5.2
Trigonometri i praksis

5.2 Trigonometri i praksis

Alle fag for VG2

Bruk av trigonometri til praktiske beregninger.

55 min
17 oppgaver
SinusCosinusTangensPraktiske oppgaverLandmålingHelningsvinkel
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 17 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Trigonometri i praksis

Trigonometri er et verktøy for å beregne ukjente sider og vinkler i trekanter. I praktisk arbeid brukes trigonometri til alt fra å finne høyden på et tre til å beregne helningen på et tak.

I dette kapittelet skal du lære:
- Pytagoras' setning for rettvinklede trekanter
- De trigonometriske forholdene sinus, cosinus og tangens
- Beregne ukjente sider og vinkler
- Løse praktiske problemer med trigonometri

Pytagoras' setning
I en rettvinklet trekant med kateter aa og bb og hypotenus cc gjelder:

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Hypotenusen er den lengste siden i trekanten, og den ligger alltid overfor den rette vinkelen (90°).

Setningen kan brukes til å finne en ukjent side dersom du kjenner de to andre:
- Finne hypotenusen: c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}
- Finne en katet: a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2}

✏️Eksempel: Stige mot vegg

En stige som er 5,0 m lang lener mot en vegg. Foten av stigen står 1,5 m fra veggen. Hvor høyt opp på veggen rekker stigen?

Stigen danner hypotenusen i en rettvinklet trekant. Avstanden fra veggen er en katet, og høyden opp veggen er den andre kateten.

h2+1,52=5,02h^2 + 1{,}5^2 = 5{,}0^2

h2=25−2,25=22,75h^2 = 25 - 2{,}25 = 22{,}75

h=22,75≈4,77 mh = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77 \text{ m}

Svar: Stigen rekker ca. 4,8 m opp på veggen.

📝Oppgave 1

En rettvinklet trekant har kateter på 6 cm og 8 cm. Hvor lang er hypotenusen?

📝Oppgave 2

Diagonalen i et rektangulært rom måler 7,2 m. Rommet er 5,4 m langt. Hvor bredt er rommet?

Trigonometriske forhold
I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel vv definerer vi:

sin⁡v=motsta˚ende katethypotenus\sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}

cos⁡v=hosliggende katethypotenus\cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}

tan⁡v=motsta˚ende katethosliggende katet=sin⁡vcos⁡v\tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} = \frac{\sin v}{\cos v}

Forholdene avhenger bare av vinkelen vv, ikke av hvor stor trekanten er: rettvinklede trekanter med samme spisse vinkel er formlike, og da har sidene samme forhold.

✏️Eksempel: Finne en ukjent side

Et tre kaster en skygge på 15 m langs bakken. Solens vinkel over horisonten er 38°. Hvor høyt er treet?

Vi har vinkelen 38° og den hosliggende kateten (skyggen = 15 m). Vi søker den motstående kateten (trehøyden).

tan⁡38°=h15\tan 38° = \frac{h}{15}

h=15⋅tan⁡38°=15⋅0,7813≈11,7 mh = 15 \cdot \tan 38° = 15 \cdot 0{,}7813 \approx 11{,}7 \text{ m}

Svar: Treet er ca. 11,7 m høyt.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Trigonometri i en rettvinklet trekant

Trekanten har kateter 8 og 6. Vinkelen α\alpha ved origo oppfyller tan⁡α=68\displaystyle \tan \alpha = \frac{6}{8}, som gir α≈36,9°\alpha \approx 36{,}9°. Dra i hjørnene og se hvordan vinkelen endrer seg når forholdet mellom katetene endres.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

t = Polygon((0, 0), (8, 0), (8, 6))
α = Vinkel((8, 0), (0, 0), (8, 6))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)
📝Oppgave 3

En stige er 5 m lang og står med 70° vinkel mot bakken. Hvor høyt opp rekker den?

📝Oppgave 4

Fra et punkt på bakken er det 40 m bort til foten av et tårn. Du måler vinkelen opp til toppen av tårnet til 52°. Øynene dine er 1,7 m over bakken.

a

Bruk tangens til å finne hvor høyt tårnet rager over øyehøyde.

b

Hva er tårnets totale høyde?

