9.1 Prisme og sylinder – overflate og volum | Matematikk 9. klasse

Beregn overflate og volum av prismer og sylindre.

50 min

7 oppgaver

PrismeSylinderOverflateVolum

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Romgeometri – prisme og sylinder

I kvardagen er vi omgjevne av tredimensjonale figurar: boksar, hermetikkboksar, røyr og bygningar. For å skildre desse figurane treng vi omgrep som overflate og volum.

Volum fortel oss kor mykje plass ein figur tek opp, og blir målt i kubikkeiningar ( $\text{cm}^3$ , $\text{dm}^3$ , $\text{m}^3$ osb.). Overflate er det totale arealet av alle flatene som omsluttar figuren, og blir målt i kvadrateiningar ( $\text{cm}^2$ , $\text{m}^2$ osb.).

I dette kapittelet skal vi jobbe med to viktige typar romfigurar:
- Prisme – figurar med to like, parallelle grunnflater og rette sideveggar
- Sylinder – figurar med to sirkulære grunnflater bundne saman av ei bøygd sideflate

Begge desse figurane har det til felles at tverrsnittet er likt heile vegen frå botn til topp.

Prisme

V = G \cdot h

Sylinder

V = \pi r^2 h

Einingsomrekning for volum

1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ liter}

✏️Eksempel 1 – Rektangulær boks

Ei øskje har lengd $25 \text{ cm}$ , breidd $15 \text{ cm}$ og høgd $10 \text{ cm}$ .

a) Rekn ut volumet av øskja.
b) Rekn ut overflata av øskja.
c) Kor mange liter rommar øskja?

Løysing:

a) Volum:
$V = l \cdot b \cdot h = 25 \cdot 15 \cdot 10 = 3750 \text{ cm}^3$

b) Overflate:
$O = 2(l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h)$
$O = 2(25 \cdot 15 + 25 \cdot 10 + 15 \cdot 10)$
$O = 2(375 + 250 + 150) = 2 \cdot 775 = 1550 \text{ cm}^2$

c) Omrekning til liter:
$3750 \text{ cm}^3 = 3750 \text{ ml} = 3{,}75 \text{ liter}$

📝Oppgave F1

Finn feilen! Henrik har rekna ut overflata av ein sylinder med radius

3 \text{ cm}

og høgd

10 \text{ cm}

$O = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi \approx 188 \text{ cm}^2$

Finn feilen og skriv rett utrekning.

✏️Eksempel 2 – Trekanta prisme

Eit trekanta prisme har ei rettvinkla trekanta grunnflate med katetar $3 \text{ cm}$ og $4 \text{ cm}$ (og hypotenus $5 \text{ cm}$ ). Prismet er $12 \text{ cm}$ langt.

a) Rekn ut volumet.
b) Rekn ut overflata.

Løysing:

a) Grunnflatearealet:
$G = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2$

Volum:
$V = G \cdot h = 6 \cdot 12 = 72 \text{ cm}^3$

b) Overflate: Vi treng arealet av dei to trekantane pluss dei tre rektangla (sideflatene).

To trekantar: $2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}^2$

Tre rektangel (sidelengder $3$ , $4$ og $5$ cm, alle med høgd $12$ cm):
$3 \cdot 12 + 4 \cdot 12 + 5 \cdot 12 = 36 + 48 + 60 = 144 \text{ cm}^2$

Total overflate:
$O = 12 + 144 = 156 \text{ cm}^2$

✏️Eksempel 3 – Sylinder

Ein hermetikkboks er forma som ein sylinder med radius $4 \text{ cm}$ og høgd $11 \text{ cm}$ .

a) Rekn ut volumet. Oppgje svaret eksakt og avrunda til næraste heile $\text{cm}^3$ .
b) Rekn ut overflata.
c) Kor mange desiliter rommar boksen?

Løysing:

a) Volum:
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 11 = 176\pi \approx 553 \text{ cm}^3$

b) Overflate:
$O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
$O = 2\pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 11$
$O = 32\pi + 88\pi = 120\pi \approx 377 \text{ cm}^2$

c) Omrekning:
$553 \text{ cm}^3 = 553 \text{ ml} = 5{,}53 \text{ dl}$

Boksen rommar om lag $5{,}5$ desiliter.

