6.4 Vektorer i planet

Kartet er ikke terrenget

Tenk deg at du har laget en modell for strømforbruket hjemme: $y = -0{,}5x + 30$, der $x$ er utetemperaturen i grader og $y$ er forbruket i kWh. Modellen passer fint med målingene dine fra vinteren. Men en varm sommerdag setter du inn $x = 70$ – og modellen påstår at forbruket blir negativt. Huset ditt produserer altså strøm når det er varmt nok? Neppe.

En matematisk modell er alltid en forenkling av virkeligheten. Den bygger på antakelser som kan være mer eller mindre realistiske, og den er laget ut fra data fra et begrenset område. Noen modeller er svært nyttige – men ingen er perfekte. Derfor er en av de viktigste ferdighetene i matematikk ikke å lage modeller, men å vurdere dem kritisk: Når kan vi stole på modellen, og når lurer den oss?

I denne fortellingen skal vi se på tre verktøy for kritisk vurdering: gyldighetsområde, residualer og modellvalg – og til slutt den klassiske fellen som heter «korrelasjon er ikke årsak».

Gyldighetsområdet – hvor langt rekker modellen?

La oss vende tilbake til strømmodellen $y = -0{,}5x + 30$. Den er laget ut fra målinger gjort mellom kanskje $0$ og $25$ grader. Innenfor dette området – der vi faktisk har data – sier vi at vi interpolerer, og der er modellen mest pålitelig. Går vi utenfor dataområdet, ekstrapolerer vi, og da kan det gå riktig galt: for $x > 60$ gir modellen negativt forbruk, noe som er fysisk umulig. Gyldighetsområdet er intervallet der modellen gir fornuftige resultater.

Det samme gjelder når flere modeller konkurrerer. Tenk deg en by med 10 000 innbyggere i 2010 og 12 500 i 2020. En lineær modell sier $f(x) = 250x + 10\,000$, der $x$ er år etter 2010. En eksponentiell modell sier $g(x) = 10\,000 \cdot 1{,}0225^x$. Begge passer perfekt med de to datapunktene vi har! For 2030, altså $x = 20$, gir den lineære $f(20) = 250 \cdot 20 + 10\,000 = 15\,000$ innbyggere, mens den eksponentielle gir $g(20) = 10\,000 \cdot 1{,}0225^{20} \approx 15\,620$. Forskjellen er bare 620 nå – men jo lenger fram vi spår, desto mer spriker de. Med bare to datapunkter kan vi ikke avgjøre hvilken som er best; vi trenger mer data.

Derfor bør du alltid spørre: Hvilke antakelser bygger modellen på? Er det rimelig at veksten fortsetter likt i all framtid, eller finnes det begrensninger – plass, ressurser, metning? En husleiemodell som $y = 850x + 3\,000$ kr per måned for en leilighet på $x$ kvadratmeter har for eksempel flere svakheter: den tar ikke hensyn til beliggenhet, den gir 3 000 kr for en leilighet på null kvadratmeter, og den er neppe gyldig utenfor området dataene kommer fra.

Residualer og kunsten å velge enkelt

Hvordan måler vi egentlig hvor godt en modell passer? Vi sammenlikner modellens verdier med de observerte dataene. Forskjellen mellom en observert verdi $y_i$ og modellens verdi $\hat{y}_i$ kalles en residual: $e_i = y_i - \hat{y}_i$. Residualene er rett og slett modellens bomskudd – noen ganger bommer den litt over, andre ganger litt under.

Her kommer et viktig prinsipp: Residualene bør være tilfeldig spredt. Hvis de viser et systematisk mønster – for eksempel at modellen alltid bommer over for små $x$ og under for store $x$ – betyr det at modellen systematisk bommer, og at en annen modelltype trolig passer bedre. Tilfeldig spredte avvik er greit; mønster i avvikene er et varselsignal.

Men hva om to modeller begge passer godt? Tenk deg at en lineær modell har forklaringsgrad $R^2 = 0{,}91$, mens en kvadratisk modell har $R^2 = 0{,}93$. Den kvadratiske vinner så vidt på tallet – men forskjellen er liten, og da sier et gammelt prinsipp i vitenskapen at vi bør velge den enkleste modellen. Dette kalles parsimoni. En mer kompleks modell kan nemlig bli «overtilpasset»: den følger tilfeldige svingninger i akkurat dette datasettet i stedet for det egentlige mønsteret, og treffer derfor dårligere på nye data.

Oppskriften for å vurdere en modell blir altså: Sjekk antakelsene, sjekk gyldighetsområdet, sammenlikn med observerte data – og velg den enkleste modellen som gjør jobben.

Iskrem og drukningsulykker

Til slutt skal vi se på den kanskje vanligste tabben i all bruk av statistikk. Her er et klassisk eksempel: Når issalget øker, øker også antallet drukningsulykker. Tallene følger hverandre tett, år etter år. Betyr det at iskrem forårsaker drukning – at vi bør forby softis ved badestrender?

Selvsagt ikke. Begge størrelsene påvirkes av en tredje, bakenforliggende faktor: varmt vær. Når sola steker, kjøper folk mer is og flere bader – og dermed drukner dessverre også flere. Dette er kjernen i prinsippet korrelasjon er ikke årsak: At to størrelser følger hverandre, betyr ikke at den ene forårsaker den andre.

Et annet eksempel: I store byer finner man en sterk samvariasjon mellom antall brannstasjoner og antall forbrytelser. Forårsaker brannstasjoner kriminalitet? Nei – større byer har flere innbyggere, og dermed både flere brannstasjoner og mer kriminalitet. Befolkningsstørrelsen er den bakenforliggende faktoren.

Dette betyr at selv en modell som passer dataene perfekt, ikke beviser at den ene variabelen styrer den andre. En god regresjonsmodell viser samvariasjon – årsakssammenheng krever mer: kontrollerte forsøk eller god faglig begrunnelse. Neste gang du leser en overskrift som «Forskere finner sammenheng mellom X og Y», vet du hvilket spørsmål du skal stille: Kan det finnes en tredje faktor som påvirker begge?

Den kritiske blikkets verktøykasse

Vi startet med en strømmodell som påsto at huset produserer strøm i varmen, og endte med iskrem som «forårsaker» drukning. Underveis har du fått verktøyene som skiller naiv modellbruk fra kritisk vurdering.

Husk at en modell alltid er en forenkling av virkeligheten, bygget på antakelser som kan diskuteres. Sjekk alltid gyldighetsområdet: innenfor dataområdet (interpolasjon) er modellen mest pålitelig, utenfor (ekstrapolasjon) kan den gi meningsløse svar. Sammenlikn modellen med observerte data – residualene $e_i = y_i - \hat{y}_i$ skal være tilfeldig spredt, for mønster i avvikene betyr at modellen systematisk bommer. Når to modeller passer omtrent like godt, velger du den enkleste, slik at du unngår overtilpasning. Og fremfor alt: korrelasjon er ikke årsak – at to størrelser følger hverandre, kan skyldes en bakenforliggende faktor som påvirker begge.

Når du møter en modell eller en statistisk påstand, har du nå en sjekkliste: Hvilke antakelser bygger den på? Hvilket område gjelder den for? Hvor godt stemmer den med data? Og gir den rimelige svar på lang sikt? Den som stiller disse spørsmålene, lar seg ikke lure – verken av reklame, overskrifter eller sine egne regnestykker.