8.1 Polygoner og vinkelsummer

Mangekantenes verden

Se deg rundt. Vinduet ditt er en firkant. Stoppskiltet utenfor er en åttekant. Bikubene i naturen er sekskanter. Fotballen du sparker er dekket av femkanter og sekskanter. Alle disse figurene er polygoner -- lukkede figurer med rette sider.

Men hva vet vi egentlig om vinklene i disse figurene? Du vet kanskje at vinkelsummen i en trekant er $180°$, og i en firkant $360°$. Men hva med en femkant? En sekskant? En 100-kant? Det viser seg at det finnes en elegant formel som fungerer for alle polygoner -- og den bygger på en enkel, men genial idé.

Hva er en polygon?

En polygon (eller mangekant) er en lukket, plan figur avgrenset av rette linjestykker som vi kaller sider. Polygoner navngis etter antall sider:

Vinkelsummen -- den geniale ideen

Her er den store ideen: fra ett hjørne i en polygon kan du trekke diagonaler til alle de andre hjørnene (bortsett fra nabohjørnene). Dette deler polygonen inn i trekanter. Og vinkelsummen i en trekant er alltid $180°$.

En firkant ($n = 4$) kan deles i $2$ trekanter: $2 \cdot 180° = 360°$.
En femkant ($n = 5$) kan deles i $3$ trekanter: $3 \cdot 180° = 540°$.
En sekskant ($n = 6$) kan deles i $4$ trekanter: $4 \cdot 180° = 720°$.

Ser du mønsteret? En $n$-kant deles i $(n - 2)$ trekanter. Dermed er vinkelsummen:

$$S = (n - 2) \cdot 180°$$

Denne formelen er utrolig nyttig. Den fungerer for alle konvekse polygoner, uansett størrelse. En 100-kant har vinkelsummen $(100 - 2) \cdot 180° = 17\,640°$.

I en regulær $n$-kant er alle vinklene like store, så hver indre vinkel er:

$$v = \frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$$

For en regulær sekskant: $\displaystyle v = \frac{4 \cdot 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120°$. Det er nettopp derfor bier bygger sekskantede celler -- $120°$-vinkler passer perfekt sammen uten mellomrom!

Ytre vinkler -- en runde rundt polygonen

En ytre vinkel er supplementvinkelen til en indre vinkel. Altså: ytre vinkel $= 180° -$ indre vinkel.

Tenk deg at du går langs kantene av en polygon. Ved hvert hjørne snur du deg litt -- den vinkelen du snur er den ytre vinkelen. Når du har gått hele veien rundt og er tilbake der du startet, har du snudd deg nøyaktig en hel runde. Derfor gjelder en universell regel:

$$\text{Sum av ytre vinkler} = 360°$$

Dette gjelder for alle konvekse polygoner -- uansett om de har 3, 8, eller 1000 sider!

For en regulær $n$-kant er alle ytre vinklene like store: $\displaystyle \frac{360°}{n}$.

Denne regelen gir oss et elegant triks for å finne antall sider: Hvis du vet at den indre vinkelen i en regulær polygon er $150°$, er den ytre vinkelen $180° - 150° = 30°$. Antall sider er da $\displaystyle \frac{360°}{30°} = 12$ -- en tolvkant!

Diagonaler -- linjer på tvers

En diagonal er et linjestykke mellom to hjørner som ikke er nabohjørner. Hvor mange diagonaler har en polygon? Fra hvert av de $n$ hjørnene kan du trekke diagonaler til $(n - 3)$ andre hjørner (ikke til seg selv eller de to naboene). Det gir $n(n-3)$ retninger, men hver diagonal telles to ganger (en gang fra hvert endepunkt). Antall diagonaler er:

$$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$

For en sekskant: $\displaystyle D = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ diagonaler.
For en tolvkant: $\displaystyle D = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54$ diagonaler.

Diagonaler er viktige fordi de deler polygonen inn i trekanter -- og det er nettopp slik vi utledet vinkelsumformelen!

Oppsummering

En polygon er en lukket figur med rette sider. En regulær polygon har like sider og like vinkler.

Vinkelsummen i en $n$-kant: $S = (n - 2) \cdot 180°$

Hver indre vinkel i en regulær $n$-kant: $\displaystyle v = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$

Sum av ytre vinkler: Alltid $360°$ for enhver konveks polygon.

Hver ytre vinkel i en regulær $n$-kant: $\displaystyle \frac{360°}{n}$

Antall diagonaler i en $n$-kant: $\displaystyle D = \frac{n(n-3)}{2}$