9.1 Prisme og sylinder – overflate og volum | Matematikk 9. klasse

Beregn overflate og volum av prismer og sylindre.

50 min

7 oppgaver

PrismeSylinderOverflateVolum

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Romgeometri – prismer og sylindere

I hverdagen er vi omgitt av tredimensjonale figurer: bokser, hermetikkbokser, rør og bygninger. For å beskrive disse figurene trenger vi begreper som overflate og volum.

Volum forteller oss hvor mye plass en figur tar opp, og måles i kubikkenheter ( $\text{cm}^3$ , $\text{dm}^3$ , $\text{m}^3$ osv.). Overflate er det totale arealet av alle flatene som omslutter figuren, og måles i kvadratenheter ( $\text{cm}^2$ , $\text{m}^2$ osv.).

I dette kapittelet skal vi jobbe med to viktige typer romfigurer:
- Prismer – figurer med to like, parallelle grunnflater og rette sidevegger
- Sylindere – figurer med to sirkulære grunnflater forbundet av en buet sideflate

Begge disse figurene har det til felles at tverrsnittet er likt hele veien fra bunn til topp.

Prisme

V = G \cdot h

Sylinder

V = \pi r^2 h

Enhetsomregning for volum

1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ liter}

✏️Eksempel 1 – Rektangulær boks

En eske har lengde $25 \text{ cm}$ , bredde $15 \text{ cm}$ og høyde $10 \text{ cm}$ .

a) Beregn volumet av esken.
b) Beregn overflaten av esken.
c) Hvor mange liter rommer esken?

Løsning:

a) Volum:
$V = l \cdot b \cdot h = 25 \cdot 15 \cdot 10 = 3750 \text{ cm}^3$

b) Overflate:
$O = 2(l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h)$
$O = 2(25 \cdot 15 + 25 \cdot 10 + 15 \cdot 10)$
$O = 2(375 + 250 + 150) = 2 \cdot 775 = 1550 \text{ cm}^2$

c) Omregning til liter:
$3750 \text{ cm}^3 = 3750 \text{ ml} = 3{,}75 \text{ liter}$

📝Oppgave F1

Finn feilen! Henrik har regnet ut overflaten av en sylinder med radius

3 \text{ cm}

og høyde

10 \text{ cm}

$O = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi \approx 188 \text{ cm}^2$

Finn feilen og skriv riktig utregning.

✏️Eksempel 2 – Trekantet prisme

Et trekantet prisme har en rettvinklet trekantet grunnflate med kateter $3 \text{ cm}$ og $4 \text{ cm}$ (og hypotenus $5 \text{ cm}$ ). Prismet er $12 \text{ cm}$ langt.

a) Beregn volumet.
b) Beregn overflaten.

Løsning:

a) Grunnflatearealet:
$G = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2$

Volum:
$V = G \cdot h = 6 \cdot 12 = 72 \text{ cm}^3$

b) Overflate: Vi trenger arealet av de to trekantene pluss de tre rektanglene (sideflatene).

To trekanter: $2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}^2$

Tre rektangler (sidelengder $3$ , $4$ og $5$ cm, alle med høyde $12$ cm):
$3 \cdot 12 + 4 \cdot 12 + 5 \cdot 12 = 36 + 48 + 60 = 144 \text{ cm}^2$

Total overflate:
$O = 12 + 144 = 156 \text{ cm}^2$

✏️Eksempel 3 – Sylinder

En hermetikkboks er formet som en sylinder med radius $4 \text{ cm}$ og høyde $11 \text{ cm}$ .

a) Beregn volumet. Oppgi svaret eksakt og avrundet til nærmeste hele $\text{cm}^3$ .
b) Beregn overflaten.
c) Hvor mange desiliter rommer boksen?

Løsning:

a) Volum:
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 11 = 176\pi \approx 553 \text{ cm}^3$

b) Overflate:
$O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
$O = 2\pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 11$
$O = 32\pi + 88\pi = 120\pi \approx 377 \text{ cm}^2$

c) Omregning:
$553 \text{ cm}^3 = 553 \text{ ml} = 5{,}53 \text{ dl}$

Boksen rommer omtrent $5{,}5$ desiliter.

