5.1 Praktisk geometri | Matematikk 2P

Areal, volum og overflate i praktiske situasjonar.

50 min

14 oppgaver

ArealVolumOverflateSamansette figurar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Praktisk geometri

Geometri handlar om former, storleikar og romlege forhold. I kvardagen bruker vi geometri når vi skal måle eit rom, leggje fliser, rekne ut kor mykje jord vi treng til eit hagebed, eller lese eit kart.

I dette kapittelet skal du lære å:
- bruke vinkelsummen og eigenskapane til trekantar, firkantar og sirklar
- rekne ut omkrins og areal av plane figurar og samansette figurar
- rekne ut volum og overflate av romfigurar, også samansette
- bruke formlikskap til å finne ukjende lengder
- rekne med målestokk begge vegar, både ved forminsking og forstørring

Vinklar og eigenskapar ved figurar

180^\circ

✏️Døme: Vinklar i trekant og sekskant

a) Ein likebeint trekant har toppvinkel $40^\circ$ . Finn vinklane ved grunnlinja.

b) Finn vinkelsummen i ein regulær sekskant og storleiken på kvar vinkel.

2v + 40^\circ = 180^\circ

2v = 140^\circ

v = 70^\circ

Svar: Vinklane ved grunnlinja er $70^\circ$ kvar.

b)
$\text{Vinkelsum} = (6-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$
$\text{Kvar vinkel} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$

Regulær sekskant delt i fire trekantar med diagonalar frå eitt hjørne. Vinkelsummen er 4 gonger 180 grader, altså 720 grader, og kvar vinkel er 120 grader.

Svar: Vinkelsummen er $720^\circ$ , og kvar vinkel er $120^\circ$ .

📝Oppgave 1

Finn den ukjende vinkelen.

To av vinklane i ein trekant er $52^\circ$ og $71^\circ$ . Kor stor er den tredje vinkelen?

Grunnlinjevinklane i ein likebeint trekant er $72^\circ$ . Kor stor er toppvinkelen?

Éin vinkel i eit parallellogram er $65^\circ$ . Kor store er dei tre andre vinklane?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Fire av vinklane i ein femkant er $100^\circ$ , $110^\circ$ , $95^\circ$ og $120^\circ$ . Kor stor er den femte vinkelen?

📝Oppgave 3

Kvar vinkel i ein regulær mangekant er $140^\circ$ . Kor mange hjørne har mangekanten?

Omkrins og areal av plane figurar

2\pi r

✏️Eksempel: Måle ein vegg

Ein vegg er 5,2 m brei og 2,4 m høg. Veggen har eit vindauge som er 1,2 m breitt og 1,0 m høgt. Kor mange liter måling treng du dersom 1 liter dekkjer 8 m²?

Areal av veggen: $A_{\text{vegg}} = 5{,}2 \cdot 2{,}4 = 12{,}48 \text{ m}^2$

Areal av vindauget: $A_{\text{vindu}} = 1{,}2 \cdot 1{,}0 = 1{,}2 \text{ m}^2$

Areal som skal målast: $A = 12{,}48 - 1{,}2 = 11{,}28 \text{ m}^2$

Tal liter måling: $\displaystyle \frac{11{,}28}{8} = 1{,}41$ liter

Svar: Du treng ca. 1,5 liter måling (runda opp).

✏️Døme: Gjerde rundt ein hage

Ein hage har form som eit rektangel på $12$ m $\times$ $8$ m med ein halvsirkel på den eine kortsida. Diameteren i halvsirkelen er $8$ m. Det skal setjast opp gjerde langs heile kanten. Kor mange meter gjerde trengst?

Ein hage forma som eit rektangel på 12 m gonger 8 m med ein halvsirkel med diameter 8 m på den eine kortsida. Ytterkanten der gjerdet skal stå, er markert.

\text{Rette sider} = 12 + 8 + 12 = 32 \text{ m}

\text{Halvsirkel} = \frac{\pi \cdot 8}{2} = 4\pi \approx 12{,}57 \text{ m}

O = 32 + 12{,}57 = 44{,}57 \text{ m}

Kortsida der halvsirkelen sit, er ikkje med i omkrinsen.

