Tilbake
9.2
Kjegle og pyramide

9.2 Kjegle og pyramide

Alle fag for 9. klasse

Beregn overflate og volum av kjegler og pyramider.

50 min
7 oppgaver
KjeglePyramideOverflateVolum
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 7 oppgaver

Kjegler og pyramidar

Kjegler og pyramidar er romfigurar som smalnar av mot ein spiss topp. Tenk på ei iskremkjegle, eit telt, eller pyramidane i Egypt!

Den store nøkkelen til å forstå desse figurane er denne samanhengen:

> Volumet av ei kjegle eller pyramide er ein tredjedel av volumet til ein tilsvarande sylinder eller prisme med same grunnflate og høgd.

Dette tyder at om du fyller ei kjegle med vatn og tømmer henne i ein sylinder med same radius og høgd, må du gjere det tre gonger for å fylle sylinderen.

Vi skal òg lære om skråhøgd, som er viktig når vi reknar ut overflata av desse figurane.

Pyramide
Ein pyramide er ein romfigur med éi grunnflate (polygon) og trekanta sideflater som møtest i eitt punkt (toppen).

Volum av ein pyramide:
V=13G⋅hV = \frac{1}{3} G \cdot h
der GG er arealet av grunnflata og hh er høgda (vinkelrett avstand frå grunnflata til toppen).

Overflate av ein pyramide:
O=G+MO = G + M
der MM er summen av areala til alle dei trekanta sideflatene.

For ein rett pyramide med kvadratisk grunnflate (side ss) og skråhøgd ll:
O=s2+4⋅s⋅l2=s2+2slO = s^2 + 4 \cdot \frac{s \cdot l}{2} = s^2 + 2sl

Skråhøgd (ll) er avstanden frå midten av ein grunnflatekant til toppen, målt langs sideflata.

Kjegle
Ei kjegle er ein romfigur med éi sirkulær grunnflate og ei bøygd sideflate som smalnar mot eit punkt (toppen).

Volum av ei kjegle:
V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h
der rr er radius i grunnflata og hh er høgda.

Overflate av ei kjegle:
O=πr2+πrsO = \pi r^2 + \pi r s
der ss er skråhøgda (avstanden frå kanten av grunnflata til toppen langs sideflata).

Samanhengen mellom hh, rr og ss: Høgda, radiusen og skråhøgda dannar ein rettvinkla trekant:
s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2}

Mantelen (sideflata) «bretta ut» blir ein sirkelsektor med areal πrs\pi r s.

Tredjedelsregelen
For alle spisse figurar (pyramidar og kjegler) gjeld:

Vspiss figur=13⋅Vtilsvarande prisme/sylinderV_{\text{spiss figur}} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{tilsvarande prisme/sylinder}}

Det vil seie:
- Vpyramide=13⋅G⋅h\displaystyle V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h
- Vkjegle=13⋅πr2h\displaystyle V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 h

Denne regelen gjeld uansett kva form grunnflata har, og uansett om toppen er rett over sentrum av grunnflata eller ikkje.

✏️Eksempel 1 – Pyramide med kvadratisk grunnflate

Ein rett pyramide har ei kvadratisk grunnflate med side 6 cm6 \text{ cm} og høgd 8 cm8 \text{ cm}.

a) Rekn ut volumet.
b) Finn skråhøgda.
c) Rekn ut overflata.

Løysing:

a) Volum:
G=62=36 cm2G = 6^2 = 36 \text{ cm}^2
V=13G⋅h=13⋅36⋅8=96 cm3V = \frac{1}{3} G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96 \text{ cm}^3

b) Skråhøgd: Skråhøgda ll går frå midten av ein grunnflatekant til toppen. Avstanden frå sentrum av grunnflata til midten av ein kant er s2=62=3 cm\displaystyle \frac{s}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}.

Vi bruker Pytagoras:
l=h2+(s2)2=82+32=64+9=73≈8,54 cml = \sqrt{h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \approx 8{,}54 \text{ cm}

c) Overflate:
O=s2+2sl=36+2⋅6⋅8,54=36+102,5≈138,5 cm2O = s^2 + 2sl = 36 + 2 \cdot 6 \cdot 8{,}54 = 36 + 102{,}5 \approx 138{,}5 \text{ cm}^2

📝Oppgave F1
Finn feilen! Maria har rekna ut volumet av ei kjegle med radius 6 cm6 \text{ cm} og høgd 9 cm9 \text{ cm}:

V=πr2h=π⋅62⋅9=324π≈1018 cm3V = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 9 = 324\pi \approx 1018 \text{ cm}^3

Finn feilen og skriv rett utrekning.

✏️Eksempel 2 – Kjegle

Ei kjegle har radius 5 cm5 \text{ cm} og høgd 12 cm12 \text{ cm}.

a) Rekn ut volumet.
b) Finn skråhøgda.
c) Rekn ut overflata.

