Tilbake
8.3
Trekantutlikheten og mediansetninger

8.3 Trekantutlikheten og mediansetninger

Alle fag for 9. klasse

Forstå formlike trekanter, medianer og tyngdepunkt.

50 min
7 oppgaver
FormlikhetMedianerTyngdepunktForholdstall
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 7 oppgaver

Trekantutlikheten og mediansetninger

Kan du lage en trekant med sider 33 cm, 44 cm og 1010 cm? Prøv å tenke deg det - uansett hvordan du legger de to korteste sidene, rekker de ikke rundt for å danne en lukket figur.

Dette eksempelet illustrerer trekantutlikheten, en grunnleggende egenskap som setter begrensninger på hvilke sidelengder en trekant kan ha.

I dette kapittelet skal vi også se på medianer i trekanter og den kraftige midtpunktssetningen. Disse verktøyene brukes mye i geometriske bevis.

Du vil lære:
- Trekantutlikheten og hvordan du bruker den
- Hva medianer er og hvor de møtes
- Midtpunktssetningen og dens anvendelser

Trekantutlikheten
Trekantutlikheten: I enhver trekant er summen av lengdene av to vilkårlige sider alltid større enn lengden av den tredje siden.

Hvis en trekant har sider aa, bb og cc, da gjelder:

a+b>ca + b > c
a+c>ba + c > b
b+c>ab + c > a

Alle tre ulikhetene må være oppfylt for at en trekant skal eksistere.

Intuitivt: Den korteste veien mellom to punkter er en rett linje. Derfor er den direkte siden alltid kortere enn omveien via det tredje hjørnet.

Konsekvens: Tre lengder aa, bb og cc kan danne en trekant hvis og bare hvis den lengste siden er kortere enn summen av de to andre. I praksis trenger du bare å sjekke at summen av de to korteste sidene er større enn den lengste.

✏️Eksempel: Kan disse sidelengdene danne en trekant?

Avgjør om følgende sidelengder kan danne en trekant:
a) a=3a = 3, b=5b = 5, c=7c = 7
b) a=2a = 2, b=3b = 3, c=8c = 8
c) a=5a = 5, b=5b = 5, c=5c = 5

Vi sjekker om summen av de to korteste sidene er større enn den lengste:

a) a=3a = 3, b=5b = 5, c=7c = 7 (lengste side: c=7c = 7)

3+5=8>7✓3 + 5 = 8 > 7 \checkmark

Ja, dette kan danne en trekant.

b) a=2a = 2, b=3b = 3, c=8c = 8 (lengste side: c=8c = 8)

2+3=5<8 ✗2 + 3 = 5 < 8 \text{ ✗}

Nei, dette kan ikke danne en trekant. De to korte sidene er til sammen kortere enn den lange.

c) a=5a = 5, b=5b = 5, c=5c = 5 (alle sider like)

5+5=10>5✓5 + 5 = 10 > 5 \checkmark

Ja, dette er en likesidet trekant.

📝Oppgave S1
Sant eller usant?

«Sidelengdene 44, 77 og 1111 kan danne en trekant.»

Median og tyngdepunkt
En median i en trekant er et linjestykke som går fra et hjørne til midtpunktet på den motstående siden.

Hver trekant har tre medianer. De tre medianene møtes alltid i ett felles punkt som kalles tyngdepunktet (eller sentroiden).

Egenskaper til tyngdepunktet:
- Tyngdepunktet deler hver median i forholdet 2:12:1 fra hjørnet
- Det betyr at avstanden fra hjørnet til tyngdepunktet er dobbelt så lang som avstanden fra tyngdepunktet til midtpunktet på den motstående siden
- Tyngdepunktet er trekantens balansepunkt: Hvis du skjærer ut trekanten i kartong, kan du balansere den på en blyantspiss i tyngdepunktet

Formelt: Hvis MM er midtpunktet på BCBC, og GG er tyngdepunktet, da er:

AG=23⋅AMogGM=13⋅AMAG = \frac{2}{3} \cdot AM \quad \text{og} \quad GM = \frac{1}{3} \cdot AM

✏️Eksempel: Finne tyngdepunktet

I trekant ABCABC er A=(0,6)A = (0, 6), B=(0,0)B = (0, 0) og C=(9,0)C = (9, 0). Finn koordinatene til tyngdepunktet GG.

Metode 1: Bruke formelen for tyngdepunktet

Tyngdepunktet har koordinater som er gjennomsnittet av hjørnenes koordinater:

G=(xA+xB+xC3, yA+yB+yC3)G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)

G=(0+0+93, 6+0+03)=(3, 2)G = \left(\frac{0 + 0 + 9}{3},\, \frac{6 + 0 + 0}{3}\right) = \left(3,\, 2\right)

Metode 2: Bruke medianen

Midtpunktet MM på BCBC er:

M=(0+92, 0+02)=(4,5, 0)M = \left(\frac{0 + 9}{2},\, \frac{0 + 0}{2}\right) = (4{,}5,\, 0)

Medianen AMAM går fra A=(0,6)A = (0, 6) til M=(4,5, 0)M = (4{,}5,\, 0).

Tyngdepunktet ligger 23\displaystyle \frac{2}{3} av veien fra AA til MM:

Gx=0+23(4,5−0)=3G_x = 0 + \frac{2}{3}(4{,}5 - 0) = 3
Gy=6+23(0−6)=6−4=2G_y = 6 + \frac{2}{3}(0 - 6) = 6 - 4 = 2

Svar: Tyngdepunktet er G=(3,2)G = (3, 2).

