5.3 Spill og strategi | Matematikk 2P-Y

Utforsk sannsynlighet gjennom spill, strategier og forventet gevinst.

45 min

9 oppgaver

SpillStrategiForventet gevinstSimulering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Sannsynlighet i praksis

Telja moglegheiter

I mange situasjonar i yrkeslivet treng vi å vita kor mange moglegheiter som finst:
- Kor mange ulike menyar kan ein kantine setja saman?
- Kor mange ulike uniformkombinasjonar finst?
- Kor mange moglege ruter har ein budbil?
- Kor mange kodar kan eit alarmsystem ha?

For å telja rett bruker vi kombinatorikk -- læra om å telja systematisk.

Multiplikasjonsprinsippet

m

✏️Eksempel 1: Uniformkombinasjonar

Ei hotellkjede har følgjande uniformval for resepsjonistane:
- Skjorte: kvit, lyseblå, lys rosa (3 val)
- Bukse/skjørt: svart, mørkeblå (2 val)
- Slips/skjerf: raudt, gråstripa, einsfarga blått (3 val)

Kor mange ulike uniformkombinasjonar finst?

Løysing:

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

$\text{Antall kombinasjoner} = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$

Det finst 18 ulike uniformkombinasjonar.

Valtre

Eit valtre er ein visuell måte å telja moglegheiter på. Vi teiknar greiner for kvart val, og tel endepunkta.

Valtre er særleg nyttig når:
- Det er få moglegheiter i kvart trinn
- Vi vil sjå alle moglegheitene oversiktleg
- Nokre kombinasjonar er ugyldige og skal utelukkast

For større tal er multiplikasjonsprinsippet raskare enn å teikna valtre.

✏️Eksempel 2: Kodelås

Eit verktøyskap på eit bygningsverkstad har ein kodelås med 4 siffer. Kvart siffer kan vera 0-9.

a) Kor mange moglege kodar finst?
b) Kor mange kodar finst viss alle siffera må vera ulike?

Løysing:

a) Kvart siffer har 10 moglegheiter (0, 1, 2, ..., 9):
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000 \text{ koder}$

b) Viss alle siffera må vera ulike:
- Siffer 1: 10 moglegheiter
- Siffer 2: 9 moglegheiter (eitt er brukt)
- Siffer 3: 8 moglegheiter
- Siffer 4: 7 moglegheiter

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5\,040 \text{ koder}$

Eit viktig skilje i kombinatorikk:

Med tilbakelegging: Same element kan veljast fleire gonger. Eksempel: kodelås der du kan bruka same siffer fleire gonger.

Utan tilbakelegging: Kvart element kan berre veljast éin gong. Eksempel: fordela arbeidsoppgåver -- ein person kan berre ha éi oppgåve.

Hugs: «utan tilbakelegging» gir alltid færre moglegheiter.

📝Oppgave 5.9

Ein kantine tilbyr lunsj med følgjande val:
- Suppe: tomat, lauk, ertesuppe (3 val)
- Brød: lyst, grovt, knekkebrød (3 val)
- Drikke: vatn, juice, mjølk, kaffi (4 val)

a) Bruk multiplikasjonsprinsippet til å finna talet på ulike lunsjkombinasjonar.
b) Kantinen fjernar kaffi frå menyen. Kor mange kombinasjonar er det no?
c) Kantinen legg til ei ny suppe (minestrone). Kor mange kombinasjonar totalt (utan kaffi, med ny suppe)?
d) Kor mange fleire kombinasjonar gav den nye suppa?

Talet på kombinasjonar

Utan kaffi

Med ny suppe, utan kaffi

Fleire kombinasjonar frå ny suppe

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.10

Eit tryggleikssystem bruker ein PIN-kode med 3 siffer (0-9).

a) Kor mange moglege PIN-kodar finst totalt?
b) Kor mange PIN-kodar startar med siffer 5?
c) Kor mange PIN-kodar har berre partal (0, 2, 4, 6, 8)?
d) Kor mange PIN-kodar har tre like siffer (t.d. 444)?

Totalt tal på kodar

Kodar som startar med 5

Kodar med berre partal

Kodar med tre like

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.11

Ein bilforhandlar tilbyr ein varebil med følgjande val:
- Farge: kvit, grå, svart, blå, raud (5 val)
- Motor: diesel, bensin, hybrid (3 val)
- Utstyrspakke: basis, pluss, premium (3 val)
- Hengarfeste: med, utan (2 val)

a) Kor mange ulike konfigurasjonar av varebilen finst?
b) Kunden vil ha diesel. Kor mange konfigurasjonar står att?
c) Kunden vil ha diesel OG premium. Kor mange står att no?
d) Kunden vil ha diesel, premium, og anten kvit eller svart. Kor mange står att?

Totalt tal på konfigurasjonar

Berre diesel

Diesel og premium

Diesel, premium, kvit/svart

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5.12

På eit sjukeheim skal 5 tilsette fordelast på 5 ulike vakter (tidlegvakt, dagvakt, seinvakt, nattevakt, bakvakt). Kvar tilsett tek nøyaktig éi vakt.

a) Kor mange moglegheiter har leiaren for tidlegvakta (fyrste val)?
b) Når tidlegvakta er bestemt, kor mange moglegheiter er det for dagvakta?
c) Bruk multiplikasjonsprinsippet til å finna totalt tal på måtar å fordela vaktene.
d) Leiaren bestemmer at Anna SKAL ha nattevakt. Kor mange måtar kan dei resterande vaktene fordelast no?

Moglegheiter for tidlegvakt

Moglegheiter for dagvakt

Totalt tal på fordelingar

Fordelingar med Anna på nattevakt

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Multiplikasjonsprinsippet: Viss eit val kan gjerast på $m$ måtar og eit anna på $n$ måtar, kan begge gjerast på $m \cdot n$ måtar.
- Med repetisjon: $n$ symbol på $k$ plassar gir $n^k$ moglegheiter (t.d. PIN-kode: $10^4$ ).
- Utan repetisjon: Talet på moglegheiter søkk for kvart val: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots$
- Rekkjefølgje av $n$ objekt: $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$ .
- Kombinatorikk blir brukt til å rekna ut sannsyn: $P = \dfrac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Multiplikasjonsprinsippet	Tal på måtar blir multiplisert
Fakultet ( $n!$ )	Tal på rekkjefølgjer av $n$ objekt
Valtre	Diagram som viser alle valmoglegheiter

Viktige formlar

- Med repetisjon:

n^k

- Utan repetisjon:

n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots

n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.