5.1 Praktisk geometri | Matematikk 2P

Areal, volum og overflate i praktiske situasjoner.

50 min

14 oppgaver

ArealVolumOverflateSammensatte figurer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Praktisk geometri

Geometri handler om former, størrelser og romlige forhold. I hverdagen bruker vi geometri når vi skal male et rom, legge fliser, beregne hvor mye jord vi trenger til et hagebed, eller lese et kart.

I dette kapittelet skal du lære å:
- bruke vinkelsummen og egenskapene til trekanter, firkanter og sirkler
- beregne omkrets og areal av plane figurer og sammensatte figurer
- beregne volum og overflate av romfigurer, også sammensatte
- bruke formlikhet til å finne ukjente lengder
- regne med målestokk begge veier, både ved forminskning og forstørrelse

Vinkler og egenskaper ved figurer

180^\circ

✏️Eksempel: Vinkler i trekant og sekskant

a) En likebeint trekant har toppvinkel $40^\circ$ . Finn vinklene ved grunnlinjen.

b) Finn vinkelsummen i en regulær sekskant og størrelsen på hver vinkel.

2v + 40^\circ = 180^\circ

2v = 140^\circ

v = 70^\circ

Svar: Vinklene ved grunnlinjen er $70^\circ$ hver.

b)
$\text{Vinkelsum} = (6-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$
$\text{Hver vinkel} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$

Regulær sekskant delt i fire trekanter med diagonaler fra ett hjørne. Vinkelsummen er 4 ganger 180 grader, altså 720 grader, og hver vinkel er 120 grader.

Svar: Vinkelsummen er $720^\circ$ , og hver vinkel er $120^\circ$ .

📝Oppgave 1

Finn den ukjente vinkelen.

To av vinklene i en trekant er $52^\circ$ og $71^\circ$ . Hvor stor er den tredje vinkelen?

Grunnlinjevinklene i en likebeint trekant er $72^\circ$ . Hvor stor er toppvinkelen?

Én vinkel i et parallellogram er $65^\circ$ . Hvor store er de tre andre vinklene?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Fire av vinklene i en femkant er $100^\circ$ , $110^\circ$ , $95^\circ$ og $120^\circ$ . Hvor stor er den femte vinkelen?

📝Oppgave 3

Hver vinkel i en regulær mangekant er $140^\circ$ . Hvor mange hjørner har mangekanten?

Omkrets og areal av plane figurer

2\pi r

✏️Eksempel: Male en vegg

En vegg er 5,2 m bred og 2,4 m høy. Veggen har et vindu som er 1,2 m bredt og 1,0 m høyt. Hvor mange liter maling trenger du dersom 1 liter dekker 8 m²?

Areal av veggen: $A_{\text{vegg}} = 5{,}2 \cdot 2{,}4 = 12{,}48 \text{ m}^2$

Areal av vinduet: $A_{\text{vindu}} = 1{,}2 \cdot 1{,}0 = 1{,}2 \text{ m}^2$

Areal som skal males: $A = 12{,}48 - 1{,}2 = 11{,}28 \text{ m}^2$

Antall liter maling: $\displaystyle \frac{11{,}28}{8} = 1{,}41$ liter

Svar: Du trenger ca. 1,5 liter maling (rundet opp).

✏️Eksempel: Gjerde rundt en hage

En hage har form som et rektangel på $12$ m $\times$ $8$ m med en halvsirkel på den ene kortsiden. Diameteren i halvsirkelen er $8$ m. Det skal settes opp gjerde langs hele kanten. Hvor mange meter gjerde trengs?

En hage formet som et rektangel på 12 m ganger 8 m med en halvsirkel med diameter 8 m på den ene kortsiden. Ytterkanten der gjerdet skal stå, er markert.

\text{Rette sider} = 12 + 8 + 12 = 32 \text{ m}

\text{Halvsirkel} = \frac{\pi \cdot 8}{2} = 4\pi \approx 12{,}57 \text{ m}

O = 32 + 12{,}57 = 44{,}57 \text{ m}

Kortsiden der halvsirkelen sitter, er ikke med i omkretsen.