Svar: Det trengst ca. $44{,}6$ m gjerde.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Areal av samansett figur

Ein gavlvegg sett saman av eit rektangel (blått) og ein trekant (raudt). Arealet er summen:

\displaystyle 6 \cdot 3 + \frac{6 \cdot 2}{2} = 18 + 6 = 24

m². Dra i hjørna og sjå korleis delareala i algebrafeltet endrar seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

v = Polygon({(0, 0), (6, 0), (6, 3), (0, 3)})
g = Polygon((0, 3), (6, 3), (3, 5))
SetColor(v, "Blue")
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 4

Eit trapesforma hagebed har parallelle sider på 3 m og 5 m, og høgda er 2 m. Kva er arealet?

📝Oppgave 5

Eit rom har form som eit rektangel med måla 4,5 m × 3,8 m. I rommet er det ei sirkulær søyle med diameter 40 cm. Du skal leggje golvbelegg.

Rekn ut arealet av golvet (utan søyla).

Golvbelegget kostar 289 kr per m². Kva kostar materialet?

📝Oppgave 6

Eit rom er $4{,}2$ m langt og $3{,}5$ m breitt. Det skal setjast list langs golvet rundt heile rommet, unnateke i døropninga, som er $0{,}9$ m brei. Listene blir selde i lengder på $2{,}4$ m.

Kor mange meter list trengst?

Kor mange lengder må kjøpast?

Løs oppgaven

Kvar volumformlane kjem frå

Eit rett prisme kan byggjast opp av lag som er like store som grunnflata $G$ . Eit lag med tjukkleik $1$ har volum $G \cdot 1$ , og det er plass til $h$ slike lag:
$V = G \cdot h$
For ein boks er $G = l \cdot b$ , så $V = l \cdot b \cdot h$ . For ein sylinder er grunnflata ein sirkel, $G = \pi r^2$ , så $V = \pi r^2 \cdot h$ .

Ein pyramide eller kjegle rommar ein tredjedel av prismet eller sylinderen med same grunnflate og høgd. Det kan visast ved å fylle vatn frå kjegla over i sylinderen: det går tre kjegler på éin sylinder. Volumet av ei kule, $\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3$ , blir brukt som ein kjend formel.

Volum av romfigurar

\text{m}^3

✏️Eksempel: Vassmengd i eit basseng

Eit symjebasseng er 25 m langt, 12,5 m breitt og har ei jamn djupn på 1,8 m. Kor mange liter vatn trengst for å fylle bassenget?

Bassenget har form som eit rektangulært prisme.

$V = l \cdot b \cdot h = 25 \cdot 12{,}5 \cdot 1{,}8 = 562{,}5 \text{ m}^3$

$562{,}5 \text{ m}^3 = 562{,}5 \cdot 1\,000 = 562\,500$ liter

Svar: Bassenget rommar 562 500 liter (562,5 kubikkmeter).

📝Oppgave 7

Ein sylinder har radius 5 cm og høgde 20 cm. Kva er volumet?

✏️Døme: Samansett romfigur

Ein silo har form som ein sylinder med ei halvkule på toppen. Sylinderen har radius $3$ m og høgd $10$ m, og halvkula har same radius. Finn volumet av siloen.

Ein silo forma som ein sylinder med radius 3 m og høgd 10 m, med ei halvkule med radius 3 m på toppen.

V_{\text{sylinder}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi

V_{\text{halvkule}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = 18\pi

V = 90\pi + 18\pi = 108\pi \approx 339{,}3 \text{ m}^3

Svar: Siloen rommar ca. $339$ m³.

Overflate som utbretta flate

Overflata finn vi ved å brette ut romfiguren til ein plan figur og leggje saman areala.

- Ein boks gir tre par like rektangel: $O = 2lb + 2lh + 2bh$ .
- Ein sylinder gir to sirklar og eitt rektangel. Rektangelet har den eine sida lik omkrinsen av sirkelen, $2\pi r$ , og den andre lik høgda $h$ : $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ .

Overflate av romfigurar

O = 2(lb + lh + bh)

✏️Eksempel: Rekne ut overflate for måling

Ein sylinderforma vasstank har radius 0,6 m og høgde 1,5 m. Tanken skal målast utvendig (inkludert botn og topp). Kor stort areal skal målast?

