9.2 Kjegle og pyramide

Figurer som smalner til en spiss

Tenk deg at du holder en iskremkjegle i hånden. Eller at du ser på de gamle pyramidene i Egypt. Begge disse figurene har noe til felles: de starter bredt i bunnen og smalner av mot en spiss topp.

Matematisk kaller vi dem kjegler (med sirkulær grunnflate) og pyramider (med mangekantede grunnflater). Og det finnes en fantastisk sammenheng mellom disse figurene og de vi allerede kjenner:

> Volumet av en kjegle eller pyramide er nøyaktig en tredjedel av volumet til en tilsvarende sylinder eller prisme med samme grunnflate og høyde.

Hvis du fyller en kjegle med vann og tømmer den i en sylinder med samme radius og høyde, må du gjøre det tre ganger for å fylle sylinderen helt. Denne regelen er så viktig at den har fått sitt eget navn: tredjedelsregelen.

Pyramiden -- fra Egypt til matematikktimen

En pyramide har én grunnflate (en mangekant) og trekantede sideflater som møtes i ett toppunkt. Den mest kjente typen er pyramiden med kvadratisk grunnflate, som Keopspyramiden.

Volumet er:

$$V = \frac{1}{3} G \cdot h$$

der $G$ er grunnflatearealet og $h$ er den loddrette høyden fra grunnflaten til toppen.

For overflaten trenger vi grunnflaten pluss alle de trekantede sideflatene. For en pyramide med kvadratisk grunnflate (side $s$) og skråhøyde $l$:

$$O = s^2 + 2sl$$

Skråhøyden $l$ er avstanden fra midten av en grunnflatekant til toppen, målt langs sideflaten -- ikke rett opp. Vi kan finne den med Pytagoras: $\displaystyle l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2}$.

La oss prøve: En pyramide med kvadratisk grunnflate ($s = 6$ cm) og høyde $h = 8$ cm. Volumet er $\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96 \text{ cm}^3$. Skråhøyden er $l = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \approx 8{,}54$ cm, og overflaten er $O = 36 + 2 \cdot 6 \cdot 8{,}54 \approx 138{,}5 \text{ cm}^2$.

Kjeglen -- iskrem og trafikkjegler

En kjegle er som en pyramide, men med sirkulær grunnflate. Den finnes i iskremkjeglen, trafikkjeglen og mange andre steder.

Volumformelen følger tredjedelsregelen -- en tredjedel av den tilsvarende sylinderen:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

For overflaten trenger vi grunnflaten (en sirkel) pluss mantelen (den buede sideflaten). Mantelen «brettet ut» blir en sirkelsektor med areal $\pi r s$, der $s$ er skråhøyden:

$$O = \pi r^2 + \pi r s$$

Sammenhengen mellom høyden $h$, radius $r$ og skråhøyden $s$ er en rettvinklet trekant:

$$s = \sqrt{r^2 + h^2}$$

En kjegle med radius $5$ cm og høyde $12$ cm har skråhøyde $s = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm. Volumet er $\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \approx 314 \text{ cm}^3$. Overflaten er $O = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 283 \text{ cm}^2$.

Legg merke til at $5$, $12$ og $13$ er et pytagoreisk trippel -- et hint om at du bør se etter slike tallkombinasjoner i oppgaver.

Kjegle vs. sylinder -- et overraskende eksperiment

La oss bekrefte tredjedelsregelen med et eksempel. Tenk deg en kjegle og en sylinder som begge har radius $4$ cm og høyde $9$ cm.

Sylinderen har volum $V_{\text{syl}} = \pi \cdot 16 \cdot 9 = 144\pi \approx 452 \text{ cm}^3$.

Kjeglen har volum $\displaystyle V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \cdot 144\pi = 48\pi \approx 151 \text{ cm}^3$.

Forholdet: $\displaystyle \frac{48\pi}{144\pi} = \frac{1}{3}$. Perfekt!

Det finnes også et smart problem med kjegleformede trakter. Tenk deg en trakt med radius $6$ cm og høyde $16$ cm som er fylt med vann til halve høyden ($8$ cm). Hva er radius til vannoverflaten? Fordi kjeglen er formlik (som litt russiske dukker), gjelder forholdet $\displaystyle \frac{r}{h} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. Ved $h = 8$ cm er $\displaystyle r = \frac{3}{8} \cdot 8 = 3$ cm. Volumet av vannet er $\displaystyle \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 8 = 24\pi$, mens totalvolumet er $\displaystyle \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 16 = 192\pi$. Andelen er $\displaystyle \frac{24\pi}{192\pi} = \frac{1}{8}$. Bare en åttedel er fylt -- selv om vannet står på halve høyden! Grunnen er at radiusen også halveres.

Oppsummering

Kjegler og pyramider er «spisse» versjoner av sylindere og prismer. Den store innsikten er tredjedelsregelen:

Tredjedelsregelen gjelder uansett grunnflatens form og uansett om figuren er rett eller skjev.