8.3 Trekantutlikheten og mediansetninger | Matematikk 9. klasse

Forstå formlike trekanter, medianer og tyngdepunkt.

50 min

7 oppgaver

FormlikhetMedianerTyngdepunktForholdstall

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Trekantulikskapen og mediansetningar

Kan du lage ein trekant med sider $3$ cm, $4$ cm og $10$ cm? Prøv å tenkje deg det - uansett korleis du legg dei to kortaste sidene, rekk dei ikkje rundt for å danne ein lukka figur.

Dette dømet illustrerer trekantulikskapen, ein grunnleggjande eigenskap som set avgrensingar på kva for sidelengder ein trekant kan ha.

I dette kapittelet skal vi også sjå på medianar i trekantar og den kraftige midtpunktssetninga. Desse verktøya blir mykje brukte i geometriske bevis.

Du vil lære:
- Trekantulikskapen og korleis du brukar han
- Kva medianar er og kvar dei møtest
- Midtpunktssetninga og bruksområda hennar

Trekantulikskapen

a

✏️Eksempel: Kan desse sidelengdene danne ein trekant?

Avgjer om følgjande sidelengder kan danne ein trekant:
a) $a = 3$ , $b = 5$ , $c = 7$
b) $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 8$
c) $a = 5$ , $b = 5$ , $c = 5$

Vi sjekkar om summen av dei to kortaste sidene er større enn den lengste:

a) $a = 3$ , $b = 5$ , $c = 7$ (lengste side: $c = 7$ )

$3 + 5 = 8 > 7 \checkmark$

Ja, dette kan danne ein trekant.

b) $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 8$ (lengste side: $c = 8$ )

$2 + 3 = 5 < 8 \text{ ✗}$

Nei, dette kan ikkje danne ein trekant. Dei to korte sidene er til saman kortare enn den lange.

c) $a = 5$ , $b = 5$ , $c = 5$ (alle sider like)

$5 + 5 = 10 > 5 \checkmark$

Ja, dette er ein likesida trekant.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

«Sidelengdene $4$ , $7$ og $11$ kan danne ein trekant.»

Median og tyngdepunkt

2:1

✏️Eksempel: Finne tyngdepunktet

I trekant $ABC$ er $A = (0, 6)$ , $B = (0, 0)$ og $C = (9, 0)$ . Finn koordinatane til tyngdepunktet $G$ .

Metode 1: Bruke formelen for tyngdepunktet

Tyngdepunktet har koordinatar som er gjennomsnittet av koordinatane til hjørna:

$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$

$G = \left(\frac{0 + 0 + 9}{3},\, \frac{6 + 0 + 0}{3}\right) = \left(3,\, 2\right)$

Metode 2: Bruke medianen

Midtpunktet $M$ på $BC$ er:

$M = \left(\frac{0 + 9}{2},\, \frac{0 + 0}{2}\right) = (4{,}5,\, 0)$

Medianen $AM$ går frå $A = (0, 6)$ til $M = (4{,}5,\, 0)$ .

Tyngdepunktet ligg $\displaystyle \frac{2}{3}$ av vegen frå $A$ til $M$ :

$G_x = 0 + \frac{2}{3}(4{,}5 - 0) = 3$
$G_y = 6 + \frac{2}{3}(0 - 6) = 6 - 4 = 2$

Svar: Tyngdepunktet er $G = (3, 2)$ .

Midtpunktssetninga

\triangle ABC

✏️Eksempel: Bruke midtpunktssetninga

I trekant $ABC$ er $M$ midtpunktet på $AB$ og $N$ er midtpunktet på $AC$ . Viss $BC = 12$ cm, kva er lengda $MN$ ? Viss $\angle B = 65°$ , kva er $\angle AMN$ ?

Lengda $MN$ :

Etter midtpunktssetninga er $\displaystyle MN = \frac{1}{2} \cdot BC$ :

$MN = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ cm}$

Vinkelen $\angle AMN$ :

Etter midtpunktssetninga er $MN \parallel BC$ .