O = 2\pi r(r + h)

$O = 2\pi \cdot 0{,}6 \cdot (0{,}6 + 1{,}5) = 2{,}52\pi$

$O \approx 7{,}917 \approx 7{,}9 \text{ m}^2$

Kontroll med dei utbretta delane:

$2 \cdot \pi \cdot 0{,}6^2 + 2\pi \cdot 0{,}6 \cdot 1{,}5 \approx 2{,}262 + 5{,}655 = 7{,}917$

Rund av først til slutt — med avrunda ledd ( $2 \cdot 1{,}13 + 5{,}65$ ) blir summen $7{,}91$ .

Svar: Det skal målast ca. 7,9 m² overflate.

📝Oppgave 8

Ein iskremkjeks har form som ei kjegle med radius 3 cm og skråhøgd 12 cm.

Rekn ut den bøygde overflata (mantelen) til kjegla.

Kjeksen er dekt av sjokolade utanpå. Kor mange cm² sjokolade er det?

Formlikskap

180^\circ

✏️Døme: Formlike trekantar

I trekant $ABC$ ligg punktet $D$ på $AB$ og punktet $E$ på $AC$ , slik at $DE$ er parallell med $BC$ . Vi veit at $AD = 4{,}0$ cm, $AB = 10{,}0$ cm og $DE = 3{,}0$ cm.

Trekant ABC med linjestykket DE parallelt med BC. AD er 4,0 cm, AB er 10,0 cm og DE er 3,0 cm. Lengda BC er ukjend.

a) Grunngi at trekant $ADE$ og trekant $ABC$ er formlike.

b) Finn lengda av $BC$ .

\angle A

er felles for begge trekantane.

$\angle ADE = \angle ABC$ fordi $DE$ er parallell med $BC$ (samsvarande vinklar).

To vinklar er like, så trekantane er formlike.

b)
$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD}$
$\frac{BC}{3{,}0} = \frac{10{,}0}{4{,}0}$
$BC = \frac{3{,}0 \cdot 10{,}0}{4{,}0} = 7{,}5$

Svar: $BC = 7{,}5$ cm.

✏️Døme: Høgda av eit tre

Ein person som er $1{,}8$ m høg, kastar ein skugge på $2{,}4$ m. Samtidig er skuggen av eit tre $14$ m lang. Kor høgt er treet?

Ein person på 1,8 m med ein skugge på 2,4 m, og eit tre med ukjend høgd h og ein skugge på 14 m. Solstrålane er parallelle, så dei to trekantane er formlike.

Personen og treet står loddrett, og solstrålane fell inn med same vinkel. Trekantane person–skugge og tre–skugge er difor formlike.

$\frac{h}{1{,}8} = \frac{14}{2{,}4}$
$h = \frac{1{,}8 \cdot 14}{2{,}4} = 10{,}5$

Svar: Treet er $10{,}5$ m høgt.

📝Oppgave 9

Ein trekant har sider $3$ cm, $4$ cm og $5$ cm. Ein formlik trekant har kortaste side $7{,}5$ cm. Finn dei to andre sidene i den store trekanten.

📝Oppgave 10

Ein meterstokk på $1{,}0$ m blir halden loddrett og kastar ein skugge på $0{,}8$ m. Samtidig kastar ei flaggstong ein skugge på $7{,}2$ m. Kor høg er flaggstonga?

📝Oppgave 11

I trekant $PQR$ ligg $S$ på $PQ$ og $T$ på $PR$ , slik at $ST$ er parallell med $QR$ . Vi veit at $PS = 6$ m, $SQ = 3$ m og $ST = 8$ m.

Trekant PQR med linjestykket ST parallelt med QR. PS er 6 m, SQ er 3 m og ST er 8 m. QR er ukjend.

Grunngi at trekant $PST$ og trekant $PQR$ er formlike.

Finn lengda av $QR$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

To trekantar er formlike. Den minste har areal $16$ cm², og éi av sidene er $5$ cm. Den største har areal $64$ cm².

Finn forholdstalet $k$ mellom trekantane.

Kor lang er den tilsvarande sida i den største trekanten?

Løs oppgaven

Målestokk

\text{Målestokk} = \text{lengd på teikning} : \text{lengd i verkelegheita}

✏️Eksempel: Målestokk på kart

På eit kart med målestokk 1 : 25 000 måler du avstanden mellom to stader til 8,4 cm. Kva er den verkelege avstanden?

