Tilbake
4.3
Binomisk sannsynlighet

4.3 Binomisk sannsynlighet

Alle fag for VG2

Binomiske forsøk og binomisk sannsynlighetsmodell.

50 min
14 oppgaver
Binomiske forsøkBinomisk formelForventningsverdiStandardavvik
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Binomisk sannsyn

Mange situasjonar handlar om gjentekne forsøk med to moglege utfall: suksess eller fiasko. Kastar du ein mynt 10 gonger -- kor sannsynleg er nøyaktig 7 krone? Tek du 20 skot i basketball med 60 % treffprosent -- kva er sjansen for minst 15 treff?

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva eit binomisk forsøk er
- Bruke den binomiske sannsynsformelen
- Rekne ut forventningsverdi og standardavvik
- Bruke digitale verktøy for binomisk sannsyn

Binomisk forsøk

Eit binomisk forsøk har fire kjenneteikn:

1. Fast tal forsøk nn
2. To moglege utfall i kvart forsøk: «suksess» eller «fiasko»
3. Fast sannsyn pp for suksess i kvart forsøk
4. Uavhengige forsøk -- utfallet i eitt forsøk påverkar ikkje dei andre

Den stokastiske variabelen XX = «tal suksessar» følgjer ei binomisk fordeling.

Vi skriv X∼Bin(n,p)X \sim \text{Bin}(n, p).

Eksempel:
- Kaste mynt 10 gonger (n=10n = 10, p=0,5p = 0{,}5)
- 20 basketballskot med 60 % treffprosent (n=20n = 20, p=0,6p = 0{,}6)
- 15 fleirvalsoppgåver med 4 alternativ, rein gjetting (n=15n = 15, p=0,25p = 0{,}25)

✏️Eksempel: Er forsøket binomisk?

Avgjer om følgjande forsøk er binomiske:

a) Du kastar ein terning 8 gonger og tel talet på seksarar.
b) Du trekkjer 5 kort frå ein kortstokk utan tilbakelegging og tel talet på ess.
c) Du svarar på 12 sant/usant-spørsmål ved å gjette tilfeldig.

Løysing:

a) Ja, binomisk. n=8n = 8, suksess = «6», p=16\displaystyle p = \frac{1}{6}. Kasta er uavhengige og pp er konstant.

b) Nei, ikkje binomisk. Trekking utan tilbakelegging gjer forsøka avhengige. pp endrar seg for kvart trekk (men kan tilnærmast som binomisk dersom kortstokken er stor nok).

c) Ja, binomisk. n=12n = 12, suksess = «riktig svar», p=0,5p = 0{,}5. Spørsmåla er uavhengige ved rein gjetting.

📝Oppgave 1

Kva av følgjande er eit binomisk forsøk?

Binomisk sannsynsformel
Sannsynet for nøyaktig kk suksessar i nn forsøk med suksesssannsyn pp:

P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

der binomialkoeffisienten er:

(nk)=n!k!⋅(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Binomialkoeffisienten (nk)\binom{n}{k} fortel oss på kor mange måtar vi kan velje kk suksessar blant nn forsøk.

Forklaring av formelen:
- pkp^k: sannsynet for kk suksessar
- (1−p)n−k(1-p)^{n-k}: sannsynet for n−kn-k fiaskoar
- (nk)\binom{n}{k}: tal rekkjefølgjer dette kan skje på

✏️Eksempel: Binomisk sannsyn

Du kastar ein terning 5 gonger. Kva er sannsynet for å få nøyaktig 2 seksarar?

Løysing:

n=5n = 5, k=2k = 2, p=16\displaystyle p = \frac{1}{6}

Binomialkoeffisient: (52)=5!2!⋅3!=1202⋅6=10\displaystyle \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10

P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3

=10⋅136⋅125216=10⋅1257776=12507776≈0,161= 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = 10 \cdot \frac{125}{7776} = \frac{1250}{7776} \approx 0{,}161

Svar: Sannsynet for nøyaktig 2 seksarar er ca. 16,1%16{,}1\%.

📊Utforsk: Binomisk fordeling

Punkta viser P(X=k)P(X = k) for eit binomisk forsøk med n=10n = 10 og p=0,5p = 0{,}5, til dømes 10 myntkast. Det raude punktet viser at P(X=5)≈0,246P(X = 5) \approx 0{,}246 er mest sannsynleg. Endre pp til 0,80{,}8 i kommandoane og sjå korleis fordelinga forskyv seg.

📝Oppgave 2

Ei fleirvalsoppgåve har 4 alternativ der eitt er rett. Ein elev gjettar tilfeldig på 8 oppgåver. a) Kva er sannsynet for å få nøyaktig 3 rette? b) Kva er sannsynet for å få 0 rette?

📝Oppgave 3

Kva er verdien av binomialkoeffisienten (62)\binom{6}{2}?