📝Oppgave 1

Rekn ut volumet av eit rektangulært prisme med lengd $8 \text{ cm}$ , breidd $5 \text{ cm}$ og høgd $3 \text{ cm}$ .

📝Oppgave 2

Rekn ut overflata av ein boks med lengd $10 \text{ cm}$ , breidd $6 \text{ cm}$ og høgd $4 \text{ cm}$ .

📝Oppgave 3

Ein sylinder har radius $3 \text{ cm}$ og høgd $10 \text{ cm}$ . Rekn ut volumet. Oppgje svaret eksakt med $\pi$ og avrunda til næraste heile $\text{cm}^3$ .

📝Oppgave 4

Ein sylinder har diameter $14 \text{ cm}$ og høgd $20 \text{ cm}$ . Rekn ut overflata av sylinderen.

📝Oppgave 5

Eit trekanta prisme har ein likesida trekant som grunnflate med side $6 \text{ cm}$ . Prismet er $15 \text{ cm}$ høgt. Rekn ut volumet.

Hint: Arealet av ein likesida trekant med side $s$ er $\displaystyle G = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$ .

📝Oppgave 6

Eit akvarium har form som eit rektangulært prisme med lengd $80 \text{ cm}$ , breidd $40 \text{ cm}$ og høgd $50 \text{ cm}$ . Akvariet blir fylt med vatn til $5 \text{ cm}$ under kanten.

a) Kor mange liter vatn er det i akvariet?
b) Kor mykje glas trengst det for å lage akvariet (utan lok)?

📝Oppgave 7

Ein vassbehaldar er forma som ein sylinder med radius $1{,}2 \text{ m}$ og høgd $3 \text{ m}$ .

a) Rekn ut volumet i kubikkmeter.
b) Kor mange liter vatn rommar behaldaren?

📝Oppgave 8

Eit røyr er forma som ein hol sylinder. Den ytre radiusen er $5 \text{ cm}$ og den indre radiusen er $4 \text{ cm}$ . Røyret er $2 \text{ m}$ langt.

a) Rekn ut volumet av materialet i røyret.
b) Kor mange liter vatn kan røyret transportere (indre volum)?

📝Oppgave 9

Ein sylinderforma behaldar skal lagast slik at han rommar nøyaktig $1$ liter ( $1000 \text{ cm}^3$ ). Diameteren skal vere lik høgda.

a) Sett opp ei likning og finn radius.
b) Rekn ut overflata av behaldaren.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Arealet av mantelen til ein sylinder med radius $r$ og høgd $h$ er $\pi r^2 h$ .

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Du har eit rektangulært papirark som er

20 \text{ cm} \times 30 \text{ cm}

. Du kan rulle det til ein sylinder på to måtar: med høgd

20 \text{ cm}

eller med høgd

30 \text{ cm}

. Kva for sylinder rommar mest? Grunngjev svaret utan å rekne ut nøyaktig volum -- bruk argumentasjon om korleis radius og høgd påverkar volumet.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Prisme: Ein romfigur med to like, parallelle grunnflater og rette sideveggar. Volumet er $V = G \cdot h$ der $G$ er grunnflatearealet og $h$ er høgda. Overflata er $O = 2G + M$ der $M$ er mantelen (summen av sideflatene).
- Sylinder: Ein romfigur med to sirkulære grunnflater. Volumet er $V = \pi r^2 h$ og overflata er $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ .
- Einingsomrekning: $1 \text{ dm}^3 = 1$ liter, $1 \text{ m}^3 = 1000$ liter, $1 \text{ cm}^3 = 1$ ml.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Prisme	Romfigur med to kongruente, parallelle grunnflater og rektangulære sideflater
Sylinder	Romfigur med to sirkulære grunnflater og bøygd sideflate
Grunnflate ( $G$ )	Arealet av botn- eller toppflata
Mantel ( $M$ )	Summen av arealet til sideflatene
Volum	Kor mykje plass figuren tek opp, målt i kubikkeiningar
Overflate	Det totale arealet av alle ytre flater

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.