Tilbake
5.1
Praktisk geometri

5.1 Praktisk geometri

Alle fag for VG2

Areal, volum og overflate i praktiske situasjoner.

50 min
14 oppgaver
ArealVolumOverflateSammensatte figurer
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Praktisk geometri

Geometri handlar om former, storleikar og romlege forhold. I kvardagen bruker vi geometri når vi skal måle eit rom, leggje fliser, rekne ut kor mykje jord vi treng til eit hagebed, eller lese eit kart.

I dette kapittelet skal du lære:
- Rekne ut areal av plane figurar som trekantar, rektangel, sirklar og samansette figurar
- Rekne ut volum og overflate av romfigurar
- Løyse praktiske oppgåver med samansette figurar
- Bruke formlikskap og målestokk i utrekningar

Areal av plane figurar
Areal er eit mål på storleiken av ei flate, målt i m2\text{m}^2, cm2\text{cm}^2 osv.

Rektangel:
A=l⋅bA = l \cdot b

Trekant:
A=g⋅h2A = \frac{g \cdot h}{2}

Sirkel:
A=πr2A = \pi r^2

Trapes:
A=a+b2⋅hA = \frac{a + b}{2} \cdot h

der aa og bb er dei parallelle sidene og hh er høgda.

Samansette figurar: Del figuren i enklare delar, rekn ut arealet av kvar del, og legg saman (eller trekk frå).

✏️Eksempel: Måle ein vegg

Ein vegg er 5,2 m brei og 2,4 m høg. Veggen har eit vindauge som er 1,2 m breitt og 1,0 m høgt. Kor mange liter måling treng du dersom 1 liter dekkjer 8 m²?

Løysing:

Areal av veggen: Avegg=5,2⋅2,4=12,48 m2A_{\text{vegg}} = 5{,}2 \cdot 2{,}4 = 12{,}48 \text{ m}^2

Areal av vindauget: Avindu=1,2⋅1,0=1,2 m2A_{\text{vindu}} = 1{,}2 \cdot 1{,}0 = 1{,}2 \text{ m}^2

Areal som skal målast: A=12,48−1,2=11,28 m2A = 12{,}48 - 1{,}2 = 11{,}28 \text{ m}^2

Tal liter måling: 11,288=1,41\displaystyle \frac{11{,}28}{8} = 1{,}41 liter

Svar: Du treng ca. 1,5 liter måling (runda opp).

📊Utforsk: Areal av samansett figur

Ein gavlvegg sett saman av eit rektangel (blått) og ein trekant (raudt). Arealet er summen: 6⋅3+6⋅22=18+6=24\displaystyle 6 \cdot 3 + \frac{6 \cdot 2}{2} = 18 + 6 = 24 m². Dra i hjørna og sjå korleis delareala i algebrafeltet endrar seg.

📝Oppgave 1

Eit trapesforma hagebed har parallelle sider på 3 m og 5 m, og høgda er 2 m. Kva er arealet?

📝Oppgave 2

Eit rom har form som eit rektangel med måla 4,5 m × 3,8 m. I rommet er det ei sirkulær søyle med diameter 40 cm. Du skal leggje golvbelegg. a) Rekn ut arealet av golvet (ekskl. søyla). b) Golvbelegget kostar 289 kr per m². Kva kostar materialet?

Volum av romfigurar
Volum er eit mål på storleiken av eit tredimensjonalt objekt, målt i m3\text{m}^3, cm3\text{cm}^3, liter osv.

Prisme (rett):
V=G⋅hV = G \cdot h
der GG er grunnflatearealet og hh er høgda.

Sylinder:
V=πr2⋅hV = \pi r^2 \cdot h

Kjegle:
V=13πr2⋅hV = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h

Kule:
V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3

Pyramide:
V=13G⋅hV = \frac{1}{3} G \cdot h

Omrekning: 1 m3=1 0001 \text{ m}^3 = 1\,000 liter. 11 liter =1 000 cm3=1 dm3= 1\,000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ dm}^3.

✏️Eksempel: Vassmengd i eit basseng

Eit symjebasseng er 25 m langt, 12,5 m breitt og har ei jamn djupn på 1,8 m. Kor mange liter vatn trengst for å fylle bassenget?

Løysing:

Bassenget har form som eit rektangulært prisme.

V=l⋅b⋅h=25⋅12,5⋅1,8=562,5 m3V = l \cdot b \cdot h = 25 \cdot 12{,}5 \cdot 1{,}8 = 562{,}5 \text{ m}^3

562,5 m3=562,5⋅1 000=562 500562{,}5 \text{ m}^3 = 562{,}5 \cdot 1\,000 = 562\,500 liter

Svar: Bassenget rommar 562 500 liter (562,5 kubikkmeter).

📝Oppgave 3

Ein sylinder har radius 5 cm og høgde 20 cm. Kva er volumet?

Overflate av romfigurar
Overflata av ein romfigur er summen av areala til alle flatene.