Målestokk 1 : 25 000 tyder at 1 cm på kartet = 25 000 cm i verkelegheita.

Verkeleg avstand: $8{,}4 \cdot 25\,000 = 210\,000$ cm $= 2\,100$ m $= 2{,}1$ km

Svar: Den verkelege avstanden er 2,1 km.

✏️Døme: Frå verkelegheit til kart

Ei skiløype er $3{,}6$ km lang. Kor lang blir ho på eit kart i målestokk $1 : 50\,000$ ?

3{,}6 \text{ km} = 360\,000 \text{ cm}

\frac{360\,000}{50\,000} = 7{,}2

Svar: Løypa blir $7{,}2$ cm på kartet.

✏️Døme: Forstørring

a) Ei bille er $1{,}4$ cm lang. Kor lang blir ho på ei teikning i målestokk $5 : 1$ ?

b) På ei anna teikning er ein skrue $5{,}0$ cm lang. I verkelegheita er skruen $2{,}0$ mm lang. Finn målestokken.

1{,}4 \cdot 5 = 7{,}0

Svar: Billa blir $7{,}0$ cm lang på teikninga.

b)
$5{,}0 \text{ cm} = 50 \text{ mm}$
$50 : 2{,}0 = 25 : 1$

Svar: Målestokken er $25 : 1$ .

📝Oppgave 13

Ein modellbil er laga i målestokk 1 : 18. Den verkelege bilen er 4,5 m lang. Kor lang er modellen?

📝Oppgave 14

Finn målestokken.

På eit kart er $2$ cm det same som $300$ m i terrenget.

Ein modell av ein båt er $45$ cm lang. Den verkelege båten er $9$ m lang.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Vinkelsum: $180^\circ$ i ein trekant, $(n-2) \cdot 180^\circ$ i ein mangekant med $n$ hjørne, og eigenskapane til likebeinte og likesida trekantar, parallellogram, rombe, trapes og sirkel
- Omkrins som summen av sidene, og $2\pi r$ for ein sirkel
- Arealformlar for rektangel ( $l \cdot b$ ), trekant ( $\displaystyle \frac{g \cdot h}{2}$ ), sirkel ( $\pi r^2$ ) og trapes ( $\displaystyle \frac{a+b}{2} \cdot h$ )
- Volumformlar for prisme ( $G \cdot h$ ), sylinder ( $\pi r^2 h$ ), kjegle ( $\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2 h$ ), kule ( $\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3$ ) og pyramide ( $\displaystyle \frac{1}{3}G \cdot h$ )
- Overflate som summen av areala til alle sideflatene
- Formlikskap: to like vinklar gir formlike trekantar; tilsvarande sider har same forhold $k$ . Lengder skalerer med $k$ , areal med $k^2$ , volum med $k^3$
- Målestokk: ved $1 : n$ gongar vi med $n$ frå kart til verkelegheit og deler frå verkelegheit til kart; ved forstørring $n : 1$ er det omvendt

📝Oppgave 15

Ein sandkasse har form som eit rektangulært prisme. Han er 2,4 m lang, 1,8 m brei og 0,30 m djup.

Kor mange kubikkmeter sand trengst for å fylle sandkassen?

Sand blir seld i sekkar på 25 kg. Det er ca. 1 500 kg sand per m³. Kor mange sekkar trengst?

Løs oppgaven

📝Oppgave 16

Eit hustak har form som to like rektangel, kvart med mål 12 m × 5,5 m. Takpannene som blir brukte, dekkjer 0,25 m² kvar.

Rekn ut det samla takarealet.

Kor mange takpanner trengst? Legg til 10 % for svinn og kapping.

Løs oppgaven

📝Oppgave 17

Ein arkitekt lagar ein modell av eit bygg i målestokk 1 : 100. I modellen er grunnflata til bygget 12 cm × 8 cm, og høgda er 15 cm.

Kva er dei verkelege måla til bygget?

Kor stort er det verkelege grunnflatearealet?

Kva er det verkelege volumet?

Forklar samanhengen mellom modellen og røynda for lengder, areal og volum.

Løs oppgaven

📝Oppgave 18

Ei stor og ei lita kule er formlike. Den store kula har 3 gonger så stor radius som den vesle. Kor mange gonger større er volumet til den store kula?

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.