8.3 Trekantutlikheten og mediansetninger

Kan alle sidelengder danne en trekant?

Tenk deg at du har tre pinner. Den ene er 3 cm, den andre er 4 cm, og den tredje er 10 cm. Kan du lage en trekant av dem? Prøv å se det for deg: de to korte pinnene til sammen er $3 + 4 = 7$ cm -- men den lange pinnen er 10 cm. De korte pinnene «rekker ikke rundt». Det er umulig å lukke figuren.

Dette er trekantutlikheten i praksis -- en grunnleggende lov som bestemmer hvilke trekanter som kan eksistere. Den sier: summen av to sider i en trekant er alltid større enn den tredje. Bryter du denne regelen, kollapser trekanten.

I tillegg skal vi i dette kapittelet utforske medianer (linjer til midtpunktet på motsatt side) og den elegante midtpunktssetningen.

Trekantutlikheten

Trekantutlikheten sier at for enhver trekant med sider $a$, $b$ og $c$ gjelder:

$$a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a$$

Intuitivt: den korteste veien mellom to punkter er en rett linje. Å gå via det tredje hjørnet er alltid en omvei, så omveien (to sider) er alltid lengre enn den direkte veien (den tredje siden).

I praksis trenger du bare å sjekke en ting: er summen av de to korteste sidene større enn den lengste? Hvis ja, kan du lage en trekant. Hvis nei, er det umulig.

La oss teste noen eksempler:
- $3, 5, 7$: De to korteste er $3 + 5 = 8 > 7$. Ja, dette er en trekant.
- $2, 3, 8$: De to korteste er $2 + 3 = 5 < 8$. Nei, umulig.
- $5, 5, 5$: $5 + 5 = 10 > 5$. Ja, en likesidet trekant.
- $3, 4, 7$: $3 + 4 = 7 = 7$. Nei! Vi trenger streng ulikhet ($>$, ikke $=$). Her ville «trekanten» kollapset til en rett linje.

En nyttig konsekvens: Hvis to sider i en trekant er $a$ og $b$, må den tredje siden $c$ oppfylle:

$$|a - b| < c < a + b$$

Altså ligger $c$ mellom differansen og summen av de to andre sidene.

Medianer og tyngdepunktet

En median i en trekant er et linjestykke fra et hjørne til midtpunktet på den motstående siden. Hver trekant har tre medianer.

Det fascinerende er at alle tre medianene alltid møtes i ett punkt -- tyngdepunktet (også kalt sentroiden). Tyngdepunktet har en spesiell egenskap: det deler hver median i forholdet $2:1$ fra hjørnet. Altså er avstanden fra hjørnet til tyngdepunktet dobbelt så lang som avstanden fra tyngdepunktet til midtpunktet.

Hvis medianen fra $A$ til midtpunktet $M$ på $BC$ har lengde $15$ cm, og tyngdepunktet er $G$, da er:

$$AG = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \text{ cm}$$
$$GM = \frac{1}{3} \cdot AM = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5 \text{ cm}$$

Tyngdepunktet har et fint navn -- det er trekantens balansepunkt. Skjærer du ut trekanten i kartong og legger den på en blyantspiss i tyngdepunktet, balanserer den perfekt.

Koordinatene til tyngdepunktet er gjennomsnittet av hjørnenes koordinater:

$$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$

Midtpunktssetningen

Midtpunktssetningen er en av geometriens mest elegante resultater. Den sier:

> Linjestykket som forbinder midtpunktene av to sider i en trekant, er parallelt med den tredje siden og halvparten så langt.

Formelt: Hvis $M$ er midtpunktet på $AB$ og $N$ er midtpunktet på $AC$ i $\triangle ABC$, da er:

1. $MN \parallel BC$
2. $\displaystyle MN = \frac{1}{2} \cdot BC$

Denne setningen har mange konsekvenser. For eksempel: Hvis $BC = 12$ cm, er $MN = 6$ cm. Og siden $MN \parallel BC$, er samsvarende vinkler like: $\angle AMN = \angle B$.

En vakker anvendelse: Forbind midtpunktene av alle tre sidene i en trekant. Da får du en ny, liten trekant inne i den opprinnelige. Midtpunktssetningen viser at denne indre trekanten har sider som er halvparten av de opprinnelige. Faktisk deler den opprinnelige trekanten i fire kongruente trekanter -- alle like store! Dette kan bevises ved å bruke midtpunktssetningen tre ganger og deretter SSS-kongruens.

Oppsummering

Trekantutlikheten: I enhver trekant er summen av to sider alltid større enn den tredje. Sjekk: er summen av de to korteste sidene strengt større enn den lengste? Den tredje siden $c$ må ligge i intervallet $|a - b| < c < a + b$.

Medianer og tyngdepunkt: En median går fra et hjørne til midtpunktet av den motstående siden. De tre medianene møtes i tyngdepunktet $G$, som deler hver median i forholdet $2:1$. Tyngdepunktets koordinater er gjennomsnittet av hjørnenes koordinater.

Midtpunktssetningen: Linjestykket mellom midtpunktene av to sider i en trekant er parallelt med den tredje siden og halvparten så langt:
- $MN \parallel BC$
- $\displaystyle MN = \frac{1}{2} \cdot BC$