Svar: Det trengs ca. $44{,}6$ m gjerde.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Areal av sammensatt figur

En gavlvegg satt sammen av et rektangel (blått) og en trekant (rødt). Arealet er summen:

\displaystyle 6 \cdot 3 + \frac{6 \cdot 2}{2} = 18 + 6 = 24

m². Dra i hjørnene og se hvordan delarealene i algebrafeltet endrer seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

v = Polygon({(0, 0), (6, 0), (6, 3), (0, 3)})
g = Polygon((0, 3), (6, 3), (3, 5))
SetColor(v, "Blue")
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 4

Et trapesformet hagebed har parallelle sider på 3 m og 5 m, og høyden er 2 m. Hva er arealet?

📝Oppgave 5

Et rom har form som et rektangel med målene 4,5 m × 3,8 m. I rommet er det en sirkulær søyle med diameter 40 cm. Du skal legge gulvbelegg.

Beregn arealet av gulvet (uten søylen).

Gulvbelegget koster 289 kr per m². Hva koster materialet?

📝Oppgave 6

Et rom er $4{,}2$ m langt og $3{,}5$ m bredt. Det skal settes list langs gulvet rundt hele rommet, unntatt i døråpningen, som er $0{,}9$ m bred. Listene selges i lengder på $2{,}4$ m.

Hvor mange meter list trengs?

Hvor mange lengder må kjøpes?

Løs oppgaven

Hvor volumformlene kommer fra

Et rett prisme kan bygges opp av lag som er like store som grunnflaten $G$ . Et lag med tykkelse $1$ har volum $G \cdot 1$ , og det er plass til $h$ slike lag:
$V = G \cdot h$
For en boks er $G = l \cdot b$ , så $V = l \cdot b \cdot h$ . For en sylinder er grunnflaten en sirkel, $G = \pi r^2$ , så $V = \pi r^2 \cdot h$ .

En pyramide eller kjegle rommer en tredjedel av prismet eller sylinderen med samme grunnflate og høyde. Det kan vises ved å fylle vann fra kjeglen over i sylinderen: det går tre kjegler på én sylinder. Volumet av en kule, $\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3$ , brukes som en kjent formel.

Volum av romfigurer

\text{m}^3

✏️Eksempel: Vannmengde i et basseng

Et svømmebasseng er 25 m langt, 12,5 m bredt og har en jevn dybde på 1,8 m. Hvor mange liter vann trengs for å fylle bassenget?

Bassenget har form som et rektangulært prisme.

$V = l \cdot b \cdot h = 25 \cdot 12{,}5 \cdot 1{,}8 = 562{,}5 \text{ m}^3$

$562{,}5 \text{ m}^3 = 562{,}5 \cdot 1\,000 = 562\,500$ liter

Svar: Bassenget rommer 562 500 liter (562,5 kubikkmeter).

📝Oppgave 7

En sylinder har radius 5 cm og høyde 20 cm. Hva er volumet?

✏️Eksempel: Sammensatt romfigur

En silo har form som en sylinder med en halvkule på toppen. Sylinderen har radius $3$ m og høyde $10$ m, og halvkulen har samme radius. Finn volumet av siloen.

En silo formet som en sylinder med radius 3 m og høyde 10 m, med en halvkule med radius 3 m på toppen.

V_{\text{sylinder}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi

V_{\text{halvkule}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = 18\pi

V = 90\pi + 18\pi = 108\pi \approx 339{,}3 \text{ m}^3

Svar: Siloen rommer ca. $339$ m³.

Overflate som utbrettet flate

Overflaten finner vi ved å brette ut romfiguren til en plan figur og legge sammen arealene.

- En boks gir tre par like rektangler: $O = 2lb + 2lh + 2bh$ .
- En sylinder gir to sirkler og ett rektangel. Rektangelet har den ene siden lik omkretsen av sirkelen, $2\pi r$ , og den andre lik høyden $h$ : $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ .

Overflate av romfigurer

O = 2(lb + lh + bh)

✏️Eksempel: Beregne overflate for maling

En sylinderformet vanntank har radius 0,6 m og høyde 1,5 m. Tanken skal males utvendig (inkludert bunn og topp). Hvor stort areal skal males?