Rektangulært prisme (boks):
O=2(lb+lh+bh)O = 2(lb + lh + bh)

Sylinder:
O=2πr2+2πrh=2πr(r+h)O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)

Kule:
O=4πr2O = 4\pi r^2

Kjegle (inkl. botn):
O=πr2+πrsO = \pi r^2 + \pi r s

der ss er sidelengda (skråhøgda) til kjegla.

✏️Eksempel: Rekne ut overflate for måling

Ein sylinderforma vasstank har radius 0,6 m og høgde 1,5 m. Tanken skal målast utvendig (inkludert botn og topp). Kor stort areal skal målast?

Løysing:

O=2πr(r+h)=2π⋅0,6⋅(0,6+1,5)=2π⋅0,6⋅2,1O = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 0{,}6 \cdot (0{,}6 + 1{,}5) = 2\pi \cdot 0{,}6 \cdot 2{,}1

=2π⋅1,26=2,52π≈7,92 m2= 2\pi \cdot 1{,}26 = 2{,}52\pi \approx 7{,}92 \text{ m}^2

Svar: Det skal målast ca. 7,9 m² overflate.

📝Oppgave 4

Ein iskrem-kjeks har form som ei kjegle med radius 3 cm og skråhøgde 12 cm. a) Rekn ut den buga overflata (mantelen) til kjegla. b) Kjeksen er dekt av sjokolade utanpå. Kor mange cm² sjokolade er det?

Formlikskap og målestokk
To figurar er formlike dersom dei har nøyaktig same form, men kan ha ulik storleik. Alle tilsvarande vinklar er like, og tilsvarande sider har same forhold.

Målestokk angir forholdet mellom ein avstand på ei teikning/kart og den verkelege avstanden:

Ma˚lestokk=Avstand pa˚ kartVirkelig avstand\text{Målestokk} = \frac{\text{Avstand på kart}}{\text{Virkelig avstand}}

Målestokk 1 : 50 000 tyder at 1 cm på kartet tilsvarar 50 000 cm = 500 m i verkelegheita.

Viktige samanhengar ved formlikskap:
- Lengder skalerer med forholdstalet kk
- Areal skalerer med k2k^2
- Volum skalerer med k3k^3

✏️Eksempel: Målestokk på kart

På eit kart med målestokk 1 : 25 000 måler du avstanden mellom to stader til 8,4 cm. Kva er den verkelege avstanden?

Løysing:

Målestokk 1 : 25 000 tyder at 1 cm på kartet = 25 000 cm i verkelegheita.

Verkeleg avstand: 8,4⋅25 000=210 0008{,}4 \cdot 25\,000 = 210\,000 cm =2 100= 2\,100 m =2,1= 2{,}1 km

Svar: Den verkelege avstanden er 2,1 km.

📝Oppgave 5

Ein modellbil er laga i målestokk 1 : 18. Den verkelege bilen er 4,5 m lang. Kor lang er modellen?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Arealformlar for rektangel (l⋅bl \cdot b), trekant (g⋅h2\displaystyle \frac{g \cdot h}{2}), sirkel (πr2\pi r^2) og trapes (a+b2⋅h\displaystyle \frac{a+b}{2} \cdot h)
- Volumformlar for prisme (G⋅hG \cdot h), sylinder (πr2h\pi r^2 h), kjegle (13πr2h\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2 h), kule (43πr3\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3) og pyramide (13G⋅h\displaystyle \frac{1}{3}G \cdot h)
- Overflateformlar for dei vanlegaste romfigurane
- Korleis du løyser praktiske oppgåver med samansette figurar
- Formlikskap og målestokk: Lengder skalerer med kk, areal med k2k^2, volum med k3k^3

📝Oppgave 6

Ein sandkasse har form som eit rektangulært prisme. Han er 2,4 m lang, 1,8 m brei og 0,30 m djup. a) Kor mange kubikkmeter sand trengst for å fylle sandkassen? b) Sand vert seld i sekkar på 25 kg. Det er ca. 1 500 kg per m³. Kor mange sekkar trengst?

📝Oppgave 7

Eit hustak har form som to like rektangel, kvart med mål 12 m × 5,5 m. Takpannene som vert brukte dekkjer 0,25 m² kvar. a) Rekn ut det totale takarealet. b) Kor mange takpanner trengst? Legg til 10 % for svinn og kapping.

📝Oppgave 8

Ein arkitekt lagar ein modell av eit bygg i målestokk 1 : 100. I modellen er grunnflata til bygget 12 cm × 8 cm og høgda er 15 cm. a) Kva er dei verkelege måla til bygget? b) Kor stort er det verkelege grunnflatearealet? c) Kva er det verkelege volumet? d) Forklar samanhengen mellom modellen og verkelegheita for lengder, areal og volum.

📝Oppgave 9

Ei stor og ei lita kule er formlike. Den store kula har 3 gonger så stor radius som den vesle. Kor mange gonger større er volumet til den store kula?

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.