6.3 Trigonometri i praksis

Fra rotete data til ren formel

Kioskeieren ved stranda har et regneark fullt av tall: temperatur og issalg, dag for dag, en hel sommer. Tallene spriker – noen dager solgte hun mye, andre lite – men når hun plotter dem, aner hun et mønster. Tenk om hun kunne fange mønsteret i en formel og bruke den til å planlegge innkjøpene?

Det er nøyaktig hva modellering med regresjon gjør: et digitalt verktøy finner den matematiske funksjonen som best beskriver dataene dine. Men verktøyet stiller ett krav tilbake til deg: du må velge hvilken type funksjon som passer – en rett linje, en bue eller en eksplosiv vekstkurve – og du må vite når modellen kan brukes, og når den lyver. Den dømmekraften skal vi bygge opp i denne fortellingen.

Maskinen finner linjen – og gir den karakter

Når kioskeieren mater dataene inn i GeoGebra og ber om lineær regresjon, leter programmet etter linjen $y = ax + b$ som samlet sett ligger nærmest alle punktene. For issalget får hun kanskje modellen $y = 7x - 67$, der $x$ er temperaturen og $y$ er antall solgte is. Stigningstallet $7$ betyr at hun i snitt selger $7$ flere is per grad varmere.

Men hvor god er modellen? Det svarer forklaringsgraden $R^2$ på – et tall mellom $0$ og $1$ som verktøyet alltid leverer sammen med modellen. Tolkningen er konkret: $R^2 = 0{,}99$ betyr at modellen forklarer $99\,\%$ av variasjonen i dataene, en nesten perfekt tilpasning. $R^2 = 0{,}42$ betyr at modellen bare forklarer $42\,\%$ – da ligger punktene spredt langt fra linjen, og modellen er upålitelig. Tommelfingerregelen: over $0{,}9$ er svært godt, under $0{,}5$ er dårlig.

Med $R^2 = 0{,}99$ tør kioskeieren bruke modellen. Værmeldingen lover $22$ grader i morgen, og modellen anslår $y = 7 \cdot 22 - 67 = 154 - 67 = 87$ is. Hun legger $90$ is i fryseren og føler seg trygg.

Merk hva $R^2$ ikke sier: at modellen er «99 % riktig», eller at 99 % av punktene ligger på linjen. Det er andelen av variasjonen som modellen fanger opp – verken mer eller mindre. Og som vi snart skal se, kan selv en modell med skyhøy $R^2$ gå fullstendig i baret utenfor sitt eget område.

Linje, bue eller eksplosjon – kunsten å velge modell

Ikke alt i verden vokser langs en rett linje. Regresjonsverktøyene tilbyr derfor flere modelltyper, og de tre viktigste er lineær ($y = ax + b$), kvadratisk ($y = ax^2 + bx + c$) og eksponentiell ($y = a \cdot b^x$).

Hvordan velger du? Se på mønsteret i dataene. Øker $y$-verdiene med et fast antall for hvert steg, er veksten lineær. Øker de med en fast prosent – slik at verdiene dobles eller tredobles med jevne mellomrom – er veksten eksponentiell. Stiger dataene først og synker etterpå (eller omvendt), som en ball i lufta, peker det mot en kvadratisk modell. Hører du «populasjonen dobles hvert femte år», skal alarmen ringe: dobling med jevne mellomrom er eksponentialfunksjonens signatur.

Ta en bakteriekoloni som vokser etter modellen $y = 100 \cdot 1{,}3^x$, der $x$ er tiden i timer. Startverdien er $100$ bakterier, og vekstfaktoren $1{,}3$ betyr $30\,\%$ vekst per time. Etter $5$ timer gir modellen $y = 100 \cdot 1{,}3^5 \approx 371$ bakterier. Prøv å beskrive den veksten med en rett linje – den vil bomme grovt i begge ender, og $R^2$ vil avsløre det.

Verktøyet regner altså ut modellen, men du velger modelltype – og det valget bør bygge på både mønsteret i tallene og forståelsen av situasjonen. Vokser noe med fast prosent? Velg eksponentiell. Jevn økning i antall? Lineær. La aldri maskinen velge for deg i blinde.

Når modellen lyver – grensene for ekstrapolering

Tilbake til kioskeieren og hennes nesten perfekte modell $y = 7x - 67$ med $R^2 = 0{,}99$. En kjølig vårdag viser gradestokken $5$ grader, og hun taster inn: $y = 7 \cdot 5 - 67 = -32$. Modellen spår at hun selger minus trettito is. Skal kundene levere is tilbake?

Selvsagt ikke – modellen har brutt sammen. Dataene hennes kom fra sommerdager mellom $15$ og $30$ grader, og innenfor det området er modellen utmerket. Men ved $5$ grader er hun langt utenfor dataområdet, og der finnes ingen garanti for at mønsteret holder. Å bruke modellen innenfor dataområdet kalles interpolasjon og er som regel trygt; å bruke den utenfor kalles ekstrapolasjon og blir mer og mer usikkert jo lenger ut du går – til svarene blir direkte meningsløse, som negativt issalg.

Det viktige er at $R^2$ ikke redder deg her. Forklaringsgraden måler bare hvor godt modellen passer de dataene den ble laget av – den sier ingenting om verden utenfor. En modell med $R^2 = 0{,}99$ kan være katastrofalt feil ti grader unna sitt eget område.

Derfor avsluttes all god modellering med det samme spørsmålet: Er svaret rimelig? En modell er en forenkling av virkeligheten, gyldig innenfor et begrenset område. Bruk den der den hører hjemme, vær ydmyk utenfor – og stol mer på sunn fornuft enn på desimalene fra regresjonsverktøyet.

Oppsummering

Kioskeierens regneark viste veien gjennom hele modelleringsprosessen. Regresjon lar et digitalt verktøy finne funksjonen som passer best til et datasett, og forklaringsgraden $R^2$ gir modellen karakter: nær $1$ er svært godt, under $0{,}5$ er dårlig – men husk at $R^2$ måler andelen av variasjonen som forklares, ikke at modellen er «riktig».

Valget av modelltype er ditt: konstant økning i antall peker mot en lineær modell $y = ax + b$, vekst med fast prosent – som bakteriene med vekstfaktor $1{,}3$ – peker mot en eksponentiell modell $y = a \cdot b^x$, og data som snur, mot en kvadratisk. Og uansett hvor høy $R^2$ er, gjelder modellen bare innenfor sitt dataområde: interpolasjon er trygt, ekstrapolasjon er risikabelt, og minus trettito solgte is er en umulighet uansett hvor fin formelen ser ut. Det siste ordet har alltid rimelighetssjekken din.