8.1 Polygoner og vinkelsummer | Matematikk 9. klasse

Utforsk egenskaper ved polygoner og beregn vinkelsummer.

50 min

7 oppgaver

PolygonerVinkelsummerRegulære polygonerDiagonaler

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Polygon og vinkelsummar

Verda rundt oss er full av mangekantar. Trekantar i takkonstruksjonar, firkantar i vindauge, sekskantar i bikubar og femkantar på ein fotball. Alle desse figurane er polygon - lukka figurar med rette sider.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva som kjenneteiknar ulike polygon
- Korleis vi kan rekne ut vinkelsummen i eit polygon med $n$ sider
- Samanhengen mellom indre og ytre vinklar
- Eigenskapane til regulære polygon

Kunnskapen om polygon og vinkelsummar er grunnleggjande i geometri, og blir brukt mellom anna i arkitektur, design og programmering av dataspel.

Polygon (mangekant)

n

Tal sider	Namn	Døme
3	Trekant	Vegskilt
4	Firkant	Vindauge
5	Femkant (pentagon)	Fotballmønster
6	Sekskant (heksagon)	Bikube
7	Sjukant (heptagon)
8	Åttekant (oktogon)	Stoppskilt
$n$	$n$ -kant

Vinkelsummen i eit polygon

n

✏️Døme: Vinkelsummen i ein åttekant

Kva er vinkelsummen i ein åttekant? Kor stor er kvar vinkel i ein regulær åttekant?

Vinkelsummen:

Ein åttekant har $n = 8$ sider. Vi bruker formelen:

$S = (n - 2) \cdot 180° = (8 - 2) \cdot 180° = 6 \cdot 180° = 1080°$

Kvar vinkel i ein regulær åttekant:

I ein regulær åttekant er alle vinklane like store. Vi deler vinkelsummen på talet på vinklar:

$v = \frac{1080°}{8} = 135°$

Svar: Vinkelsummen i ein åttekant er $1080°$ . Kvar vinkel i ein regulær åttekant er $135°$ .

📝Oppgave F1

Finn feilen! Emilie har skrive:

«Vinkelsummen i ein sekskant er $S = 6 \cdot 180° = 1080°$ .»

Finn feilen og skriv rett utrekning.

Ytre vinklar i eit polygon

\text{ytre vinkel} = 180° - \text{indre vinkel}

✏️Døme: Indre og ytre vinklar i ein regulær femkant

Finn storleiken på kvar indre vinkel og kvar ytre vinkel i ein regulær femkant (pentagon).

Indre vinkel:

Vinkelsummen i ein femkant ( $n = 5$ ):

$S = (5 - 2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540°$

Kvar indre vinkel i ein regulær femkant:

$v_{\text{indre}} = \frac{540°}{5} = 108°$

Ytre vinkel:

$v_{\text{ytre}} = 180° - 108° = 72°$

Sjekk: $5 \cdot 72° = 360°$ \checkmark (Summen av dei ytre vinklane er $360°$ .)

Svar: Kvar indre vinkel er $108°$ og kvar ytre vinkel er $72°$ .

✏️Døme: Finne tal sider frå vinkelstorleik

Eit regulært polygon har indre vinklar som er $150°$ store. Kor mange sider har polygonet?

Metode 1: Bruke ytre vinkel

Ytre vinkel $= 180° - 150° = 30°$

Sidan summen av dei ytre vinklane er $360°$ :

$n = \frac{360°}{30°} = 12$

Metode 2: Bruke vinkelsumformelen

I ein regulær $n$ -kant er kvar indre vinkel $\displaystyle \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ . Vi set dette lik $150°$ :

$\frac{(n - 2) \cdot 180°}{n} = 150°$

$(n - 2) \cdot 180 = 150n$

$180n - 360 = 150n$

$30n = 360$

$n = 12$

Svar: Polygonet har $12$ sider (ein tolvkant / dodekagon).

📝Oppgave 1

Finn vinkelsummen i:

ein trekant

ein firkant

ein sekskant

ein tikant (10 sider)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Finn storleiken på kvar indre vinkel i ein regulær:

likesidd trekant

regulær firkant (kvadrat)

regulær sekskant

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Ein firkant har tre vinklar som er $80°$ , $110°$ og $95°$ . Finn den fjerde vinkelen.

📝Oppgave 4

Finn storleiken på kvar ytre vinkel i ein regulær tikant (10-kant).

📝Oppgave 5

Eit regulært polygon har indre vinklar på $140°$ . Kor mange sider har polygonet?

📝Oppgave 6

Kor mange diagonalar kan vi trekkje i ein sekskant? (Tips: Frå kvart hjørne kan du trekkje diagonalar til alle hjørne bortsett frå seg sjølv og dei to nabohjørna.)

📝Oppgave 7

Vinkelsummen i eit polygon er $2340°$ . Kor mange sider har polygonet?

📝Oppgave 8

Vis at formelen for tal diagonalar i ein $n$ -kant er $\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}$ . Bruk formelen til å finne tal diagonalar i ein tolvkant.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Kan du lage eit regulært polygon der kvar indre vinkel er nøyaktig

170°

? Kva med

175°

? Grunngi svaret ditt, og diskuter om det finst ei øvre grense for kor stor ein indre vinkel i eit regulært polygon kan vere.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Polygon: Eit polygon er ein lukka, plan figur med rette sider. Vi namngir dei etter tal sider: trekant (3), firkant (4), femkant (5), sekskant (6) osv.
- Vinkelsumformelen: Vinkelsummen i eit polygon med $n$ sider er $S = (n - 2) \cdot 180°$ . Formelen byggjer på at polygonet kan delast inn i $(n - 2)$ trekantar.
- Indre og ytre vinklar: Ein ytre vinkel er supplementet til den indre: $180° - \text{indre vinkel}$ . Summen av dei ytre vinklane i eitkvart konveks polygon er alltid $360°$ .
- Regulære polygon: I ein regulær $n$ -kant er alle sider og vinklar like. Kvar indre vinkel er $\displaystyle \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ og kvar ytre vinkel er $\displaystyle \frac{360°}{n}$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Polygon	Lukka, plan figur avgrensa av rette linjestykke
Regulært polygon	Polygon der alle sider og vinklar er like
Konveks polygon	Polygon der alle indre vinklar er mindre enn $180°$
Vinkelsumformel	$S = (n - 2) \cdot 180°$
Ytre vinkel	$180°$ minus den indre vinkelen; summen er alltid $360°$
Diagonal	Linjestykke mellom to hjørne som ikkje er naboar

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.