt{\frac{98}{4}} = \sqrt{24{,}5} \approx 4{,}95

Standardavviket er ca.

5

apper. Det betyr at verdiene i gjennomsnitt avviker ca.

5

apper fra gjennomsnittet på

18

📝Oppgave 1

Resultatene til 9 elever på en naturfagsprøve (maks 30 poeng) er:

$14, \; 18, \; 20, \; 22, \; 24, \; 25, \; 27, \; 28, \; 30$

Finn $Q_1$ , $Q_2$ og $Q_3$ .

📝Oppgave 2

Et datasett har $Q_1 = 12$ og $Q_3 = 28$ .

a) Finn IQR.
b) Hva betyr IQR-verdien?

📝Oppgave 3

Antall timer 12 elever brukte på lekser i en uke:

$3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7, \; 8, \; 8, \; 9, \; 10, \; 11, \; 12, \; 20$

a) Finn femtallsoversikten (min, $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , maks).
b) Beregn IQR.
c) Er det noen uteliggere?

📝Oppgave 4

To grupper elever har gjennomført den samme testen. Resultatene (i poeng) er:

Gruppe A: $10, \; 12, \; 14, \; 15, \; 16, \; 18, \; 20$
Gruppe B: $3, \; 8, \; 13, \; 15, \; 17, \; 22, \; 27$

a) Finn medianen for begge gruppene.
b) Finn IQR for begge gruppene.
c) Hvilken gruppe har størst spredning? Forklar.

📝Oppgave 5

Beregn standardavviket for dette datasettet:

$4, \; 7, \; 8, \; 10, \; 11$

Vis utregningen steg for steg.

📝Oppgave 6

Forklar med egne ord hva forskjellen er mellom variasonsbredde (maks - min) og IQR som spredningsmål. Gi et eksempel der variasonsbredde kan gi et misvisende bilde.

📝Oppgave 7

Temperaturmålinger (i

°C

) kl. 12:00 de siste 15 dagene i en by:

$-3, \; -1, \; 0, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 6, \; 7, \; 8, \; 10, \; 11, \; 12, \; 22$

a) Finn femtallsoversikten.
b) Beregn IQR.
c) Bestem om det er uteliggere, og forklar hva de kan skyldes.
d) Beregn gjennomsnittet, og forklar hvorfor medianen kanskje er et bedre sentralmål for dette datasettet.

📝Oppgave 8

En lærer har registrert antall fravær (i dager) for 10 elever det siste halvåret:

$1, \; 2, \; 3, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 8, \; 10, \; 35$

a) Beregn gjennomsnitt og standardavvik.
b) Beregn gjennomsnitt og standardavvik uten den siste verdien ( $35$ ).
c) Hva forteller sammenligningen deg om hvordan uteliggere påvirker gjennomsnitt og standardavvik?

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: To klasser har begge gjennomsnittlig karakter

4{,}0

i matematikk. Klasse A har standardavvik

0{,}5

og klasse B har standardavvik

1{,}8

. Diskuter: Hvilken klasse ville du helst vært lærer for hvis du ville gi tilpasset undervisning? Begrunn svaret ditt ved å forklare hva standardavviket forteller om elevene i de to klassene, og hvilke utfordringer læreren møter i hver klasse.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Kvartiler: Å dele et sortert datasett i fire like store deler med $Q_1$ , $Q_2$ (medianen) og $Q_3$
- Interkvartilbredde (IQR): Å beregne spredningen til de midterste 50 % av dataene med formelen $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
- Boksplott: Å lage en grafisk fremstilling av femtallsoversikten (min, $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , maks)
- Uteliggere: Å identifisere verdier som ligger mer enn $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ utenfor $Q_1$ eller $Q_3$
- Standardavvik: Å beregne den gjennomsnittlige avstanden fra gjennomsnittet, og forstå hva verdien betyr

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Kvartiler ( $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ )	Verdier som deler et sortert datasett i fire like store deler
Interkvartilbredde (IQR)	$Q_3 - Q_1$ , spredningen til de midterste 50 % av dataene
Boksplott	Grafisk fremstilling basert på femtallsoversikten
Uteligger	Verdi som ligger mer enn $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ utenfor kvartilene
Standardavvik	Mål for gjennomsnittlig avstand fra gjennomsnittet
Robust spredningsmål	Mål som ikke påvirkes mye av ekstremverdier (f.eks. IQR)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.