Sidan $MN \parallel BC$ , er $\angle AMN$ og $\angle ABN$ samsvarande vinklar (med $AB$ som tverrside).

Altså er $\angle AMN = \angle B = 65°$ .

Svar: $MN = 6$ cm og $\angle AMN = 65°$ .

📝Oppgave 1

Avgjer om følgjande sidelengder kan danne ein trekant:

a = 4

b = 6

c = 9

a = 1

b = 2

c = 5

a = 7

b = 7

c = 7

a = 3

b = 4

c = 7

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

To sider i ein trekant er $5$ cm og $8$ cm. Kva er det minste og det største heiltalet den tredje sida kan ha?

📝Oppgave 3

Finn koordinatane til tyngdepunktet i trekanten med hjørne $A = (3, 0)$ , $B = (0, 6)$ og $C = (9, 3)$ .

📝Oppgave 4

I trekant $ABC$ er $M$ midtpunktet på $AB$ og $N$ midtpunktet på $AC$ . Bruk midtpunktssetninga til å finne $MN$ når $BC = 18$ cm.

📝Oppgave 5

Medianen frå $A$ i trekant $ABC$ har lengd $15$ cm. Finn avstanden frå $A$ til tyngdepunktet $G$ , og frå $G$ til midtpunktet $M$ på $BC$ .

📝Oppgave 6

I trekant $PQR$ er $P = (0, 0)$ , $Q = (8, 0)$ og $R = (4, 6)$ . Lat $M$ og $N$ vere midtpunkta på $PQ$ og $PR$ . Finn koordinatane til $M$ og $N$ , og vis at $\displaystyle MN = \frac{1}{2} \cdot QR$ .

📝Oppgave 7

Vis at i ein trekant med sider $a$ , $b$ og $c$ gjeld det at $|a - b| < c$ . (Tips: Bruk trekantulikskapen.)

📝Oppgave 8

I trekant $ABC$ er $D$ , $E$ og $F$ midtpunkta på sidene $BC$ , $AC$ og $AB$ . Vis at trekant $DEF$ deler den opphavlege trekanten i fire kongruente trekantar.

📝Oppgave 9

Ein trekant har hjørne $A = (1, 1)$ , $B = (7, 3)$ og $C = (3, 7)$ .

a) Finn lengda av alle tre medianane.
b) Vis at alle tre medianane møtest i tyngdepunktet $G$ .

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: I ein trekant deler tyngdepunktet kvar median i forholdet

2:1

frå hjørnet. Forklar med eigne ord kvifor tyngdepunktet alltid ligg nærare midtpunktet på den motståande sida enn hjørnet. Betyr dette at tyngdepunktet alltid ligg «inni» trekanten? Grunngjev svaret.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Trekantulikskapen: I kvar trekant er summen av to vilkårlege sider alltid større enn den tredje sida. Tre lengder $a$ , $b$ , $c$ kan danne ein trekant viss og berre viss summen av dei to kortaste er større enn den lengste.
- Formlike trekantar: Trekantar med like vinklar er formlike. Sidene i formlike trekantar har same forholdstal.
- Medianar og tyngdepunkt: Ein median går frå eit hjørne til midtpunktet på den motståande sida. Dei tre medianane møtest i tyngdepunktet, som deler kvar median i forholdet $2:1$ frå hjørnet. Koordinatane til tyngdepunktet er gjennomsnittet av koordinatane til hjørna.
- Midtpunktssetninga: Linjestykket mellom midtpunkta på to sider i ein trekant er parallelt med den tredje sida og halvparten så langt: $MN \parallel BC$ og $\displaystyle MN = \frac{1}{2} \cdot BC$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Trekantulikskapen	Summen av to sider er alltid større enn den tredje
Median	Linjestykke frå eit hjørne til midtpunktet på motståande side
Tyngdepunkt	Skjeringspunktet til dei tre medianane; deler kvar i forholdet $2:1$
Midtpunktssetninga	Linja mellom midtpunkta på to sider er parallell med og halv så lang som den tredje
Midtnormal	Linje vinkelrett på ei side gjennom midtpunktet til sida

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.