Tilbake
5.1
Praktisk geometri

5.1 Praktisk geometri

Alle fag for VG2

Areal, volum og overflate i praktiske situasjoner.

50 min
14 oppgaver
ArealVolumOverflateSammensatte figurer
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Praktisk geometri

Geometri handler om former, størrelser og romlige forhold. I hverdagen bruker vi geometri når vi skal male et rom, legge fliser, beregne hvor mye jord vi trenger til en hagebed, eller lese et kart.

I dette kapittelet skal du lære:
- Beregne areal av plane figurer som trekanter, rektangler, sirkler og sammensatte figurer
- Beregne volum og overflate av romfigurer
- Løse praktiske oppgaver med sammensatte figurer
- Bruke formlikhet og målestokk i beregninger

Areal av plane figurer
Areal er et mål på størrelsen av en flate, målt i m2\text{m}^2, cm2\text{cm}^2 osv.

Rektangel:
A=l⋅bA = l \cdot b

Trekant:
A=g⋅h2A = \frac{g \cdot h}{2}

Sirkel:
A=πr2A = \pi r^2

Trapes:
A=a+b2⋅hA = \frac{a + b}{2} \cdot h

der aa og bb er de parallelle sidene og hh er høyden.

Sammensatte figurer: Del figuren i enklere deler, beregn arealet av hver del, og legg sammen (eller trekk fra).

✏️Eksempel: Male en vegg

En vegg er 5,2 m bred og 2,4 m høy. Veggen har et vindu som er 1,2 m bredt og 1,0 m høyt. Hvor mange liter maling trenger du dersom 1 liter dekker 8 m²?

Løsning:

Areal av veggen: Avegg=5,2⋅2,4=12,48 m2A_{\text{vegg}} = 5{,}2 \cdot 2{,}4 = 12{,}48 \text{ m}^2

Areal av vinduet: Avindu=1,2⋅1,0=1,2 m2A_{\text{vindu}} = 1{,}2 \cdot 1{,}0 = 1{,}2 \text{ m}^2

Areal som skal males: A=12,48−1,2=11,28 m2A = 12{,}48 - 1{,}2 = 11{,}28 \text{ m}^2

Antall liter maling: 11,288=1,41\displaystyle \frac{11{,}28}{8} = 1{,}41 liter

Svar: Du trenger ca. 1,5 liter maling (rundet opp).

📊Utforsk: Areal av sammensatt figur

En gavlvegg satt sammen av et rektangel (blått) og en trekant (rødt). Arealet er summen: 6⋅3+6⋅22=18+6=24\displaystyle 6 \cdot 3 + \frac{6 \cdot 2}{2} = 18 + 6 = 24 m². Dra i hjørnene og se hvordan delarealene i algebrafeltet endrer seg.

📝Oppgave 1

Et trapesformet hagebed har parallelle sider på 3 m og 5 m, og høyden er 2 m. Hva er arealet?

📝Oppgave 2

Et rom har form som et rektangel med målene 4,5 m × 3,8 m. I rommet er det en sirkulær søyle med diameter 40 cm. Du skal legge gulvbelegg. a) Beregn arealet av gulvet (ekskl. søylen). b) Gulvbelegget koster 289 kr per m². Hva koster materialet?

Volum av romfigurer
Volum er et mål på størrelsen av et tredimensjonalt objekt, målt i m3\text{m}^3, cm3\text{cm}^3, liter osv.

Prisme (rett):
V=G⋅hV = G \cdot h
der GG er grunnflatearealet og hh er høyden.

Sylinder:
V=πr2⋅hV = \pi r^2 \cdot h

Kjegle:
V=13πr2⋅hV = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h

Kule:
V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3

Pyramide:
V=13G⋅hV = \frac{1}{3} G \cdot h

Omregning: 1 m3=1 0001 \text{ m}^3 = 1\,000 liter. 11 liter =1 000 cm3=1 dm3= 1\,000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ dm}^3.

✏️Eksempel: Vannmengde i et basseng

Et svømmebasseng er 25 m langt, 12,5 m bredt og har en jevn dybde på 1,8 m. Hvor mange liter vann trengs for å fylle bassenget?

Løsning:

Bassenget har form som et rektangulært prisme.

V=l⋅b⋅h=25⋅12,5⋅1,8=562,5 m3V = l \cdot b \cdot h = 25 \cdot 12{,}5 \cdot 1{,}8 = 562{,}5 \text{ m}^3

562,5 m3=562,5⋅1 000=562 500562{,}5 \text{ m}^3 = 562{,}5 \cdot 1\,000 = 562\,500 liter

Svar: Bassenget rommer 562 500 liter (562,5 kubikkmeter).

📝Oppgave 3

En sylinder har radius 5 cm og høyde 20 cm. Hva er volumet?

Overflate av romfigurer
Overflaten av en romfigur er summen av arealene til alle flatene.

