9.1 Prisme og sylinder – overflate og volum

En verden i tre dimensjoner

Se deg rundt i rommet. Bøkene på pulten, melkekartongen i kjøleskapet, batteriet i fjernkontrollen -- alle disse tingene har lengde, bredde og høyde. De er tredimensjonale figurer, og for å beskrive dem trenger vi to viktige begreper:

- Volum -- hvor mye plass figuren tar opp (tenk: hvor mye vann kan du fylle i den?)
- Overflate -- det totale arealet av alle flatene som dekker figuren (tenk: hvor mye gavepapir trenger du for å pakke den inn?)

Volum måles i kubikkenheter ($\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$), og overflate måles i kvadratenheter ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$). Og her er en nyttig huskeregel for hverdagen: $1 \text{ dm}^3 = 1$ liter, og $1 \text{ cm}^3 = 1$ milliliter.

La oss starte med to av de vanligste romfigurene: prismer og sylindere.

Prismer -- bokser, telt og sjokoladestenger

Et prisme er en romfigur der to flater er nøyaktig like (disse kalles grunnflatene) og resten av flatene er rektangler som forbinder dem. Grunnflatene kan ha hvilken som helst form -- rektangel, trekant, sekskant -- bare de er like og parallelle.

Den enkleste typen er det rektangulære prismet, altså en vanlig boks. Tenk på en skoeske med lengde $l$, bredde $b$ og høyde $h$. Volumet er rett og slett:

$$V = l \cdot b \cdot h$$

Overflaten er summen av alle seks sider. Boksen har tre par med like flater:

$$O = 2(l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h)$$

Men nøkkelen til prismer generelt er enda enklere. Uansett hvilken form grunnflaten har, er volumet:

$$V = G \cdot h$$

der $G$ er arealet av grunnflaten og $h$ er høyden. Overflaten er:

$$O = 2G + M$$

der $M$ er mantelen -- summen av arealene til alle sideflatene.

Et trekantet prisme (som et Toblerone-eske) med en rettvinklet trekant som grunnflate med kateter $3$ og $4$ cm og prismehøyde $12$ cm har for eksempel grunnflateareal $\displaystyle G = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2$ og volum $V = 6 \cdot 12 = 72 \text{ cm}^3$.

Sylindere -- boksene med runde bunner

Nå skal vi se på sylinderen -- den figuren du finner i hermetikkbokser, vannrør og battericeller. En sylinder har to sirkulære grunnflater forbundet av en buet sideflate som kalles mantelen.

Volumet av en sylinder følger det samme prinsippet som for prismer: grunnflateareal ganger høyde. Grunnflaten er en sirkel med areal $\pi r^2$, så:

$$V = \pi r^2 h$$

For overflaten trenger vi de to sirkulære flatene pluss mantelen. Hvis du «bretter ut» mantelen, får du et rektangel med bredde lik omkretsen av sirkelen ($2\pi r$) og høyde $h$:

$$O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$

La oss prøve: En hermetikkboks med radius $4$ cm og høyde $11$ cm. Volumet er $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 11 = 176\pi \approx 553 \text{ cm}^3$. Det tilsvarer $553$ ml, eller omtrent $5{,}5$ desiliter. Overflaten er $O = 2\pi \cdot 16 + 2\pi \cdot 4 \cdot 11 = 32\pi + 88\pi = 120\pi \approx 377 \text{ cm}^2$.

En viktig detalj: oppgaver gir noen ganger diameteren i stedet for radius. Husk alltid at $\displaystyle r = \frac{d}{2}$. Hvis diameteren er $14$ cm, er radius $7$ cm.

Praktiske utfordringer -- akvarier og rør

La oss se på to hverdagsproblemer som viser hvordan vi bruker formlene i praksis.

Akvariet: Tenk deg et rektangulært akvarium med lengde $80$ cm, bredde $40$ cm og høyde $50$ cm. Det fylles med vann til $5$ cm under kanten. Vannhøyden er altså $45$ cm, ikke $50$ cm. Volumet av vannet er $V = 80 \cdot 40 \cdot 45 = 144\,000 \text{ cm}^3 = 144$ liter. Og fordi akvariet ikke har lokk, trenger vi glass til bunnen pluss fire sidevegger (ikke seks flater!): $O = 80 \cdot 40 + 2 \cdot 80 \cdot 50 + 2 \cdot 40 \cdot 50 = 3200 + 8000 + 4000 = 15\,200 \text{ cm}^2$.

Det hule røret: Et vannrør har ytre radius $R = 5$ cm, indre radius $r = 4$ cm og lengde $200$ cm. Volumet av selve rørmaterialet er forskjellen mellom det ytre og indre volumet:

$$V_{\text{materiale}} = \pi h(R^2 - r^2) = \pi \cdot 200 \cdot (25 - 16) = 1800\pi \approx 5655 \text{ cm}^3$$

Det indre volumet -- altså hvor mye vann som kan strømme gjennom -- er $V_{\text{indre}} = \pi \cdot 4^2 \cdot 200 = 3200\pi \approx 10\,053 \text{ cm}^3 \approx 10{,}1$ liter.

Legg merke til to viktige ting: vi måtte huske å ikke telle lokket på akvariet, og vi måtte omgjøre meter til centimeter for røret ($2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$). Enheter er viktige!

Oppsummering

Vi har utforsket prismer og sylindere -- to av de vanligste romfigurene i hverdagen.

- Pass alltid på at alle mål er i samme enhet før du regner!