Tilbake
9.2
Kjegle og pyramide

9.2 Kjegle og pyramide

Alle fag for 9. klasse

Beregn overflate og volum av kjegler og pyramider.

50 min
7 oppgaver
KjeglePyramideOverflateVolum
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 7 oppgaver

Kjegler og pyramider

Kjegler og pyramider er romfigurer som smalner av mot en spiss topp. Tenk på en iskremkjegle, et telt, eller pyramidene i Egypt!

Den store nøkkelen til å forstå disse figurene er denne sammenhengen:

> Volumet av en kjegle eller pyramide er en tredjedel av volumet til en tilsvarende sylinder eller prisme med samme grunnflate og høyde.

Dette betyr at hvis du fyller en kjegle med vann og tømmer den i en sylinder med samme radius og høyde, må du gjøre det tre ganger for å fylle sylinderen.

Vi skal også lære om skråhøyde, som er viktig når vi beregner overflaten av disse figurene.

Pyramide
En pyramide er en romfigur med én grunnflate (polygon) og trekantede sideflater som møtes i ett punkt (toppen).

Volum av en pyramide:
V=13G⋅hV = \frac{1}{3} G \cdot h
der GG er arealet av grunnflaten og hh er høyden (vinkelrett avstand fra grunnflaten til toppen).

Overflate av en pyramide:
O=G+MO = G + M
der MM er summen av arealene til alle de trekantede sideflatene.

For en rett pyramide med kvadratisk grunnflate (side ss) og skråhøyde ll:
O=s2+4⋅s⋅l2=s2+2slO = s^2 + 4 \cdot \frac{s \cdot l}{2} = s^2 + 2sl

Skråhøyde (ll) er avstanden fra midten av en grunnflatekant til toppen, målt langs sideflaten.

Kjegle
En kjegle er en romfigur med én sirkulær grunnflate og en buet sideflate som smalner mot et punkt (toppen).

Volum av en kjegle:
V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h
der rr er radius i grunnflaten og hh er høyden.

Overflate av en kjegle:
O=πr2+πrsO = \pi r^2 + \pi r s
der ss er skråhøyden (avstanden fra kanten av grunnflaten til toppen langs sideflaten).

Sammenhengen mellom hh, rr og ss: Høyden, radiusen og skråhøyden danner en rettvinklet trekant:
s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2}

Mantelen (sideflaten) «brettet ut» blir en sirkelsektor med areal πrs\pi r s.

Tredjedelsregelen
For alle spisse figurer (pyramider og kjegler) gjelder:

Vspiss figur=13⋅Vtilsvarende prisme/sylinderV_{\text{spiss figur}} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{tilsvarende prisme/sylinder}}

Det vil si:
- Vpyramide=13⋅G⋅h\displaystyle V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h
- Vkjegle=13⋅πr2h\displaystyle V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 h

Denne regelen gjelder uansett hvilken form grunnflaten har, og uansett om toppen er rett over sentrum av grunnflaten eller ikke.

✏️Eksempel 1 – Pyramide med kvadratisk grunnflate

En rett pyramide har en kvadratisk grunnflate med side 6 cm6 \text{ cm} og høyde 8 cm8 \text{ cm}.

a) Beregn volumet.
b) Finn skråhøyden.
c) Beregn overflaten.

Løsning:

a) Volum:
G=62=36 cm2G = 6^2 = 36 \text{ cm}^2
V=13G⋅h=13⋅36⋅8=96 cm3V = \frac{1}{3} G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96 \text{ cm}^3

b) Skråhøyde: Skråhøyden ll går fra midten av en grunnflatekant til toppen. Avstanden fra sentrum av grunnflaten til midten av en kant er s2=62=3 cm\displaystyle \frac{s}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}.

Vi bruker Pytagoras:
l=h2+(s2)2=82+32=64+9=73≈8,54 cml = \sqrt{h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \approx 8{,}54 \text{ cm}

c) Overflate:
O=s2+2sl=36+2⋅6⋅8,54=36+102,5≈138,5 cm2O = s^2 + 2sl = 36 + 2 \cdot 6 \cdot 8{,}54 = 36 + 102{,}5 \approx 138{,}5 \text{ cm}^2

📝Oppgave F1
Finn feilen! Maria har regnet ut volumet av en kjegle med radius 6 cm6 \text{ cm} og høyde 9 cm9 \text{ cm}:

V=πr2h=π⋅62⋅9=324π≈1018 cm3V = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 9 = 324\pi \approx 1018 \text{ cm}^3

Finn feilen og skriv riktig utregning.

✏️Eksempel 2 – Kjegle

En kjegle har radius 5 cm5 \text{ cm} og høyde 12 cm12 \text{ cm}.

a) Beregn volumet.
b) Finn skråhøyden.
c) Beregn overflaten.

