7.4 Rekursive og eksplisitte formler

To veier til svaret

Tenk deg at du skal forklare noen hvor du bor. Du kan gjøre det på to måter:

Steg-for-steg: «Gå 200 meter fra stasjonen, sving til høyre, gå 300 meter, sving til venstre...» Denne metoden er enkel å forklare, men du må følge alle stegene i rekkefølge.

Direkte: «Adressen min er Storgata 15.» Denne metoden lar deg gå rett dit, uten å tenke på mellomstegene.

Tallfølger kan beskrives på nøyaktig samme to måter. En rekursiv formel forteller deg hvordan du lager neste ledd fra det forrige -- steg for steg. En eksplisitt formel gir deg en oppskrift for å beregne ethvert ledd direkte. Begge har sine styrker, og i dette kapittelet skal vi utforske begge.

Rekursive formler -- steg for steg

En rekursiv formel beskriver hvert ledd ved hjelp av det forrige leddet. Du trenger alltid en startverdi -- uten den kan du ikke begynne.

For en aritmetisk følge med $a_1 = 3$ og $d = 5$, skriver vi rekursivt:

$$a_1 = 3, \quad a_{n+1} = a_n + 5$$

Følgen blir: $3, 8, 13, 18, 23, \ldots$ Hvert nytt ledd er det forrige pluss $5$.

For en geometrisk følge med $a_1 = 2$ og $k = 3$:

$$a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 3 \cdot a_n$$

Følgen blir: $2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ Hvert nytt ledd er det forrige ganger $3$.

Rekursive formler er ofte lette å oppdage. Du ser på hva som skjer fra et ledd til det neste, og skriver det ned. Men de har en svakhet: for å finne $a_{100}$ må du kjenne alle leddene fra $a_1$ til $a_{99}$. Det kan bli mye arbeid!

Eksplisitte formler -- den direkte veien

En eksplisitt formel gir deg det $n$-te leddet direkte som en funksjon av $n$. Du trenger ikke vite noe om de foregående leddene.

For den aritmetiske følgen $3, 8, 13, 18, 23, \ldots$ er den eksplisitte formelen:

$$a_n = 3 + (n-1) \cdot 5 = 5n - 2$$

Vil du ha $a_{100}$? Bare sett inn: $a_{100} = 5 \cdot 100 - 2 = 498$. Ferdig!

For den geometriske følgen $2, 6, 18, 54, \ldots$ er den eksplisitte formelen:

$$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$$

Vil du ha $a_{10}$? $a_{10} = 2 \cdot 3^9 = 2 \cdot 19\,683 = 39\,366$.

Du kan også gå mellom de to formlene. Har du den eksplisitte formelen $a_n = 4n + 3$, kan du finne den rekursive: beregn $a_{n+1} - a_n = 4(n+1) + 3 - (4n + 3) = 4$. Altså: $a_1 = 7$, $a_{n+1} = a_n + 4$.

Fibonacci og praktiske anvendelser

Noen følger er naturlig rekursive. Den mest berømte er Fibonacci-følgen:

$$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$$

Følgen: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots$

Her trenger hvert ledd de to foregående -- derfor er den rekursive formelen den naturlige beskrivelsen. Den eksplisitte formelen (Binets formel) inneholder $\sqrt{5}$ og er ganske avansert.

En fascinerende egenskap: forholdet mellom to påfølgende Fibonacci-tall nærmer seg det gylne snitt $\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ etter hvert som tallene blir store. $\displaystyle \frac{21}{13} \approx 1{,}615$, $\displaystyle \frac{34}{21} \approx 1{,}619$.

Rekursive formler er også nyttige i praktiske situasjoner. Tenk på et bankinnskudd på $1000$ kr med $5\,\%$ rente:

$$a_1 = 1000, \quad a_{n+1} = 1{,}05 \cdot a_n$$

Den eksplisitte formen er $a_n = 1000 \cdot 1{,}05^{n-1}$. Etter 20 år: $a_{21} = 1000 \cdot 1{,}05^{20} \approx 2653$ kr. Pengene dine har mer enn doblet seg, bare ved å la renten jobbe!

Oppsummering