5.2
Trigonometri i praksis

5.2 Trigonometri i praksis

Alle fag for VG2

Bruk av trigonometri til praktiske utrekningar.

55 min
17 oppgaver
SinusCosinusTangensPraktiske oppgåverLandmålingHellingsvinkel
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 17 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Trigonometri i praksis

Trigonometri er eit verktøy for å rekne ut ukjende sider og vinklar i trekantar. I praktisk arbeid blir trigonometri brukt til alt frå å finne høgda på eit tre til å rekne ut hellinga på eit tak.

I dette kapittelet skal du lære:
- Pytagoras' setning for rettvinkla trekantar
- Dei trigonometriske forholda sinus, cosinus og tangens
- Rekne ut ukjende sider og vinklar
- Løyse praktiske problem med trigonometri

Pytagoras' setning
I ein rettvinkla trekant med katetar aa og bb og hypotenus cc gjeld:

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Hypotenusen er den lengste sida i trekanten, og han ligg alltid overfor den rette vinkelen (90°).

Setninga kan brukast til å finne ei ukjend side dersom du kjenner dei to andre:
- Finne hypotenusen: c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}
- Finne ein katet: a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2}

✏️Eksempel: Stige mot vegg

Ein stige som er 5,0 m lang lener mot ein vegg. Foten av stigen står 1,5 m frå veggen. Kor høgt opp på veggen når stigen?

Stigen dannar hypotenusen i ein rettvinkla trekant. Avstanden frå veggen er ein katet, og høgda opp veggen er den andre kateten.

h2+1,52=5,02h^2 + 1{,}5^2 = 5{,}0^2

h2=25−2,25=22,75h^2 = 25 - 2{,}25 = 22{,}75

h=22,75≈4,77 mh = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77 \text{ m}

Svar: Stigen når ca. 4,8 m opp på veggen.

📝Oppgave 1

Ein rettvinkla trekant har katetar på 6 cm og 8 cm. Kor lang er hypotenusen?

📝Oppgave 2

Diagonalen i eit rektangulært rom måler 7,2 m. Rommet er 5,4 m langt. Kor breitt er rommet?

Trigonometriske forhold
I ein rettvinkla trekant med ein spiss vinkel vv definerer vi:

sin⁡v=motsta˚ande katethypotenus\sin v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hypotenus}}

cos⁡v=hosliggjande katethypotenus\cos v = \frac{\text{hosliggjande katet}}{\text{hypotenus}}

tan⁡v=motsta˚ande katethosliggjande katet=sin⁡vcos⁡v\tan v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hosliggjande katet}} = \frac{\sin v}{\cos v}

Forholda avheng berre av vinkelen vv, ikkje av kor stor trekanten er: rettvinkla trekantar med same spisse vinkel er formlike, og då har sidene same forhold.

✏️Eksempel: Finne ei ukjend side

Eit tre kastar ein skugge på 15 m langs bakken. Vinkelen til sola over horisonten er 38°. Kor høgt er treet?

Vi har vinkelen 38° og den hosliggjande kateten (skuggen = 15 m). Vi søkjer den motståande kateten (trehøgda).

tan⁡38°=h15\tan 38° = \frac{h}{15}

h=15⋅tan⁡38°=15⋅0,7813≈11,7 mh = 15 \cdot \tan 38° = 15 \cdot 0{,}7813 \approx 11{,}7 \text{ m}

Svar: Treet er ca. 11,7 m høgt.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Trigonometri i ein rettvinkla trekant

Trekanten har katetar 8 og 6. Vinkelen α\alpha ved origo oppfyller tan⁡α=68\displaystyle \tan \alpha = \frac{6}{8}, som gir α≈36,9°\alpha \approx 36{,}9°. Dra i hjørna og sjå korleis vinkelen endrar seg når forholdet mellom katetane endrar seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

t = Polygon((0, 0), (8, 0), (8, 6))
α = Vinkel((8, 0), (0, 0), (8, 6))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)
📝Oppgave 3

Ein stige er 5 m lang og står med 70° vinkel mot bakken. Kor høgt opp når han?

📝Oppgave 4

Frå eit punkt på bakken er det 40 m bort til foten av eit tårn. Du måler vinkelen opp til toppen av tårnet til 52°. Auga dine er 1,7 m over bakken.

a

Bruk tangens til å finne kor høgt tårnet ragar over augehøgd.

b

Kva er den totale høgda til tårnet?