Midtpunktssetningen
Midtpunktssetningen: La △ABC\triangle ABC være en trekant. Hvis MM er midtpunktet på ABAB og NN er midtpunktet på ACAC, da gjelder:

1. MN∥BCMN \parallel BC (linjestykket MNMN er parallelt med BCBC)
2. MN=12⋅BC\displaystyle MN = \frac{1}{2} \cdot BC (linjestykket MNMN er halvparten så langt som BCBC)

Med andre ord: Linjestykket som forbinder midtpunktene av to sider i en trekant er parallelt med den tredje siden og halvparten så langt.

Denne setningen er svært nyttig i bevis og har mange anvendelser. Den forteller oss at midtpunktene på sidene i en trekant danner en ny trekant som er formlik med den opprinnelige, med lengdeforhold 1:21:2.

✏️Eksempel: Bruke midtpunktssetningen

I trekant ABCABC er MM midtpunktet på ABAB og NN er midtpunktet på ACAC. Hvis BC=12BC = 12 cm, hva er lengden MNMN? Hvis ∠B=65°\angle B = 65°, hva er ∠AMN\angle AMN?

Lengden MNMN:

Etter midtpunktssetningen er MN=12⋅BC\displaystyle MN = \frac{1}{2} \cdot BC:

MN=12⋅12=6 cmMN = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ cm}

Vinkelen ∠AMN\angle AMN:

Etter midtpunktssetningen er MN∥BCMN \parallel BC.

Siden MN∥BCMN \parallel BC, er ∠AMN\angle AMN og ∠ABN\angle ABN samsvarende vinkler (med ABAB som tverrside).

Altså er ∠AMN=∠B=65°\angle AMN = \angle B = 65°.

Svar: MN=6MN = 6 cm og ∠AMN=65°\angle AMN = 65°.

📝Oppgave 1

Avgjør om følgende sidelengder kan danne en trekant:

a
a=4a = 4, b=6b = 6, c=9c = 9
b
a=1a = 1, b=2b = 2, c=5c = 5
c
a=7a = 7, b=7b = 7, c=7c = 7
d
a=3a = 3, b=4b = 4, c=7c = 7
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 2

To sider i en trekant er 55 cm og 88 cm. Hva er det minste og det største heltall den tredje siden kan ha?

📝Oppgave 3

Finn koordinatene til tyngdepunktet i trekanten med hjørner A=(3,0)A = (3, 0), B=(0,6)B = (0, 6) og C=(9,3)C = (9, 3).

📝Oppgave 4

I trekant ABCABC er MM midtpunktet på ABAB og NN midtpunktet på ACAC. Bruk midtpunktssetningen til å finne MNMN når BC=18BC = 18 cm.

📝Oppgave 5

Medianen fra AA i trekant ABCABC har lengde 1515 cm. Finn avstanden fra AA til tyngdepunktet GG, og fra GG til midtpunktet MM på BCBC.

📝Oppgave 6

I trekant PQRPQR er P=(0,0)P = (0, 0), Q=(8,0)Q = (8, 0) og R=(4,6)R = (4, 6). La MM og NN være midtpunktene på PQPQ og PRPR. Finn koordinatene til MM og NN, og vis at MN=12⋅QR\displaystyle MN = \frac{1}{2} \cdot QR.

📝Oppgave 7

Vis at i en trekant med sider aa, bb og cc gjelder det at ∣a−b∣<c|a - b| < c. (Tips: Bruk trekantutlikheten.)

📝Oppgave 8

I trekant ABCABC er DD, EE og FF midtpunktene på sidene BCBC, ACAC og ABAB. Vis at trekant DEFDEF deler den opprinnelige trekanten i fire kongruente trekanter.

📝Oppgave 9

En trekant har hjørner A=(1,1)A = (1, 1), B=(7,3)B = (7, 3) og C=(3,7)C = (3, 7).

a) Finn lengden av alle tre medianene.
b) Vis at alle tre medianene møtes i tyngdepunktet GG.

📝Oppgave D1
Drøftingsoppgave: I en trekant deler tyngdepunktet hver median i forholdet 2:12:1 fra hjørnet. Forklar med egne ord hvorfor tyngdepunktet alltid ligger nærmere midtpunktet på den motstående siden enn hjørnet. Betyr dette at tyngdepunktet alltid ligger «inni» trekanten? Begrunn svaret.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Trekantutlikheten: I enhver trekant er summen av to vilkårlige sider alltid større enn den tredje siden. Tre lengder aa, bb, cc kan danne en trekant hvis og bare hvis summen av de to korteste er større enn den lengste.
- Formlike trekanter: Trekanter med like vinkler er formlike. Sidene i formlike trekanter har samme forholdstall.
- Medianer og tyngdepunkt: En median går fra et hjørne til midtpunktet på den motstående siden. De tre medianene møtes i tyngdepunktet, som deler hver median i forholdet 2:12:1 fra hjørnet. Tyngdepunktets koordinater er gjennomsnittet av hjørnenes koordinater.
- Midtpunktssetningen: Linjestykket mellom midtpunktene på to sider i en trekant er parallelt med den tredje siden og halvparten så langt: MN∥BCMN \parallel BC og MN=12⋅BC\displaystyle MN = \frac{1}{2} \cdot BC.

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
TrekantutlikhetenSummen av to sider er alltid større enn den tredje
MedianLinjestykke fra et hjørne til midtpunktet på motstående side
TyngdepunktSkjæringspunktet til de tre medianene; deler hver i forholdet 2:12:1
MidtpunktssetningenLinjen mellom midtpunktene på to sider er parallell med og halv så lang som den tredje
MidtnormalLinje vinkelrett på en side gjennom sidens midtpunkt
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.