7.2 Likningssett

Løyse to likningar med to ukjende ved innsetjings- og addisjonsmetoden.

45 min

10 oppgaver

LikningssettInnsetjingsmetodenAddisjonsmetoden

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Likninger med en ukjent

Likningssett

Nokre gonger treng vi to likningar for å bestemme to ukjende. Eit likningssett er to likningar som gjeld samstundes.

Du lærer:
- Innsetjingsmetoden
- Addisjonsmetoden
- Å setje opp likningssett frå tekst

Likningssett

x

✏️Innsetjingsmetoden

Løys: $y = 2x+1$ og $3x+y = 16$ .

3x + (2x + 1) = 16

$5x + 1 = 16$

$5x = 15$

$x = 3$

$y = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Kontroll: $3 \cdot 3 + 7 = 16$

Svar: $x = 3$ og $y = 7$

✏️Addisjonsmetoden

Éi gruppe kjøper 3 kaffe og 2 bollar og betaler 175 kr. Ei anna gruppe kjøper 2 kaffe og 4 bollar og betaler 190 kr. Kva kostar ein kaffe, og kva kostar ein bolle?

La $k$ vere prisen på ein kaffe og $b$ prisen på ein bolle.

$\text{(I)}\quad 3k + 2b = 175$

$\text{(II)}\quad 2k + 4b = 190$

Vi gongar (I) med 2 slik at begge likningane får leddet $4b$ . Når vi trekkjer (II) frå, forsvinn $b$ .

$2 \cdot \text{(I)}:\quad 6k + 4b = 350$

$2 \cdot \text{(I)} - \text{(II)}:\quad 4k = 160$

$k = 40$

Sett inn i (I):

$3 \cdot 40 + 2b = 175$

$2b = 55$

$b = 27{,}50$

Svar: Ein kaffe kostar 40 kr og ein bolle 27,50 kr.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Likningssett løyst grafisk

Likningssettet

y = 2x + 1

y = -x + 7

er teikna som to linjer. Løysinga er det grøne skjeringspunktet

(2, 5)

– det einaste punktet som ligg på begge linjene. Endre likningane og sjå korleis løysinga flyttar seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f: y = 2x + 1
g: y = -x + 7
S = Skjæring(f, g)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")
SetColor(S, "Green")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Same likningssett løyst på tre måtar

Løys likningssettet $x + 2y = 8$ og $3x - y = 3$

a) ved rekning

b) grafisk i GeoGebra

c) med CAS i GeoGebra

d) Vurder dei tre metodane.

$\text{(II)}:\quad y = 3x - 3$

Sett inn i (I):

$x + 2(3x - 3) = 8$

$x + 6x - 6 = 8$

$7x = 14$

$x = 2$

$y = 3 \cdot 2 - 3 = 3$

f: x + 2y = 8

g: 3x - y = 3

S = Skjering(f, g)

$S = (2, 3)$

To rette linjer: x + 2y = 8 søkk slakt frå (0, 4), og 3x − y = 3 stig bratt gjennom (1, 0). Linjene skjer kvarandre i punktet (2, 3), som er markert.

Løys({x + 2y = 8, 3x - y = 3}, {x, y})

$\{\{x = 2,\; y = 3\}\}$

Rekning viser kvart steg og gir eksakt svar, men tek lengst tid og gir lett reknefeil. Grafen viser løysinga som skjeringspunktet mellom to linjer og gjer det lett å sjå om svaret er rimeleg, men ei avlesing er berre så nøyaktig som figuren. CAS gir eksakt svar raskast, men viser ikkje korleis svaret kjem fram. På del 1 av eksamen må vi rekne. På del 2 vel vi CAS eller graf og kontrollerer svaret i begge likningane.

Kontroll: $2 + 2 \cdot 3 = 8$ og $3 \cdot 2 - 3 = 3$

Svar: $x = 2$ og $y = 3$

📝Oppgave 1

Løys likningssettet $x + y = 10$ og $x - y = 4$ .

📝Oppgave 2

Løys likningssettet $y = 3x - 5$ og $2x + y = 15$ med innsetjingsmetoden.

📝Oppgave 3

Lise kjøper 2 t-skjorter og 1 caps og betaler 650 kr. Jonas kjøper 1 t-skjorte og 3 capsar og betaler 575 kr. Kva kostar ei t-skjorte, og kva kostar ein caps?

📝Oppgave 4

Løys likningssettet $2x + 3y = 19$ og $4x - 3y = 5$ .

📝Oppgave 5

Ein bonde har høns og sauer, til saman 20 dyr. Dyra har til saman 56 bein. Kor mange høns og kor mange sauer har bonden?

📝Oppgave 6

Løys likningssettet $2x + y = 9$ og $x - y = 3$ på tre måtar.

Løys likningssettet ved rekning.

Løys likningssettet grafisk i GeoGebra.

Løys likningssettet med CAS.

Kva metode ville du brukt på del 1 og på del 2 av eksamen? Grunngi svaret.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å løyse likningssett med to ukjende:

- Eit likningssett består av to likningar med to ukjende. Løysinga er verdiparet $(x, y)$ som passar i begge likningane.
- Innsetjingsmetoden: Uttrykk den eine ukjende frå éi likning, og set uttrykket inn i den andre.
- Addisjonsmetoden: Legg saman (eller trekk frå) likningane slik at ein ukjend forsvinn.
- Grafisk er løysinga skjeringspunktet mellom dei to linjene.
- Med CAS løyser vi likningssettet med Løys({likning1, likning2}, {x, y}). Kontroller alltid svaret i begge likningane.
- Praktiske problem med to ukjende storleikar (prisar, tal) kan omsetjast til likningssett.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Likningssett	To likningar med to ukjende
Innsetjingsmetoden	Set uttrykk for éin ukjend inn i den andre likninga
Addisjonsmetoden	Legg saman likningane for å eliminere ein ukjend
Grafisk løysing	Skjeringspunktet mellom grafane

Viktig framgangsmåte

1. Vel metode (innsetjing eller addisjon).
2. Finn den eine ukjende.
3. Set tilbake og finn den andre.
4. Sjekk løysinga i begge likningane.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.