7.4 Rekursive og eksplisitte formler | Matematikk 9. klasse

Forstå forskjellen mellom rekursive og eksplisitte formler for tallfølger.

55 min

8 oppgaver

Rekursiv formelEksplisitt formelTallfølgerModellering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Rekursive og eksplisitte formler

Tenk deg at du skal forklare noen veien til skolen. Du kan gjøre det på to måter:

Steg-for-steg (rekursivt): «Gå 200 meter, sving til høyre, gå 300 meter, sving til venstre...» For å komme til steg 5 må du ha fullført steg 1 til 4 først.

Direkte (eksplisitt): «Skolen ligger på adressen Storgata 15.» Du kan gå rett dit uten å tenke på alle stegene.

Tallfølger kan beskrives på akkurat disse to måtene:
- Rekursivt: Vi forklarer hvordan hvert ledd lages fra det forrige
- Eksplisitt: Vi gir en formel som beregner hvert ledd direkte fra $n$

Begge metodene har fordeler, og i dette kapittelet skal du lære å bruke begge -- og gå mellom dem.

Rekursiv formel

a_{n+1} = f(a_n) \quad \text{og} \quad a_1 = \text{startverdi}

Eksplisitt formel

n

Sammenligning: Rekursiv vs. eksplisitt

n

Egenskap	Rekursiv formel	Eksplisitt formel
Beskrivelse	Neste ledd ut fra forrige	Leddet direkte fra $n$
Trenger startverdi?	Ja, alltid	Nei
Beregne $a_{100}$	Må kjenne $a_1$ til $a_{99}$	Sett inn $n = 100$
Lett å oppdage?	Ofte ja (se på endringen)	Kan kreve mer arbeid
Eksempel (aritm.)	$a_{n+1} = a_n + 5$	$a_n = 5n - 2$
Eksempel (geom.)	$a_{n+1} = 3a_n$	$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

✏️Eksempel 1: Fra rekursiv til eksplisitt

En tallfølge er gitt rekursivt:

$a_1 = 4, \quad a_{n+1} = a_n + 6$

a) Skriv opp de fem første leddene.
b) Finn en eksplisitt formel for $a_n$ .
c) Beregn $a_{50}$ med den eksplisitte formelen.

a) De fem første leddene:

$a_1 = 4$
$a_2 = a_1 + 6 = 4 + 6 = 10$
$a_3 = a_2 + 6 = 10 + 6 = 16$
$a_4 = a_3 + 6 = 16 + 6 = 22$
$a_5 = a_4 + 6 = 22 + 6 = 28$

Følgen: $4, 10, 16, 22, 28, \ldots$

b) Eksplisitt formel:

Dette er en aritmetisk følge med $a_1 = 4$ og $d = 6$ .

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 4 + (n-1) \cdot 6 = 4 + 6n - 6 = 6n - 2$

Kontroll: $a_1 = 6 \cdot 1 - 2 = 4$ \checkmark, $a_3 = 6 \cdot 3 - 2 = 16$ \checkmark

c) $a_{50}$ :

$a_{50} = 6 \cdot 50 - 2 = 300 - 2 = 298$

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

«For å finne det 100. leddet i en tallfølge trenger vi alltid å kjenne alle de 99 foregående leddene.»

✏️Eksempel 2: Fra eksplisitt til rekursiv

Tallfølgen er gitt med den eksplisitte formelen $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ .

a) Skriv opp de fem første leddene.
b) Finn en rekursiv formel for følgen.

a) De fem første leddene:

$a_1 = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$
$a_2 = 3 \cdot 2^1 = 3 \cdot 2 = 6$
$a_3 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$
$a_4 = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$
$a_5 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$

Følgen: $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$

b) Rekursiv formel:

Vi ser at hvert ledd er det dobbelte av det forrige. La oss bekrefte:

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$

Altså: $a_{n+1} = 2 \cdot a_n$ .

Rekursiv formel:

$a_1 = 3, \quad a_{n+1} = 2a_n$

✏️Eksempel 3: Fibonacci-følgen (kun rekursiv)

Fibonacci-følgen er definert rekursivt:

$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$

a) Skriv opp de 10 første leddene.
b) Finn forholdet $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$ for $n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . Hva legger du merke til?

a) De 10 første leddene:

$a_1 = 1$
$a_2 = 1$
$a_3 = 1 + 1 = 2$
$a_4 = 1 + 2 = 3$
$a_5 = 2 + 3 = 5$
$a_6 = 3 + 5 = 8$
$a_7 = 5 + 8 = 13$
$a_8 = 8 + 13 = 21$
$a_9 = 13 + 21 = 34$
$a_{10} = 21 + 34 = 55$

Følgen: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55$

b) Forholdene:

$n$	$a_n$	$a_{n+1}$	$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$
3	2	3	$1{,}500$
4	3	5	$1{,}667$
5	5	8	$1{,}600$
6	8	13	$1{,}625$
7	13	21	$1{,}615$
8	21	34	$1{,}619$
9	34	55	$1{,}618$

Forholdet nærmer seg tallet

\displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, som kalles det gylne snitt (

\varphi

). Dette er et av de mest berømte tallene i matematikken!
Merk: Fibonacci-følgen har ingen enkel eksplisitt formel (den eksakte formelen inneholder

\sqrt{5}

og er ganske avansert). Derfor er den rekursive formelen den naturlige måten å beskrive den på.