📝Oppgave 1

Beregn volumet av et rektangulært prisme med lengde $8 \text{ cm}$ , bredde $5 \text{ cm}$ og høyde $3 \text{ cm}$ .

📝Oppgave 2

Beregn overflaten av en boks med lengde $10 \text{ cm}$ , bredde $6 \text{ cm}$ og høyde $4 \text{ cm}$ .

📝Oppgave 3

En sylinder har radius $3 \text{ cm}$ og høyde $10 \text{ cm}$ . Beregn volumet. Oppgi svaret eksakt med $\pi$ og avrundet til nærmeste hele $\text{cm}^3$ .

📝Oppgave 4

En sylinder har diameter $14 \text{ cm}$ og høyde $20 \text{ cm}$ . Beregn overflaten av sylinderen.

📝Oppgave 5

Et trekantet prisme har en likesidet trekant som grunnflate med side $6 \text{ cm}$ . Prismet er $15 \text{ cm}$ høyt. Beregn volumet.

Hint: Arealet av en likesidet trekant med side $s$ er $\displaystyle G = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$ .

📝Oppgave 6

Et akvarium har form som et rektangulært prisme med lengde $80 \text{ cm}$ , bredde $40 \text{ cm}$ og høyde $50 \text{ cm}$ . Akvariet fylles med vann til $5 \text{ cm}$ under kanten.

a) Hvor mange liter vann er det i akvariet?
b) Hvor mye glass trengs det for å lage akvariet (uten lokk)?

📝Oppgave 7

En vannbeholder er formet som en sylinder med radius $1{,}2 \text{ m}$ og høyde $3 \text{ m}$ .

a) Beregn volumet i kubikkmeter.
b) Hvor mange liter vann rommer beholderen?

📝Oppgave 8

Et rør er formet som en hul sylinder. Den ytre radiusen er $5 \text{ cm}$ og den indre radiusen er $4 \text{ cm}$ . Røret er $2 \text{ m}$ langt.

a) Beregn volumet av materialet i røret.
b) Hvor mange liter vann kan røret transportere (indre volum)?

📝Oppgave 9

En sylinderformet beholder skal lages slik at den rommer nøyaktig $1$ liter ( $1000 \text{ cm}^3$ ). Diameteren skal være lik høyden.

a) Sett opp en ligning og finn radius.
b) Beregn overflaten av beholderen.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Arealet av mantelen til en sylinder med radius $r$ og høyde $h$ er $\pi r^2 h$ .

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Du har et rektangulært papirark som er

20 \text{ cm} \times 30 \text{ cm}

. Du kan rulle det til en sylinder på to måter: med høyde

20 \text{ cm}

eller med høyde

30 \text{ cm}

. Hvilken sylinder rommer mest? Begrunn svaret uten å regne ut nøyaktig volum -- bruk argumentasjon om hvordan radius og høyde påvirker volumet.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Prisme: En romfigur med to like, parallelle grunnflater og rette sidevegger. Volumet er $V = G \cdot h$ der $G$ er grunnflatearealet og $h$ er høyden. Overflaten er $O = 2G + M$ der $M$ er mantelen (summen av sideflatene).
- Sylinder: En romfigur med to sirkulære grunnflater. Volumet er $V = \pi r^2 h$ og overflaten er $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ .
- Enhetsomregning: $1 \text{ dm}^3 = 1$ liter, $1 \text{ m}^3 = 1000$ liter, $1 \text{ cm}^3 = 1$ ml.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Prisme	Romfigur med to kongruente, parallelle grunnflater og rektangulære sideflater
Sylinder	Romfigur med to sirkulære grunnflater og buet sideflate
Grunnflate ( $G$ )	Arealet av bunn- eller toppflaten
Mantel ( $M$ )	Summen av sideflatenes areal
Volum	Hvor mye plass figuren tar opp, målt i kubikkenheter
Overflate	Det totale arealet av alle ytre flater

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.