6.3 Modellering med regresjon

Bruke regresjon til å finne matematiske modeller som beskriver datasett.

55 min

10 oppgaver

RegresjonR-kvadratEkstrapoleringInterpolering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Trigonometri i praksis

Brukes videre i

6.4Kritisk vurdering av modeller

Modellering med regresjon

Regresjon finner en matematisk funksjon som best beskriver sammenhengen i et datasett.

I dette kapittelet lærer du:
- Lineær regresjon og $R^2$
- Velge mellom lineær, kvadratisk og eksponentiell modell
- Bruke modeller til forutsigelser

Regresjon og R-kvadrat

y = ax + b

✏️Temperatur og issalg

En kiosk har registrert temperatur og issalg på seks dager:

Temperatur (°C)	Solgte is
12	80
16	130
19	170
22	215
26	265
29	300

Finn en lineær modell med regresjon i GeoGebra, og bruk den til å anslå salget ved 24 °C.

liste1 = {(12, 80), (16, 130), (19, 170), (22, 215), (26, 265), (29, 300)}

f = RegLin(liste1)

$f(x) = 13{,}13x - 77{,}96$

RKvadrat(liste1, f)

$R^2 = 0{,}999$

f(24)

$f(24) = 13{,}13 \cdot 24 - 77{,}96 \approx 237$

Svar: Modellen $f(x) = 13{,}13x - 77{,}96$ anslår et salg på ca. 237 is ved 24 °C. $R^2 = 0{,}999$ viser svært god tilpasning.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Regresjonsmodell for issalg

Punktene viser temperatur og issalg. RegLin gir modellen som passer best – jo nærmere punktene ligger linja, desto høyere blir

R^2

og desto bedre er modellen. Dra ett punkt langt vekk fra linja og se hvor mye modellen påvirkes.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

liste1 = {(12, 80), (16, 130), (19, 170), (22, 215), (26, 265), (29, 300)}
f = RegLin(liste1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Ekstrapolering

Å bruke modellen langt utenfor dataintervallet er usikkert. Modellen $f(x) = 13{,}13x - 77{,}96$ gir negativt salg under ca. 5,9 °C. Bruk modellen bare nær dataintervallet, her 12–29 °C.

📝Oppgave 1

En modell har $R^2 = 0{,}42$ . Hva betyr dette?

📝Oppgave 2

Modellen $y = 5{,}2x + 32$ beskriver sammenhengen mellom antall timer øving, $x$ , og poeng på en prøve, $y$ . Hvor mange poeng gir modellen for 6 timer øving?

📝Oppgave 3

En populasjon dobles hvert 5. år. Hvilken regresjonstype passer best?

📝Oppgave 4

Antall bakterier i en kultur er gitt ved $y = 100 \cdot 1{,}3^x$ , der $x$ er tiden i timer. Hvor mange bakterier er det etter 5 timer?

📝Oppgave 5

Issalg-modellen $f(x) = 13{,}13x - 77{,}96$ fra eksempelet gir $f(5) \approx -12$ . Hva forteller dette?

✏️Eksempel: Andregradsmodell med RegPoly

Tabellen viser drivstofforbruket til en bil ved ulik fart:

Fart (km/t)	Forbruk (L per 100 km)
50	6,1
60	5,6
70	5,4
80	5,5
90	5,9
100	6,6
110	7,4

Forbruket synker først og stiger så. Finn en andregradsmodell, sammenlign med en lineær modell, og anslå forbruket ved 85 km/t.

p = {(50, 6.1), (60, 5.6), (70, 5.4), (80, 5.5), (90, 5.9), (100, 6.6), (110, 7.4)}

f = RegPoly(p, 2)

$f(x) = 0{,}00138x^2 - 0{,}198x + 12{,}53$

RKvadrat(p, f)

$R^2 = 0{,}997$

g = RegLin(p)

RKvadrat(p, g)

$R^2 = 0{,}476$

f(85)

$f(85) \approx 5{,}67$

Svar: Andregradsmodellen passer mye bedre enn den lineære ( $R^2 = 0{,}997$ mot $0{,}476$ ). Den anslår et forbruk på ca. 5,7 L per 100 km ved 85 km/t.

📝Oppgave 6

Temperaturen ble målt fem ganger i løpet av en dag:

Klokkeslett	6	9	12	15	18
Temperatur (°C)	4	11	15	14	8

Finn en andregradsmodell for temperaturen med GeoGebra.

Hva var temperaturen klokka 10 ifølge modellen?

Når var det varmest, og hvor varmt var det da ifølge modellen?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært om modellering med regresjon:

- Regresjon lager en matematisk modell fra virkelige datapunkter — for eksempel en rett linje eller en eksponentialfunksjon.
- Forklaringsgraden $R^2$ (mellom $0$ og $1$ ) forteller hvor godt modellen passer til dataene. $R^2$ nær $1$ betyr god tilpasning.
- Velg modelltype etter mønsteret i dataene: konstant differanse → lineær modell, konstant forhold → eksponentiell modell, stiger og synker → andregradsmodell (RegPoly(liste, 2)).
- En regresjonsmodell er mest pålitelig innenfor dataområdet (interpolering). Utenfor dataområdet (ekstrapolering) kan modellen gi urimelige svar.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Regresjon	Å tilpasse en modell til datapunkter
$R^2$	Forklaringsgrad — mål på tilpasning
Lineær modell	$y = ax + b$ , konstant endring
Eksponentiell modell	$y = a \cdot b^x$ , konstant prosentvis endring
Andregradsmodell	$y = ax^2 + bx + c$ , synker og stiger (eller omvendt)

Viktig å huske

Selv en modell med høy

R^2

kan bli helt feil utenfor dataområdet — vurder alltid om svaret er rimelig.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.