Rektangulært prisme (boks):
O=2(lb+lh+bh)O = 2(lb + lh + bh)

Sylinder:
O=2πr2+2πrh=2πr(r+h)O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)

Kule:
O=4πr2O = 4\pi r^2

Kjegle (inkl. bunn):
O=πr2+πrsO = \pi r^2 + \pi r s

der ss er sidelengden (skråhøyden) til kjeglen.

✏️Eksempel: Beregne overflate for maling

En sylindersformet vanntank har radius 0,6 m og høyde 1,5 m. Tanken skal males utvendig (inkludert bunn og topp). Hvor stort areal skal males?

Løsning:

O=2πr(r+h)=2π⋅0,6⋅(0,6+1,5)=2π⋅0,6⋅2,1O = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 0{,}6 \cdot (0{,}6 + 1{,}5) = 2\pi \cdot 0{,}6 \cdot 2{,}1

=2π⋅1,26=2,52π≈7,92 m2= 2\pi \cdot 1{,}26 = 2{,}52\pi \approx 7{,}92 \text{ m}^2

Svar: Det skal males ca. 7,9 m² overflate.

📝Oppgave 4

En iskrem-kjeks har form som en kjegle med radius 3 cm og skråhøyde 12 cm. a) Beregn den buede overflaten (mantelen) til kjeglen. b) Kjeksen er dekket av sjokolade utenpå. Hvor mange cm² sjokolade er det?

Formlikhet og målestokk
To figurer er formlike dersom de har nøyaktig samme form, men kan ha ulik størrelse. Alle tilsvarende vinkler er like, og tilsvarende sider har samme forhold.

Målestokk angir forholdet mellom en avstand på en tegning/kart og den virkelige avstanden:

Ma˚lestokk=Avstand pa˚ kartVirkelig avstand\text{Målestokk} = \frac{\text{Avstand på kart}}{\text{Virkelig avstand}}

Målestokk 1 : 50 000 betyr at 1 cm på kartet tilsvarer 50 000 cm = 500 m i virkeligheten.

Viktige sammenhenger ved formlikhet:
- Lengder skalerer med forholdstallet kk
- Areal skalerer med k2k^2
- Volum skalerer med k3k^3

✏️Eksempel: Målestokk på kart

På et kart med målestokk 1 : 25 000 måler du avstanden mellom to steder til 8,4 cm. Hva er den virkelige avstanden?

Løsning:

Målestokk 1 : 25 000 betyr at 1 cm på kartet = 25 000 cm i virkeligheten.

Virkelig avstand: 8,4⋅25 000=210 0008{,}4 \cdot 25\,000 = 210\,000 cm =2 100= 2\,100 m =2,1= 2{,}1 km

Svar: Den virkelige avstanden er 2,1 km.

📝Oppgave 5

En modellbil er laget i målestokk 1 : 18. Den virkelige bilen er 4,5 m lang. Hvor lang er modellen?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Arealformler for rektangel (l⋅bl \cdot b), trekant (g⋅h2\displaystyle \frac{g \cdot h}{2}), sirkel (πr2\pi r^2) og trapes (a+b2⋅h\displaystyle \frac{a+b}{2} \cdot h)
- Volumformler for prisme (G⋅hG \cdot h), sylinder (πr2h\pi r^2 h), kjegle (13πr2h\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2 h), kule (43πr3\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3) og pyramide (13G⋅h\displaystyle \frac{1}{3}G \cdot h)
- Overflateformler for de vanligste romfigurene
- Hvordan du løser praktiske oppgaver med sammensatte figurer
- Formlikhet og målestokk: Lengder skalerer med kk, areal med k2k^2, volum med k3k^3

📝Oppgave 6

En sandkasse har form som et rektangulært prisme. Den er 2,4 m lang, 1,8 m bred og 0,30 m dyp. a) Hvor mange kubikkmeter sand trengs for å fylle sandkassen? b) Sand selges i sekker på 25 kg. Det er ca. 1 500 kg per m³. Hvor mange sekker trengs?

📝Oppgave 7

Et hustak har form som to like rektangler, hvert med mål 12 m × 5,5 m. Takpannene som brukes dekker 0,25 m² hver. a) Beregn det totale takarealet. b) Hvor mange takpanner trengs? Legg til 10 % for svinn og kapping.

📝Oppgave 8

En arkitekt lager en modell av et bygg i målestokk 1 : 100. I modellen er byggets grunnflate 12 cm × 8 cm og høyden er 15 cm. a) Hva er de virkelige målene til bygget? b) Hvor stort er det virkelige grunnflatearealet? c) Hva er det virkelige volumet? d) Forklar sammenhengen mellom modellen og virkeligheten for lengder, areal og volum.

📝Oppgave 9

En stor og en liten kule er formlike. Den store kulen har 3 ganger så stor radius som den lille. Hvor mange ganger større er volumet til den store kulen?

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.