5.2 Trigonometri i praksis | Matematikk 2P

Bruk av trigonometri til praktiske beregninger.

55 min

14 oppgaver

SinusCosinusTangensPraktiske oppgaverLandmåling

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.3Trigonometri i praksis

Trigonometri i praksis

Trigonometri er eit verktøy for å rekne ut ukjende sider og vinklar i trekantar. I praktisk arbeid blir trigonometri brukt til alt frå å finne høgda på eit tre til å rekne ut hellinga på eit tak.

I dette kapittelet skal du lære:
- Pytagoras' setning for rettvinkla trekantar
- Dei trigonometriske forholda sinus, cosinus og tangens
- Rekne ut ukjende sider og vinklar
- Løyse praktiske problem med trigonometri

Pytagoras' setning

a

✏️Eksempel: Stige mot vegg

Ein stige som er 5,0 m lang lener mot ein vegg. Foten av stigen står 1,5 m frå veggen. Kor høgt opp på veggen når stigen?

Løysing:

Stigen dannar hypotenusen i ein rettvinkla trekant. Avstanden frå veggen er ein katet, og høgda opp veggen er den andre kateten.

$h^2 + 1{,}5^2 = 5{,}0^2$

$h^2 = 25 - 2{,}25 = 22{,}75$

$h = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77 \text{ m}$

Svar: Stigen når ca. 4,8 m opp på veggen.

📝Oppgave 1

Ein rettvinkla trekant har katetar på 6 cm og 8 cm. Kor lang er hypotenusen?

📝Oppgave 2

Diagonalen i eit rektangulært rom måler 7,2 m. Rommet er 5,4 m langt. Kor breitt er rommet?

Trigonometriske forhold

v

✏️Eksempel: Finne ei ukjend side

Eit tre kastar ein skugge på 15 m langs bakken. Vinkelen til sola over horisonten er 38°. Kor høgt er treet?

Løysing:

Vi har vinkelen 38° og den hosliggjande kateten (skuggen = 15 m). Vi søkjer den motståande kateten (trehøgda).

$\tan 38° = \frac{h}{15}$

$h = 15 \cdot \tan 38° = 15 \cdot 0{,}7813 \approx 11{,}7 \text{ m}$

Svar: Treet er ca. 11,7 m høgt.

📊Utforsk: Trigonometri i ein rettvinkla trekant

Trekanten har katetar 8 og 6. Vinkelen $\alpha$ ved origo oppfyller $\displaystyle \tan \alpha = \frac{6}{8}$ , som gir $\alpha \approx 36{,}9°$ . Dra i hjørna og sjå korleis vinkelen endrar seg når forholdet mellom katetane endrar seg.

📝Oppgave 3

Frå eit punkt på bakken er det 40 m bort til foten av eit tårn. Du måler vinkelen opp til toppen av tårnet til 52°. Auga dine er 1,7 m over bakken. a) Bruk tangens til å finne kor høgt tårnet ragar over augehøgd. b) Kva er den totale høgda til tårnet?

📝Oppgave 4

I ein rettvinkla trekant er hypotenusen 13 cm og ein vinkel er 22°. Kva er lengda av den motståande kateten?

Rekne ut ukjende vinklar

Dersom du kjenner to sider i ein rettvinkla trekant, kan du bruke dei inverse trigonometriske funksjonane til å finne ein vinkel:

$v = \sin^{-1}\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}\right)$

$v = \cos^{-1}\left(\frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}\right)$

$v = \tan^{-1}\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hosliggjande}}\right)$

På kalkulatoren bruker du knappane $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ eller $\tan^{-1}$ (nokre kalkulatorar skriv arcsin, arccos, arctan).

✏️Eksempel: Takhelling

Eit saltak har ei halvbreidd på 5,0 m (horisontal avstand frå vegg til møne) og ei høgd på 2,5 m frå takfoten til mønet. Kva er hellingsvinkelen til taket?

Løysing:

Vi kjenner motståande katet (høgd = 2,5 m) og hosliggjande katet (halvbreidd = 5,0 m).

$\tan v = \frac{2{,}5}{5{,}0} = 0{,}5$

$v = \tan^{-1}(0{,}5) \approx 26{,}6°$

Svar: Hellingsvinkelen er ca. 27°.

📝Oppgave 5

Ei rampe for rullestol er 6,0 m lang og stig 0,5 m i høgda. a) Kva vinkel dannar rampa med det horisontale planet? b) Er denne vinkelen under kravet i Norsk Standard (maks 1:20 stigning, dvs. maks ca. 2,86°)?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pytagoras' setning: $a^2 + b^2 = c^2$ i rettvinkla trekantar
- Sinus: $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}$
- Cosinus: $\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}$
- Tangens: $\displaystyle \tan v = \frac{\text{motståande}}{\text{hosliggjande}}$
- Finne ukjende sider ved å bruke dei trigonometriske forholda
- Finne ukjende vinklar med inverse trigonometriske funksjonar
- Bruke trigonometri i praktiske situasjonar som stigar, takhelling og landmåling

📝Oppgave 6

Ei flaggstong kastar ein 12 m lang skugge. Vinkelen mellom bakken og solstrålen (målt mot toppen av flaggstonga) er 54°. a) Rekn ut høgda til flaggstonga. b) Kor lang er solstrålen frå skuggetuppen til toppen av stonga?

📝Oppgave 7

Ein sti går rett opp ein bakke. Du går 250 m langs stien, og GPS-en viser at du har stige 85 m i høgda. a) Finn stigningsvinkelen. b) Kva er den horisontale avstanden du har tilbakelagt?

📝Oppgave 8

Du skal måle breidda av ei elv utan å krysse henne. Du plasserer deg rett overfor eit tre på den andre sida (punkt A). Du går 50 m langs elva til punkt B. Vinkelen frå B til treet (målt frå elvebreidda) er 62°. a) Lag ei skisse av situasjonen. b) Rekn ut breidda av elva. c) Forklar kvifor denne metoden fungerer sjølv om du ikkje kan krysse elva.

📝Oppgave 9

Eit tak med hellingsvinkel 30° har ei takflate som er 8 m lang (skrålengda frå takfot til møne). Kva er den horisontale breidda frå yttervegg til møne?

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.