📝Oppgave 5

I ein rettvinkla trekant er hypotenusen 13 cm og ein vinkel er 22°. Kva er lengda av den motståande kateten?

Rekne ut ukjende vinklar

Dersom du kjenner to sider i ein rettvinkla trekant, kan du bruke dei inverse trigonometriske funksjonane til å finne ein vinkel:

v=sin⁡−1(motsta˚andehypotenus)v = \sin^{-1}\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}\right)

v=cos⁡−1(hosliggjandehypotenus)v = \cos^{-1}\left(\frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}\right)

v=tan⁡−1(motsta˚andehosliggjande)v = \tan^{-1}\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hosliggjande}}\right)

På kalkulatoren bruker du knappane sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1} eller tan⁡−1\tan^{-1}.

✏️Eksempel: Takhelling

Eit saltak har ei halvbreidd på 5,0 m (horisontal avstand frå vegg til møne) og ei høgd på 2,5 m frå takfoten til mønet. Kva er hellingsvinkelen til taket?

Vi kjenner motståande katet (høgd = 2,5 m) og hosliggjande katet (halvbreidd = 5,0 m).

tan⁡v=2,55,0=0,5\tan v = \frac{2{,}5}{5{,}0} = 0{,}5

v=tan⁡−1(0,5)≈26,6°v = \tan^{-1}(0{,}5) \approx 26{,}6°

Svar: Hellingsvinkelen er ca. 27°.

📝Oppgave 6

Ei rampe for rullestol er 6,0 m lang og stig 0,5 m i høgda. Byggteknisk forskrift (TEK17) § 12-16 andre ledd: ei rampe skal ha stigning høgst 1:15 (høgst 1:12 på strekningar under 3,0 m).

a

Kva vinkel dannar rampa med det horisontale planet?

b

Stigning 1:15 tyder at rampa stig 1 m for kvar 15 m vassrett. Finn den største vinkelen kravet tillèt, og avgjer om rampa oppfyller kravet.

Løs oppgaven
📝Oppgave 7

Ein veg har 8 % stigning. Kva er hellingsvinkelen?

📝Oppgave 8

Frå toppen av eit 25 m høgt fyrtårn ser du ein båt med nedsynsvinkel 12°12°. Kor langt er båten frå foten av fyrtårnet?

📝Oppgave 9

Ei flaggstong kastar ein 12 m lang skugge. Vinkelen mellom bakken og solstrålen (målt mot toppen av flaggstonga) er 54°.

a

Rekn ut høgda til flaggstonga.

b

Kor lang er solstrålen frå skuggetuppen til toppen av stonga?

Løs oppgaven
📝Oppgave 10

Ein sti går rett opp ein bakke. Du går 250 m langs stien, og GPS-en viser at du har stige 85 m i høgda.

a

Finn stigningsvinkelen.

b

Kva er den horisontale avstanden du har tilbakelagt?

Løs oppgaven
📝Oppgave 11

Du skal måle breidda av ei elv utan å krysse henne. Du plasserer deg rett overfor eit tre på den andre sida (punkt A). Du går 50 m langs elva til punkt B. Vinkelen frå B til treet (målt frå elvebreidda) er 62°.

a

Lag ei skisse av situasjonen.

b

Rekn ut breidda av elva.

c

Forklar kvifor denne metoden fungerer sjølv om du ikkje kan krysse elva.

Løs oppgaven
📝Oppgave 12

Eit tak med hellingsvinkel 30° har ei takflate som er 8 m lang (skrålengda frå takfot til møne). Kva er den horisontale breidda frå yttervegg til møne?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pytagoras' setning: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 i rettvinkla trekantar
- Sinus: sin⁡v=motsta˚andehypotenus\displaystyle \sin v = \frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}
- Cosinus: cos⁡v=hosliggjandehypotenus\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}
- Tangens: tan⁡v=motsta˚andehosliggjande\displaystyle \tan v = \frac{\text{motståande}}{\text{hosliggjande}}
- Finne ukjende sider ved å bruke dei trigonometriske forholda
- Finne ukjende vinklar med inverse trigonometriske funksjonar
- Bruke trigonometri i praktiske situasjonar som stigar, takhelling, stigning i prosent og landmåling

Viktig framgangsmåte

1. Teikn ein figur og merk av den rette vinkelen.
2. Finn ut kva sider du kjenner i forhold til vinkelen.
3. Vel rett forhold (sin, cos eller tan).
4. Ved siktemålingar: hugs å leggje til augehøgda.

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.