10.1 Spredningsmål i praksis

Gjennomsnittet lyver (nesten)

Tenk deg to fotballag. Begge har gjennomsnittlig $1{,}5$ mål per kamp i sesongen. Men det ene laget scorer konsekvent $1$ eller $2$ mål hver kamp, mens det andre laget veksler mellom $0$ og $6$ mål. De har likt gjennomsnitt, men opplevelsen av å se kampene er vilt forskjellig!

Det er dette spredningsmål handler om. Mens sentralmål (gjennomsnitt, median, typetall) forteller oss hvor «midten» av dataene ligger, forteller spredningsmål oss hvor spredt dataene er rundt midten. Er verdiene samlet tett sammen, eller er de vidt spredt?

I dette kapittelet lærer vi om tre viktige verktøy:
- Kvartiler -- som deler dataene i fire like store deler
- Interkvartilbredde (IQR) -- som måler spredningen til de midterste 50 %
- Boksplott -- som gir en visuell oversikt over hele fordelingen

Kvartiler -- å dele dataene i fire

Tenk deg at du sorterer alle elevene i klassen etter høyde, fra kortest til høyest. Medianen deler gruppen i to halvdeler. Men vi kan dele videre: medianen av den nedre halvdelen gir første kvartil ($Q_1$), og medianen av den øvre halvdelen gir tredje kvartil ($Q_3$).

Nå har vi fire grupper:
- De 25 % laveste verdiene (under $Q_1$)
- De neste 25 % (mellom $Q_1$ og medianen)
- De neste 25 % (mellom medianen og $Q_3$)
- De 25 % høyeste verdiene (over $Q_3$)

Slik finner du kvartilene:
1. Sorter dataene fra minst til størst.
2. Finn medianen ($Q_2$) -- den deler datasettet i to halvdeler.
3. Finn medianen av den nedre halvdelen ($Q_1$).
4. Finn medianen av den øvre halvdelen ($Q_3$).

Viktig: Hvis medianen er ett av datapunktene (odde antall verdier), tas den ikke med i noen av halvdelene.

Et eksempel: Resultatene til $11$ elever på en prøve (allerede sortert): $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18$. Medianen ($Q_2$) er verdi nummer $6$: $Q_2 = 12$. Nedre halvdel er $7, 8, 9, 10, 11$ med median $Q_1 = 9$. Øvre halvdel er $13, 14, 15, 16, 18$ med median $Q_3 = 15$.

Boksplott og uteliggere

Et boksplott er en grafisk fremstilling som viser fem nøkkeltall -- den såkalte femtallsoversikten: minimum, $Q_1$, median ($Q_2$), $Q_3$ og maksimum.

Selve «boksen» strekker seg fra $Q_1$ til $Q_3$, med en linje i midten for medianen. «Whiskers» (streker) strekker seg ut til minimum og maksimum. Boksplott er fantastiske for å sammenligne to datasett visuelt -- du kan med ett blikk se hvilken gruppe som har størst spredning og om en gruppe har et høyere sentralpunkt.

Men hva med verdier som er veldig langt unna resten? De kalles uteliggere, og de markeres som enkeltpunkter utenfor whiskers. En verdi er en uteligger hvis den ligger mer enn $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ utenfor $Q_1$ eller $Q_3$:

- Nedre grense: $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$
- Øvre grense: $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$

Verdier utenfor disse grensene er uteliggere. Whiskers strekker seg da bare til den siste verdien som ikke er en uteligger.

Et eksempel: Antall sjokoladebiter $13$ elever spiste i en uke: $2, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 25$. Her er $Q_1 = 5{,}5$, $Q_2 = 8$, $Q_3 = 11{,}5$ og $\text{IQR} = 6$. Den øvre grensen er $11{,}5 + 9 = 20{,}5$. Verdien $25$ er over denne grensen og er altså en uteligger -- kanskje noen hadde en veldig god (eller dårlig?) sjokoladeuke!

Standardavvik -- den gjennomsnittlige avstanden fra gjennomsnittet

Mens IQR bare ser på de midterste $50\%$, finnes det et spredningsmål som tar hensyn til alle datapunktene: standardavviket. Det måler den gjennomsnittlige avstanden fra gjennomsnittet.

Formelen ser litt skremmende ut, men ideen er enkel:

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$$

Steg for steg:
1. Finn gjennomsnittet $\bar{x}$.
2. For hvert datapunkt: finn avviket fra gjennomsnittet ($x_i - \bar{x}$).
3. Kvadrer hvert avvik (for å unngå at positive og negative avvik nuller hverandre ut).
4. Finn gjennomsnittet av de kvadrerte avvikene (del på $n - 1$).
5. Ta kvadratroten.

Et eksempel: Fem venner har $12, 15, 18, 20, 25$ apper. Gjennomsnittet er $\bar{x} = 18$. Kvadrerte avvik: $36 + 9 + 0 + 4 + 49 = 98$. Standardavvik: $\displaystyle s = \sqrt{\frac{98}{4}} = \sqrt{24{,}5} \approx 4{,}95$. Verdiene avviker altså i gjennomsnitt ca. $5$ apper fra gjennomsnittet.

En viktig ting: standardavviket er følsomt for uteliggere, akkurat som gjennomsnittet. Én ekstremt høy eller lav verdi kan blåse opp standardavviket dramatisk. Derfor er median og IQR ofte bedre valg for skjeve datasett.

Oppsummering

Sentralmål alene forteller ikke hele historien -- vi trenger spredningsmål for å forstå hvor spredt dataene er.