5.2 Trigonometri i praksis | Matematikk 2P

Bruk av trigonometri til praktiske beregninger.

55 min

14 oppgaver

SinusCosinusTangensPraktiske oppgaverLandmåling

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.3Trigonometri i praksis

Trigonometri i praksis

Trigonometri er et verktøy for å beregne ukjente sider og vinkler i trekanter. I praktisk arbeid brukes trigonometri til alt fra å finne høyden på et tre til å beregne helningen på et tak.

I dette kapittelet skal du lære:
- Pytagoras' setning for rettvinklede trekanter
- De trigonometriske forholdene sinus, cosinus og tangens
- Beregne ukjente sider og vinkler
- Løse praktiske problemer med trigonometri

Pytagoras' setning

a

✏️Eksempel: Stige mot vegg

En stige som er 5,0 m lang lener mot en vegg. Foten av stigen står 1,5 m fra veggen. Hvor høyt opp på veggen rekker stigen?

Løsning:

Stigen danner hypotenusen i en rettvinklet trekant. Avstanden fra veggen er en katet, og høyden opp veggen er den andre kateten.

$h^2 + 1{,}5^2 = 5{,}0^2$

$h^2 = 25 - 2{,}25 = 22{,}75$

$h = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77 \text{ m}$

Svar: Stigen rekker ca. 4,8 m opp på veggen.

📝Oppgave 1

En rettvinklet trekant har kateter på 6 cm og 8 cm. Hvor lang er hypotenusen?

📝Oppgave 2

Diagonalen i et rektangulært rom måler 7,2 m. Rommet er 5,4 m langt. Hvor bredt er rommet?

Trigonometriske forhold

v

✏️Eksempel: Finne en ukjent side

Et tre kaster en skygge på 15 m langs bakken. Solens vinkel over horisonten er 38°. Hvor høyt er treet?

Løsning:

Vi har vinkelen 38° og den hosliggende kateten (skyggen = 15 m). Vi søker den motstående kateten (trehøyden).

$\tan 38° = \frac{h}{15}$

$h = 15 \cdot \tan 38° = 15 \cdot 0{,}7813 \approx 11{,}7 \text{ m}$

Svar: Treet er ca. 11,7 m høyt.

📊Utforsk: Trigonometri i en rettvinklet trekant

Trekanten har kateter 8 og 6. Vinkelen $\alpha$ ved origo oppfyller $\displaystyle \tan \alpha = \frac{6}{8}$ , som gir $\alpha \approx 36{,}9°$ . Dra i hjørnene og se hvordan vinkelen endrer seg når forholdet mellom katetene endres.

📝Oppgave 3

Fra et punkt på bakken er det 40 m bort til foten av et tårn. Du måler vinkelen opp til toppen av tårnet til 52°. Øynene dine er 1,7 m over bakken. a) Bruk tangens til å finne hvor høyt tårnet rager over øyehøyde. b) Hva er tårnets totale høyde?

📝Oppgave 4

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 13 cm og en vinkel er 22°. Hva er lengden av den motstående kateten?

Beregne ukjente vinkler

Dersom du kjenner to sider i en rettvinklet trekant, kan du bruke de inverse trigonometriske funksjonene til å finne en vinkel:

$v = \sin^{-1}\left(\frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}\right)$

$v = \cos^{-1}\left(\frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}\right)$

$v = \tan^{-1}\left(\frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}\right)$

På kalkulatoren bruker du knappene $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ eller $\tan^{-1}$ (noen kalkulatorer skriver arcsin, arccos, arctan).

✏️Eksempel: Takhelling

Et saltak har en halvbredde på 5,0 m (horisontal avstand fra vegg til møne) og en høyde på 2,5 m fra takfoten til mønet. Hva er helningsvinkelen til taket?

Løsning:

Vi kjenner motstående katet (høyde = 2,5 m) og hosliggende katet (halvbredde = 5,0 m).

$\tan v = \frac{2{,}5}{5{,}0} = 0{,}5$

$v = \tan^{-1}(0{,}5) \approx 26{,}6°$

Svar: Helningsvinkelen er ca. 27°.

📝Oppgave 5

En rampe for rullestol er 6,0 m lang og stiger 0,5 m i høyden. a) Hvilken vinkel danner rampen med det horisontale planet? b) Er denne vinkelen under kravet i Norsk Standard (maks 1:20 stigning, dvs. maks ca. 2,86°)?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pytagoras' setning: $a^2 + b^2 = c^2$ i rettvinklede trekanter
- Sinus: $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}$
- Cosinus: $\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}$
- Tangens: $\displaystyle \tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$
- Finne ukjente sider ved å bruke de trigonometriske forholdene
- Finne ukjente vinkler med inverse trigonometriske funksjoner
- Bruke trigonometri i praktiske situasjoner som stiger, takhelling og landmåling

📝Oppgave 6

En flaggstang kaster en 12 m lang skygge. Vinkelen mellom bakken og solstrålen (målt mot toppen av flaggstangen) er 54°. a) Beregn høyden til flaggstangen. b) Hvor lang er solstrålen fra skyggens tupp til toppen av stangen?

📝Oppgave 7

En sti går rett opp en bakke. Du går 250 m langs stien, og GPS-en viser at du har steget 85 m i høyden. a) Finn stigningsvinkelen. b) Hva er den horisontale avstanden du har tilbakelagt?

📝Oppgave 8

Du skal måle bredden av en elv uten å krysse den. Du plasserer deg rett overfor et tre på den andre siden (punkt A). Du går 50 m langs elven til punkt B. Vinkelen fra B til treet (målt fra elvebredden) er 62°. a) Lag en skisse av situasjonen. b) Beregn bredden av elven. c) Forklar hvorfor denne metoden fungerer selv om du ikke kan krysse elven.

📝Oppgave 9

Et tak med helningsvinkel 30° har en takflate som er 8 m lang (skrålengden fra takfot til møne). Hva er den horisontale bredden fra yttervegg til møne?

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.