8.1 Polygoner og vinkelsummer | Matematikk 9. klasse

Utforsk egenskaper ved polygoner og beregn vinkelsummer.

50 min

7 oppgaver

PolygonerVinkelsummerRegulære polygonerDiagonaler

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Polygoner og vinkelsummer

Verden rundt oss er full av mangekanter. Trekanter i takkonstruksjoner, firkanter i vinduer, sekskanter i bikuber og femkanter på en fotball. Alle disse figurene er polygoner - lukkede figurer med rette sider.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva som kjennetegner ulike polygoner
- Hvordan vi kan beregne vinkelsummen i en polygon med $n$ sider
- Sammenhengen mellom indre og ytre vinkler
- Egenskapene til regulære polygoner

Kunnskapen om polygoner og vinkelsummer er grunnleggende i geometri, og brukes blant annet i arkitektur, design og programmering av dataspill.

Polygon (mangekant)

n

Antall sider	Navn	Eksempel
3	Trekant	Veiskilt
4	Firkant	Vindu
5	Femkant (pentagon)	Fotballmønster
6	Sekskant (heksagon)	Bikube
7	Sjukant (heptagon)
8	Åttekant (oktogon)	Stoppskilt
$n$	$n$ -kant

Vinkelsummen i en polygon

n

✏️Eksempel: Vinkelsummen i en åttekant

Hva er vinkelsummen i en åttekant? Hvor stor er hver vinkel i en regulær åttekant?

Vinkelsummen:

En åttekant har $n = 8$ sider. Vi bruker formelen:

$S = (n - 2) \cdot 180° = (8 - 2) \cdot 180° = 6 \cdot 180° = 1080°$

Hver vinkel i en regulær åttekant:

I en regulær åttekant er alle vinklene like store. Vi deler vinkelsummen på antall vinkler:

$v = \frac{1080°}{8} = 135°$

Svar: Vinkelsummen i en åttekant er $1080°$ . Hver vinkel i en regulær åttekant er $135°$ .

📝Oppgave F1

Finn feilen! Emilie har skrevet:

«Vinkelsummen i en sekskant er $S = 6 \cdot 180° = 1080°$ .»

Finn feilen og skriv riktig utregning.

Ytre vinkler i en polygon

\text{ytre vinkel} = 180° - \text{indre vinkel}

✏️Eksempel: Indre og ytre vinkler i en regulær femkant

Finn størrelsen på hver indre vinkel og hver ytre vinkel i en regulær femkant (pentagon).

Indre vinkel:

Vinkelsummen i en femkant ( $n = 5$ ):

$S = (5 - 2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540°$

Hver indre vinkel i en regulær femkant:

$v_{\text{indre}} = \frac{540°}{5} = 108°$

Ytre vinkel:

$v_{\text{ytre}} = 180° - 108° = 72°$

Sjekk: $5 \cdot 72° = 360°$ \checkmark (Summen av de ytre vinklene er $360°$ .)

Svar: Hver indre vinkel er $108°$ og hver ytre vinkel er $72°$ .

✏️Eksempel: Finne antall sider fra vinkelstørrelse

En regulær polygon har indre vinkler som er $150°$ store. Hvor mange sider har polygonen?

Metode 1: Bruke ytre vinkel

Ytre vinkel $= 180° - 150° = 30°$

Siden summen av de ytre vinklene er $360°$ :

$n = \frac{360°}{30°} = 12$

Metode 2: Bruke vinkelsumformelen

I en regulær $n$ -kant er hver indre vinkel $\displaystyle \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ . Vi setter dette lik $150°$ :

$\frac{(n - 2) \cdot 180°}{n} = 150°$

$(n - 2) \cdot 180 = 150n$

$180n - 360 = 150n$

$30n = 360$

$n = 12$

Svar: Polygonen har $12$ sider (en tolvkant / dodekagon).

📝Oppgave 1

Finn vinkelsummen i:

en trekant

en firkant

en sekskant

en tikant (10 sider)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Finn størrelsen på hver indre vinkel i en regulær:

likesidet trekant

regulær firkant (kvadrat)

regulær sekskant

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

En firkant har tre vinkler som er $80°$ , $110°$ og $95°$ . Finn den fjerde vinkelen.

📝Oppgave 4

Finn størrelsen på hver ytre vinkel i en regulær tikant (10-kant).

📝Oppgave 5

En regulær polygon har indre vinkler på $140°$ . Hvor mange sider har polygonen?

📝Oppgave 6

Hvor mange diagonaler kan vi trekke i en sekskant? (Tips: Fra hvert hjørne kan du trekke diagonaler til alle hjørner bortsett fra seg selv og de to nabohjørnene.)

📝Oppgave 7

Vinkelsummen i en polygon er $2340°$ . Hvor mange sider har polygonen?

📝Oppgave 8

Vis at formelen for antall diagonaler i en $n$ -kant er $\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}$ . Bruk formelen til å finne antall diagonaler i en tolvkant.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Kan du lage en regulær polygon der hver indre vinkel er nøyaktig

170°

? Hva med

175°

? Begrunn svaret ditt, og diskuter om det finnes en øvre grense for hvor stor en indre vinkel i en regulær polygon kan være.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Polygoner: En polygon er en lukket, plan figur med rette sider. Vi navngir dem etter antall sider: trekant (3), firkant (4), femkant (5), sekskant (6) osv.
- Vinkelsumformelen: Vinkelsummen i en polygon med $n$ sider er $S = (n - 2) \cdot 180°$ . Formelen bygger på at polygonen kan deles inn i $(n - 2)$ trekanter.
- Indre og ytre vinkler: En ytre vinkel er supplementet til den indre: $180° - \text{indre vinkel}$ . Summen av de ytre vinklene i enhver konveks polygon er alltid $360°$ .
- Regulære polygoner: I en regulær $n$ -kant er alle sider og vinkler like. Hver indre vinkel er $\displaystyle \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ og hver ytre vinkel er $\displaystyle \frac{360°}{n}$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Polygon	Lukket, plan figur avgrenset av rette linjestykker
Regulær polygon	Polygon der alle sider og vinkler er like
Konveks polygon	Polygon der alle indre vinkler er mindre enn $180°$
Vinkelsumformel	$S = (n - 2) \cdot 180°$
Ytre vinkel	$180°$ minus den indre vinkelen; summen er alltid $360°$
Diagonal	Linjestykke mellom to hjørner som ikke er naboer

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.