O = 2\pi r(r + h)

$O = 2\pi \cdot 0{,}6 \cdot (0{,}6 + 1{,}5) = 2{,}52\pi$

$O \approx 7{,}917 \approx 7{,}9 \text{ m}^2$

Kontroll med de utbrettede delene:

$2 \cdot \pi \cdot 0{,}6^2 + 2\pi \cdot 0{,}6 \cdot 1{,}5 \approx 2{,}262 + 5{,}655 = 7{,}917$

Avrund først til slutt — med avrundede ledd ( $2 \cdot 1{,}13 + 5{,}65$ ) blir summen $7{,}91$ .

Svar: Det skal males ca. 7,9 m² overflate.

📝Oppgave 8

En iskremkjeks har form som en kjegle med radius 3 cm og skråhøyde 12 cm.

Beregn den buede overflaten (mantelen) til kjeglen.

Kjeksen er dekket av sjokolade utenpå. Hvor mange cm² sjokolade er det?

Formlikhet

180^\circ

✏️Eksempel: Formlike trekanter

I trekant $ABC$ ligger punktet $D$ på $AB$ og punktet $E$ på $AC$ , slik at $DE$ er parallell med $BC$ . Vi vet at $AD = 4{,}0$ cm, $AB = 10{,}0$ cm og $DE = 3{,}0$ cm.

Trekant ABC med linjestykket DE parallelt med BC. AD er 4,0 cm, AB er 10,0 cm og DE er 3,0 cm. Lengden BC er ukjent.

a) Begrunn at trekant $ADE$ og trekant $ABC$ er formlike.

b) Finn lengden av $BC$ .

\angle A

er felles for begge trekantene.

$\angle ADE = \angle ABC$ fordi $DE$ er parallell med $BC$ (samsvarende vinkler).

To vinkler er like, så trekantene er formlike.

b)
$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD}$
$\frac{BC}{3{,}0} = \frac{10{,}0}{4{,}0}$
$BC = \frac{3{,}0 \cdot 10{,}0}{4{,}0} = 7{,}5$

Svar: $BC = 7{,}5$ cm.

✏️Eksempel: Høyden av et tre

En person som er $1{,}8$ m høy, kaster en skygge på $2{,}4$ m. Samtidig er skyggen av et tre $14$ m lang. Hvor høyt er treet?

En person på 1,8 m med en skygge på 2,4 m, og et tre med ukjent høyde h og en skygge på 14 m. Solstrålene er parallelle, så de to trekantene er formlike.

Personen og treet står loddrett, og solstrålene faller inn med samme vinkel. Trekantene person–skygge og tre–skygge er derfor formlike.

$\frac{h}{1{,}8} = \frac{14}{2{,}4}$
$h = \frac{1{,}8 \cdot 14}{2{,}4} = 10{,}5$

Svar: Treet er $10{,}5$ m høyt.

📝Oppgave 9

En trekant har sider $3$ cm, $4$ cm og $5$ cm. En formlik trekant har korteste side $7{,}5$ cm. Finn de to andre sidene i den store trekanten.

📝Oppgave 10

En meterstokk på $1{,}0$ m holdes loddrett og kaster en skygge på $0{,}8$ m. Samtidig kaster en flaggstang en skygge på $7{,}2$ m. Hvor høy er flaggstangen?

📝Oppgave 11

I trekant $PQR$ ligger $S$ på $PQ$ og $T$ på $PR$ , slik at $ST$ er parallell med $QR$ . Vi vet at $PS = 6$ m, $SQ = 3$ m og $ST = 8$ m.

Trekant PQR med linjestykket ST parallelt med QR. PS er 6 m, SQ er 3 m og ST er 8 m. QR er ukjent.

Begrunn at trekant $PST$ og trekant $PQR$ er formlike.

Finn lengden av $QR$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

To trekanter er formlike. Den minste har areal $16$ cm², og én av sidene er $5$ cm. Den største har areal $64$ cm².

Finn forholdstallet $k$ mellom trekantene.

Hvor lang er den tilsvarende siden i den største trekanten?

Løs oppgaven

Målestokk

\text{Målestokk} = \text{lengde på tegning} : \text{lengde i virkeligheten}

✏️Eksempel: Målestokk på kart

På et kart med målestokk 1 : 25 000 måler du avstanden mellom to steder til 8,4 cm. Hva er den virkelige avstanden?