📝Oppgave 1

Skriv opp de fem første leddene i følgen gitt ved:

$a_1 = 10, \quad a_{n+1} = a_n - 3$

📝Oppgave 2

Skriv opp de fem første leddene i følgen gitt ved:

$a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 2a_n + 1$

📝Oppgave 3

Gjør om den eksplisitte formelen $a_n = 4n + 3$ til en rekursiv formel.

📝Oppgave 4

En følge er gitt rekursivt: $a_1 = 5, \quad a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ .

a) Finn de fem første leddene.
b) Finn en eksplisitt formel for $a_n$ .

Finn de fem første leddene.

Finn en eksplisitt formel for $a_n$ .

📝Oppgave 5

En geometrisk følge er gitt eksplisitt: $a_n = 5 \cdot 2^n$ .

a) Finn de fire første leddene.
b) Skriv følgen på rekursiv form.
c) Finn $a_{10}$ .

Finn de fire første leddene.

Skriv følgen på rekursiv form.

Finn $a_{10}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Avgjør om utsagnene er sanne eller usanne. Begrunn svarene.

a) Alle aritmetiske følger kan skrives med eksplisitt formel.
b) Alle følger som har eksplisitt formel, kan også skrives rekursivt.
c) Fibonacci-følgen kan enkelt skrives med en eksplisitt formel.

Alle aritmetiske følger kan skrives med eksplisitt formel.

Alle følger som har eksplisitt formel, kan også skrives rekursivt.

Fibonacci-følgen kan enkelt skrives med en eksplisitt formel.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

En populasjon kaniner vokser slik at antall kaninpar hvert kvartal følger Fibonacci-mønsteret: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$

a) Skriv opp den rekursive formelen.
b) Hvor mange kaninpar er det etter 2 år (8 kvartaler)?
c) Beregn forholdstallet $\displaystyle \frac{a_8}{a_7}$ og sammenlign med det gylne snitt ( $\approx 1{,}618$ ).

Skriv opp den rekursive formelen.

Hvor mange kaninpar etter 8 kvartaler?

Beregn $\displaystyle \frac{a_8}{a_7}$ og sammenlign med det gylne snitt.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

En følge er definert rekursivt: $a_1 = 1000, \quad a_{n+1} = 1{,}05 \cdot a_n$ .

Dette kan modellere et bankinnskudd på 1000 kr med 5 % rente per år.

a) Finn beløpet etter 1, 2, 3 og 4 år.
b) Finn en eksplisitt formel for $a_n$ .
c) Hvor mye er det på kontoen etter 20 år? Bruk gjerne kalkulator.

Finn beløpet etter 1, 2, 3 og 4 år.

Finn en eksplisitt formel.

Beløp etter 20 år.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Lag både en rekursiv og en eksplisitt formel for følgende tallfølger:

a) $7, 12, 17, 22, 27, \ldots$
b) $3, 9, 27, 81, 243, \ldots$
c) $0, 3, 8, 15, 24, \ldots$

7, 12, 17, 22, 27, \ldots

3, 9, 27, 81, 243, \ldots

0, 3, 8, 15, 24, \ldots

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Fibonacci-følgen (

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

) er definert rekursivt. Forklar hvorfor det er vanskelig (nesten umulig) å finne en enkel eksplisitt formel for denne følgen, i motsetning til aritmetiske og geometriske følger. Hva er det som gjør Fibonacci-følgen annerledes?

Oppsummering

Rekursiv formel

- Beskriver neste ledd ut fra forrige ledd
- Trenger alltid en startverdi (

a_1

)
- Enkel å sette opp, men upraktisk for store

n

- Eksempel:

a_1 = 3

a_{n+1} = a_n + 5

Eksplisitt formel

- Gir leddet direkte fra

n

- Trenger ikke foregående ledd
- Praktisk for beregninger
- Eksempel:

a_n = 5n - 2

Viktige typer

Type	Rekursiv	Eksplisitt
Aritmetisk	$a_{n+1} = a_n + d$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Geometrisk	$a_{n+1} = k \cdot a_n$	$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$
Fibonacci	$a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$	(komplisert)

Praktisk bruk

- Renter: Geometrisk følge med

\displaystyle k = 1 + \frac{r}{100}

- Lineær vekst: Aritmetisk følge (fast tillegg)
- Befolkningsvekst: Ofte geometrisk (fast prosentvis økning)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.