📝Oppgave 5

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 13 cm og en vinkel er 22°. Hva er lengden av den motstående kateten?

Beregne ukjente vinkler

Dersom du kjenner to sider i en rettvinklet trekant, kan du bruke de inverse trigonometriske funksjonene til å finne en vinkel:

v=sin⁡−1(motsta˚endehypotenus)v = \sin^{-1}\left(\frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}\right)

v=cos⁡−1(hosliggendehypotenus)v = \cos^{-1}\left(\frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}\right)

v=tan⁡−1(motsta˚endehosliggende)v = \tan^{-1}\left(\frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}\right)

På kalkulatoren bruker du knappene sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1} eller tan⁡−1\tan^{-1}.

✏️Eksempel: Takhelling

Et saltak har en halvbredde på 5,0 m (horisontal avstand fra vegg til møne) og en høyde på 2,5 m fra takfoten til mønet. Hva er helningsvinkelen til taket?

Vi kjenner motstående katet (høyde = 2,5 m) og hosliggende katet (halvbredde = 5,0 m).

tan⁡v=2,55,0=0,5\tan v = \frac{2{,}5}{5{,}0} = 0{,}5

v=tan⁡−1(0,5)≈26,6°v = \tan^{-1}(0{,}5) \approx 26{,}6°

Svar: Helningsvinkelen er ca. 27°.

📝Oppgave 6

En rampe for rullestol er 6,0 m lang og stiger 0,5 m i høyden. Byggteknisk forskrift (TEK17) § 12-16 andre ledd: en rampe skal ha stigning høyst 1:15 (høyst 1:12 på strekninger under 3,0 m).

a

Hvilken vinkel danner rampen med det horisontale planet?

b

Stigning 1:15 betyr at rampen stiger 1 m for hver 15 m vannrett. Finn den største vinkelen kravet tillater, og avgjør om rampen oppfyller kravet.

Løs oppgaven
📝Oppgave 7

En vei har 8 % stigning. Hva er helningsvinkelen?

📝Oppgave 8

Fra toppen av et 25 m høyt fyrtårn ser du en båt med nedsynsvinkel 12°12°. Hvor langt er båten fra foten av fyrtårnet?

📝Oppgave 9

En flaggstang kaster en 12 m lang skygge. Vinkelen mellom bakken og solstrålen (målt mot toppen av flaggstangen) er 54°.

a

Beregn høyden til flaggstangen.

b

Hvor lang er solstrålen fra skyggens tupp til toppen av stangen?

Løs oppgaven
📝Oppgave 10

En sti går rett opp en bakke. Du går 250 m langs stien, og GPS-en viser at du har steget 85 m i høyden.

a

Finn stigningsvinkelen.

b

Hva er den horisontale avstanden du har tilbakelagt?

Løs oppgaven
📝Oppgave 11

Du skal måle bredden av en elv uten å krysse den. Du plasserer deg rett overfor et tre på den andre siden (punkt A). Du går 50 m langs elven til punkt B. Vinkelen fra B til treet (målt fra elvebredden) er 62°.

a

Lag en skisse av situasjonen.

b

Beregn bredden av elven.

c

Forklar hvorfor denne metoden fungerer selv om du ikke kan krysse elven.

Løs oppgaven
📝Oppgave 12

Et tak med helningsvinkel 30° har en takflate som er 8 m lang (skrålengden fra takfot til møne). Hva er den horisontale bredden fra yttervegg til møne?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pytagoras' setning: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 i rettvinklede trekanter
- Sinus: sin⁡v=motsta˚endehypotenus\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}
- Cosinus: cos⁡v=hosliggendehypotenus\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}
- Tangens: tan⁡v=motsta˚endehosliggende\displaystyle \tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}
- Finne ukjente sider ved å bruke de trigonometriske forholdene
- Finne ukjente vinkler med inverse trigonometriske funksjoner
- Bruke trigonometri i praktiske situasjoner som stiger, takhelling, stigning i prosent og landmåling

Viktig fremgangsmåte

1. Tegn en figur og merk av den rette vinkelen.
2. Finn ut hvilke sider du kjenner i forhold til vinkelen.
3. Velg riktig forhold (sin, cos eller tan).
4. Ved siktemålinger: husk å legge til øyehøyden.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.