Løsning:

a) Volum:
V=13πr2h=13π⋅52⋅12=300π3=100π≈314 cm3V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{300\pi}{3} = 100\pi \approx 314 \text{ cm}^3

b) Skråhøyde:
s=r2+h2=52+122=25+144=169=13 cms = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}

c) Overflate:
O=πr2+πrs=π⋅25+π⋅5⋅13=25π+65π=90π≈283 cm2O = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 25 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 283 \text{ cm}^2

✏️Eksempel 3 – Kjegle vs. sylinder

En kjegle og en sylinder har begge radius 4 cm4 \text{ cm} og høyde 9 cm9 \text{ cm}.

a) Beregn volumet av sylinderen.
b) Beregn volumet av kjeglen.
c) Vis at volumet av kjeglen er nøyaktig en tredjedel av volumet til sylinderen.

Løsning:

a) Sylinder:
Vsyl=πr2h=π⋅42⋅9=144π≈452 cm3V_{\text{syl}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = 144\pi \approx 452 \text{ cm}^3

b) Kjegle:
Vkjegle=13πr2h=13⋅144π=48π≈151 cm3V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot 144\pi = 48\pi \approx 151 \text{ cm}^3

c) Sammenligning:
VkjegleVsyl=48π144π=48144=13✓\frac{V_{\text{kjegle}}}{V_{\text{syl}}} = \frac{48\pi}{144\pi} = \frac{48}{144} = \frac{1}{3} \checkmark

Kjeglevolumet er nøyaktig 13\displaystyle \frac{1}{3} av sylindervolumet, slik formelen sier.

📝Oppgave 1

En pyramide har en rektangulær grunnflate med lengde 10 cm10 \text{ cm} og bredde 6 cm6 \text{ cm}. Høyden er 9 cm9 \text{ cm}. Beregn volumet.

📝Oppgave 2

En kjegle har radius 3 cm3 \text{ cm} og høyde 7 cm7 \text{ cm}. Beregn volumet. Oppgi svaret eksakt med π\pi og avrundet.

📝Oppgave 3

En kjegle har radius 6 cm6 \text{ cm} og høyde 8 cm8 \text{ cm}. Finn skråhøyden ss.

📝Oppgave 4

En rett pyramide har en kvadratisk grunnflate med side 10 cm10 \text{ cm}. Skråhøyden er 13 cm13 \text{ cm}.

a) Beregn overflaten.
b) Finn høyden til pyramiden.
c) Beregn volumet.

📝Oppgave 5

En kjegle har radius 7 cm7 \text{ cm} og skråhøyde 25 cm25 \text{ cm}.

a) Finn høyden.
b) Beregn volumet.
c) Beregn overflaten.

📝Oppgave 6

En pyramideformet sandhaug har en kvadratisk grunnflate med side 3 m3 \text{ m} og høyde 1,8 m1{,}8 \text{ m}. Sand veier omtrent 1600 kg/m31600 \text{ kg/m}^3. Hvor mye veier sandhaugen?

📝Oppgave 7

En rettvinklet trekant har kateter 8 cm8 \text{ cm} (horisontal) og 6 cm6 \text{ cm} (vertikal). Trekanten roteres 360°360° rundt den vertikale kateten (6 cm6 \text{ cm}). Beskriv romfiguren som oppstår, og beregn volumet.

📝Oppgave 8

En kjegleformet trakt har diameter 12 cm12 \text{ cm} og høyde 16 cm16 \text{ cm}. Trakten er fylt med vann til halvparten av høyden.

a) Finn radiusen til vannoverflaten.
b) Beregn volumet av vannet.
c) Hvor stor andel av kjeglens totale volum er fylt med vann?

📝Oppgave S1
Sant eller usant?

Volumet av en kjegle er halvparten av volumet til en sylinder med samme grunnflate og høyde.

📝Oppgave D1
Drøftingsoppgave: Volumet av en kjegle (og pyramide) er alltid 13\displaystyle \frac{1}{3} av volumet til en sylinder (eller prisme) med samme grunnflate og høyde. Forklar hvorfor dette gir mening intuitivt. Gi minst to praktiske eksempler fra hverdagen der denne sammenhengen mellom kjegle og sylinder kan være nyttig å kjenne til.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pyramide: En romfigur med én grunnflate (polygon) og trekantede sideflater som møtes i en topp. Volumet er V=13G⋅h\displaystyle V = \frac{1}{3} G \cdot h.
- Kjegle: En romfigur med sirkulær grunnflate og buet sideflate som smalner mot en topp. Volumet er V=13πr2h\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. Overflaten er O=πr2+πrsO = \pi r^2 + \pi r s der ss er skråhøyden.
- Tredjedelsregelen: Volumet av en kjegle eller pyramide er alltid en tredjedel av volumet til en tilsvarende sylinder eller prisme med samme grunnflate og høyde.
- Skråhøyde: For en kjegle gjelder s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2} (Pytagoras).

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
PyramideRomfigur med polygonal grunnflate og trekantede sideflater som møtes i ett punkt
KjegleRomfigur med sirkulær grunnflate og buet sideflate mot en topp
Skråhøyde (ss)Avstanden fra grunnflatekanten til toppen langs sideflaten
TredjedelsregelenVspiss=13⋅Vtilsvarende prisme/sylinder\displaystyle V_{\text{spiss}} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{tilsvarende prisme/sylinder}}
MantelflateDen buede (eller trekantede) sideflaten til kjegle eller pyramide
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.