Løysing:

a) Volum:
V=13πr2h=13π⋅52⋅12=300π3=100π≈314 cm3V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{300\pi}{3} = 100\pi \approx 314 \text{ cm}^3

b) Skråhøgd:
s=r2+h2=52+122=25+144=169=13 cms = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}

c) Overflate:
O=πr2+πrs=π⋅25+π⋅5⋅13=25π+65π=90π≈283 cm2O = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 25 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 283 \text{ cm}^2

✏️Eksempel 3 – Kjegle vs. sylinder

Ei kjegle og ein sylinder har begge radius 4 cm4 \text{ cm} og høgd 9 cm9 \text{ cm}.

a) Rekn ut volumet av sylinderen.
b) Rekn ut volumet av kjegla.
c) Vis at volumet av kjegla er nøyaktig ein tredjedel av volumet til sylinderen.

Løysing:

a) Sylinder:
Vsyl=πr2h=π⋅42⋅9=144π≈452 cm3V_{\text{syl}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = 144\pi \approx 452 \text{ cm}^3

b) Kjegle:
Vkjegle=13πr2h=13⋅144π=48π≈151 cm3V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot 144\pi = 48\pi \approx 151 \text{ cm}^3

c) Samanlikning:
VkjegleVsyl=48π144π=48144=13✓\frac{V_{\text{kjegle}}}{V_{\text{syl}}} = \frac{48\pi}{144\pi} = \frac{48}{144} = \frac{1}{3} \checkmark

Kjeglevolumet er nøyaktig 13\displaystyle \frac{1}{3} av sylindervolumet, slik formelen seier.

📝Oppgave 1

Ein pyramide har ei rektangulær grunnflate med lengd 10 cm10 \text{ cm} og breidd 6 cm6 \text{ cm}. Høgda er 9 cm9 \text{ cm}. Rekn ut volumet.

📝Oppgave 2

Ei kjegle har radius 3 cm3 \text{ cm} og høgd 7 cm7 \text{ cm}. Rekn ut volumet. Oppgi svaret eksakt med π\pi og avrunda.

📝Oppgave 3

Ei kjegle har radius 6 cm6 \text{ cm} og høgd 8 cm8 \text{ cm}. Finn skråhøgda ss.

📝Oppgave 4

Ein rett pyramide har ei kvadratisk grunnflate med side 10 cm10 \text{ cm}. Skråhøgda er 13 cm13 \text{ cm}.

a) Rekn ut overflata.
b) Finn høgda til pyramiden.
c) Rekn ut volumet.

📝Oppgave 5

Ei kjegle har radius 7 cm7 \text{ cm} og skråhøgd 25 cm25 \text{ cm}.

a) Finn høgda.
b) Rekn ut volumet.
c) Rekn ut overflata.

📝Oppgave 6

Ein pyramideforma sandhaug har ei kvadratisk grunnflate med side 3 m3 \text{ m} og høgd 1,8 m1{,}8 \text{ m}. Sand veg om lag 1600 kg/m31600 \text{ kg/m}^3. Kor mykje veg sandhaugen?

📝Oppgave 7

Ein rettvinkla trekant har katetar 8 cm8 \text{ cm} (horisontal) og 6 cm6 \text{ cm} (vertikal). Trekanten blir rotert 360°360° rundt den vertikale kateten (6 cm6 \text{ cm}). Skildra romfiguren som oppstår, og rekn ut volumet.

📝Oppgave 8

Ei kjegleforma trakt har diameter 12 cm12 \text{ cm} og høgd 16 cm16 \text{ cm}. Trakta er fylt med vatn til helvta av høgda.

a) Finn radiusen til vassoverflata.
b) Rekn ut volumet av vatnet.
c) Kor stor del av det totale volumet til kjegla er fylt med vatn?

📝Oppgave S1
Sant eller usant?

Volumet av ei kjegle er helvta av volumet til ein sylinder med same grunnflate og høgd.

📝Oppgave D1
Drøftingsoppgåve: Volumet av ei kjegle (og pyramide) er alltid 13\displaystyle \frac{1}{3} av volumet til ein sylinder (eller prisme) med same grunnflate og høgd. Forklar kvifor dette gir meining intuitivt. Gi minst to praktiske eksempel frå kvardagen der denne samanhengen mellom kjegle og sylinder kan vere nyttig å kjenne til.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pyramide: Ein romfigur med éi grunnflate (polygon) og trekanta sideflater som møtest i ein topp. Volumet er V=13G⋅h\displaystyle V = \frac{1}{3} G \cdot h.
- Kjegle: Ein romfigur med sirkulær grunnflate og bøygd sideflate som smalnar mot ein topp. Volumet er V=13πr2h\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. Overflata er O=πr2+πrsO = \pi r^2 + \pi r s der ss er skråhøgda.
- Tredjedelsregelen: Volumet av ei kjegle eller pyramide er alltid ein tredjedel av volumet til ein tilsvarande sylinder eller prisme med same grunnflate og høgd.
- Skråhøgd: For ei kjegle gjeld s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2} (Pytagoras).

Nøkkelomgrep


OmgrepForklaring
PyramideRomfigur med polygonal grunnflate og trekanta sideflater som møtest i eitt punkt
KjegleRomfigur med sirkulær grunnflate og bøygd sideflate mot ein topp
Skråhøgd (ss)Avstanden frå grunnflatekanten til toppen langs sideflata
TredjedelsregelenVspiss=13⋅Vtilsvarande prisme/sylinder\displaystyle V_{\text{spiss}} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{tilsvarande prisme/sylinder}}
MantelflateDen bøygde (eller trekanta) sideflata til kjegle eller pyramide
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.