2.4 Prosentfeil og avrunding | Matematikk 2P-Y

Forstå konsekvenser av avrunding og prosentfeil i beregninger.

40 min

9 oppgaver

ProsentfeilAvrundingGjentatt avrundingFeilmargin

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Prosentvis endring

Eksponentiell vekst og nedgang

Nokre storleikar veks eller minkar med ein fast prosentdel i kvar periode. Då seier vi at utviklinga er eksponentiell.

Døme frå yrkeslivet:
- Verditap på ein varebil (t.d. 15 % per år)
- Bakterievekst i matvarer
- Prisstiging over tid
- Nedbryting av medisinar i kroppen

Skilnaden frå lineær vekst er at endringa ikkje er eit fast tal, men ein fast prosent.

Vekstfaktor

p\,\%

✏️Døme 1: Verditap på ein varebil

Ein handverkar kjøper ein varebil til 420 000 kr. Bilen mistar 18 % av verdien kvart år. Kva er bilen verd etter 5 år?

Løysing:

Startverdi: $N_0 = 420\,000$ kr
Nedgang: 18 %, vekstfaktor $a = 1 - 0{,}18 = 0{,}82$
Tal på år: $x = 5$

$N = 420\,000 \cdot 0{,}82^5$
$N = 420\,000 \cdot 0{,}3707$
$N \approx 155\,700 \text{ kr}$

Etter 5 år er bilen verd ca. 155 700 kr.

Bilen har tapt $420\,000 - 155\,700 = 264\,300$ kr i verdi.

📊Utforsk: Verditap på varebil

Grafen viser verdien av ein varebil kjøpt for 300 000 kr som tapar 15 % av verdien kvart år: $f(x) = 300\,000 \cdot 0{,}85^x$ . Punktet viser verdien etter 5 år. Legg merke til at verditapet i kroner er størst dei første åra.

Halveringstid og fordoblingstid

Halveringstid er tida det tek for ein storleik å bli halvert (redusert til halvparten). Blir brukt t.d. om medisin i kroppen eller radioaktivt avfall.

Fordoblingstid er tida det tek for ein storleik å bli dobla. Blir brukt t.d. om bakterievekst eller investeringar.

For å finne halveringstid ved jamn prosentvis nedgang:
$\text{Halveringstid} = \frac{\log(0{,}5)}{\log(a)}$

For å finne fordoblingstid ved jamn prosentvis auke:
$\text{Fordoblingstid} = \frac{\log(2)}{\log(a)}$

der $a$ er vekstfaktoren.

✏️Døme 2: Bakterievekst i mat

Eit parti kyllingfilet har 200 bakteriar ved levering. Talet på bakteriar blir dobla kvar 30. minutt ved romtemperatur. Kor mange bakteriar er det etter 3 timar?

Løysing:

Startverdi: $N_0 = 200$
Fordoblingstid: 30 minutt
Vekstfaktor per 30 min: $a = 2$
Tal på periodar (30-min): $\displaystyle x = \frac{3 \text{ timar}}{0{,}5 \text{ timar}} = 6$

$N = 200 \cdot 2^6 = 200 \cdot 64 = 12\,800$

Etter 3 timar er det 12 800 bakteriar på kyllingen.

Dette viser kvifor det er viktig med rett kjølelagring!

For å rekne ut $0{,}82^5$ på kalkulatoren:
1. Tast inn $0{,}82$
2. Trykk potensteiknet ( $x^y$ eller $\hat{}$ )
3. Tast inn $5$
4. Trykk $=$

Dei fleste kalkulatorar har ein $\log$ -knapp for å rekne ut halveringstid og fordoblingstid.

📝Oppgave 2.13

Finn vekstfaktoren:

a) 5 % auke
b) 12 % nedgang
c) 3,5 % auke
d) 20 % nedgang

Vekstfaktor ved 5 % auke

Vekstfaktor ved 12 % nedgang

Vekstfaktor ved 3,5 % auke

Vekstfaktor ved 20 % nedgang

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.14

Ei anleggsmaskin vart kjøpt for 850 000 kr. Ho mistar 20 % av verdien kvart år.

a) Kva er vekstfaktoren?
b) Kva er maskina verd etter 1 år?
c) Kva er maskina verd etter 3 år?
d) Kor mykje har maskina tapt i verdi etter 3 år?

Vekstfaktor

Verdi etter 1 år

Verdi etter 3 år

Verditap etter 3 år

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.15

Ein pasient får ein dose smertestillande medisin. Kroppen bryt ned 30 % av medisinen per time. Pasienten fekk 400 mg.

a) Kva er vekstfaktoren for medisinmengda?
b) Kor mykje medisin er igjen etter 2 timar?
c) Kor mykje medisin er igjen etter 5 timar?
d) Bruk formelen for halveringstid til å finne kor lang tid det tek før halvparten er borte.

Vekstfaktor

Mengd etter 2 timar

Mengd etter 5 timar

Halveringstid

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2.16

Ein bonde startar med 500 høner. Talet på egg produsert per dag er 420. Bonden planlegg å utvide med 10 % fleire høner kvart år.

a) Kor mange høner har bonden etter 2 år?
b) Kor mange høner har bonden etter 4 år?
c) Finn fordoblingstida for talet på høner.
d) Kor mange egg kan bonden vente seg per dag etter 4 år, dersom kvar høne legg like mange egg? (Rund av til næraste heile egg.)

Tal på høner etter 2 år

Tal på høner etter 4 år

Fordoblingstid

Egg per dag etter 4 år

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentiell vekst/nedgang: $f(t) = a \cdot b^t$ , der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren.
- $b > 1$ gir vekst, $0 < b < 1$ gir nedgang. Ved $p\,\%$ endring per tidseining er $\displaystyle b = 1 \pm \frac{p}{100}$ .
- Skilnad frå lineær vekst: Eksponentiell endring skjer med ein fast prosent per tidseining, lineær med eit fast beløp.
- Fordoblingstid/halveringstid: Tida det tek før verdien er dobla eller halvert.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Eksponentiell funksjon	$f(t) = a \cdot b^t$
Startverdi	$a = f(0)$
Vekstfaktor	$b$ , talet det blir ganga med per tidseining
Fordoblingstid	Tid før verdien er dobla
Halveringstid	Tid før verdien er halvert

Viktige formlar

f(t) = a \cdot b^t

- Verdi etter

n

periodar: startverdi

\cdot b^n

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.