Målestokk 1 : 25 000 betyr at 1 cm på kartet = 25 000 cm i virkeligheten.

Virkelig avstand: $8{,}4 \cdot 25\,000 = 210\,000$ cm $= 2\,100$ m $= 2{,}1$ km

Svar: Den virkelige avstanden er 2,1 km.

✏️Eksempel: Fra virkelighet til kart

En skiløype er $3{,}6$ km lang. Hvor lang blir den på et kart i målestokk $1 : 50\,000$ ?

3{,}6 \text{ km} = 360\,000 \text{ cm}

\frac{360\,000}{50\,000} = 7{,}2

Svar: Løypa blir $7{,}2$ cm på kartet.

✏️Eksempel: Forstørrelse

a) En bille er $1{,}4$ cm lang. Hvor lang blir den på en tegning i målestokk $5 : 1$ ?

b) På en annen tegning er en skrue $5{,}0$ cm lang. I virkeligheten er skruen $2{,}0$ mm lang. Finn målestokken.

1{,}4 \cdot 5 = 7{,}0

Svar: Billen blir $7{,}0$ cm lang på tegningen.

b)
$5{,}0 \text{ cm} = 50 \text{ mm}$
$50 : 2{,}0 = 25 : 1$

Svar: Målestokken er $25 : 1$ .

📝Oppgave 13

En modellbil er laget i målestokk 1 : 18. Den virkelige bilen er 4,5 m lang. Hvor lang er modellen?

📝Oppgave 14

Finn målestokken.

På et kart er $2$ cm det samme som $300$ m i terrenget.

En modell av en båt er $45$ cm lang. Den virkelige båten er $9$ m lang.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Vinkelsum: $180^\circ$ i en trekant, $(n-2) \cdot 180^\circ$ i en mangekant med $n$ hjørner, og egenskapene til likebeinte og likesidede trekanter, parallellogram, rombe, trapes og sirkel
- Omkrets som summen av sidene, og $2\pi r$ for en sirkel
- Arealformler for rektangel ( $l \cdot b$ ), trekant ( $\displaystyle \frac{g \cdot h}{2}$ ), sirkel ( $\pi r^2$ ) og trapes ( $\displaystyle \frac{a+b}{2} \cdot h$ )
- Volumformler for prisme ( $G \cdot h$ ), sylinder ( $\pi r^2 h$ ), kjegle ( $\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2 h$ ), kule ( $\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3$ ) og pyramide ( $\displaystyle \frac{1}{3}G \cdot h$ )
- Overflate som summen av arealene til alle sideflatene
- Formlikhet: to like vinkler gir formlike trekanter; tilsvarende sider har samme forhold $k$ . Lengder skalerer med $k$ , areal med $k^2$ , volum med $k^3$
- Målestokk: ved $1 : n$ ganger vi med $n$ fra kart til virkelighet og deler fra virkelighet til kart; ved forstørrelse $n : 1$ er det omvendt

📝Oppgave 15

En sandkasse har form som et rektangulært prisme. Den er 2,4 m lang, 1,8 m bred og 0,30 m dyp.

Hvor mange kubikkmeter sand trengs for å fylle sandkassen?

Sand selges i sekker på 25 kg. Det er ca. 1 500 kg sand per m³. Hvor mange sekker trengs?

Løs oppgaven

📝Oppgave 16

Et hustak har form som to like rektangler, hvert med mål 12 m × 5,5 m. Takpannene som brukes, dekker 0,25 m² hver.

Beregn det totale takarealet.

Hvor mange takpanner trengs? Legg til 10 % for svinn og kapping.

Løs oppgaven

📝Oppgave 17

En arkitekt lager en modell av et bygg i målestokk 1 : 100. I modellen er byggets grunnflate 12 cm × 8 cm, og høyden er 15 cm.

Hva er de virkelige målene til bygget?

Hvor stort er det virkelige grunnflatearealet?

Hva er det virkelige volumet?

Forklar sammenhengen mellom modellen og virkeligheten for lengder, areal og volum.

Løs oppgaven

📝Oppgave 18

En stor og en liten kule er formlike. Den store kulen har 3 ganger så stor radius som den lille. Hvor mange ganger større er volumet til den store kulen?

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.