Forventningsverdi og standardavvik
For ei binomisk fordeling X∼Bin(n,p)X \sim \text{Bin}(n, p):

Forventningsverdi (gjennomsnittleg tal suksessar):
E(X)=μ=n⋅pE(X) = \mu = n \cdot p

Standardavvik (mål på spreiing):
σ=n⋅p⋅(1−p)\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}

Tolking:
- E(X)E(X) er det talet på suksessar vi forventar «i snitt» over mange gjentakingar
- σ\sigma fortel kor mykje resultatet typisk avvik frå forventninga
- Dei fleste resultata vil liggje innanfor μ±2σ\mu \pm 2\sigma

✏️Eksempel: Forventningsverdi og standardavvik

Ein basketballspelar treffer 70 % av straffekasta. Ho tek 20 straffekast. Finn forventningsverdi og standardavvik for talet på treff.

Løysing:

X∼Bin(20,  0,70)X \sim \text{Bin}(20,\; 0{,}70)

Forventningsverdi:
E(X)=n⋅p=20⋅0,70=14E(X) = n \cdot p = 20 \cdot 0{,}70 = 14

Standardavvik:
σ=n⋅p⋅(1−p)=20⋅0,70⋅0,30=4,2≈2,05\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}30} = \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05

Tolking: Vi forventar ca. 14 treff, med typiske svingingar på ±2⋅2,05≈±4\pm 2 \cdot 2{,}05 \approx \pm 4. Dei fleste gongene vil ho treffe mellom 10 og 18 av 20.

📝Oppgave 4

Ein fabrikk produserer lyspærer med 4 % feilrate. I ein pakke med 25 lyspærer: a) Kva er forventa tal defekte lyspærer? b) Kva er standardavviket? c) Ville det vore overraskande å finne 5 defekte lyspærer i ein pakke? Grunngi svaret.

📝Oppgave 5

Ein stokastisk variabel X∼Bin(100,  0,3)X \sim \text{Bin}(100,\; 0{,}3). Kva er forventningsverdien E(X)E(X)?

Bruke digitale verktøy for binomisk sannsyn

For større verdiar av nn og kk er det upraktisk å rekne for hand. Då bruker vi digitale verktøy.

GeoGebra CAS:
- BinomialKoeffisient(n, k)\texttt{BinomialKoeffisient(n, k)} -- reknar ut (nk)\binom{n}{k}
- Binomial(n, p, k)\texttt{Binomial(n, p, k)} -- reknar ut P(X=k)P(X = k)
- Binomial(n, p, k, true)\texttt{Binomial(n, p, k, true)} -- reknar ut P(X≤k)P(X \leq k) (kumulativ)

Rekneark / Excel:
- =BINOM.FORDELING(k; n; p; USANN) for P(X=k)P(X = k)
- =BINOM.FORDELING(k; n; p; SANN) for P(X≤k)P(X \leq k)

Tips: For P(X≥k)P(X \geq k), bruk komplementet:
P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

✏️Eksempel: Bruke kumulativ binomisk sannsyn

Ein elev gjettar tilfeldig på ein prøve med 20 sant/usant-spørsmål (p=0,5p = 0{,}5). Kva er sannsynet for å få minst 15 rette?

Løysing:

X∼Bin(20,  0,5)X \sim \text{Bin}(20,\; 0{,}5)

Vi skal finne P(X≥15)=1−P(X≤14)P(X \geq 15) = 1 - P(X \leq 14).

Med GeoGebra: P(X≤14)=Binomial(20, 0.5, 14, true)≈0,9793P(X \leq 14) = \texttt{Binomial(20, 0.5, 14, true)} \approx 0{,}9793

P(X≥15)=1−0,9793=0,0207P(X \geq 15) = 1 - 0{,}9793 = 0{,}0207

Svar: Sannsynet for minst 15 rette ved rein gjetting er ca. 2,1%2{,}1\%. Det er svært usannsynleg.

📝Oppgave 6

Ei spørjeundersøking viser at 40 % av ungdomar føretrekkjer streaming framfor tradisjonell TV. Du spør 15 tilfeldig valde ungdomar. a) Kva er sannsynet for at nøyaktig 6 føretrekkjer streaming? b) Bruk digitale verktøy til å finne sannsynet for at færre enn 4 føretrekkjer streaming.

Oppsummering

- Binomisk forsøk: Fast nn, to utfall, fast pp, uavhengige forsøk
- Binomisk formel: P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
- Forventningsverdi: E(X)=npE(X) = np
- Standardavvik: σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}
- Kumulativ: P(X≤k)P(X \leq k) reknast lettast med digitale verktøy
- Komplement: P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

Nøkkelomgrep


OmgrepForklaring
Binomisk forsøkForsøk med nn uavhengige repetisjonar med to utfall
Binomialkoeffisient(nk)\binom{n}{k} -- tal måtar å velje kk av nn
ForventningsverdiGjennomsnittleg tal suksessar: npnp
StandardavvikTypisk spreiing rundt forventninga
📝Oppgave 7

Ein kvalitetskontrollør testar 10 produkt frå ei produksjonslinje der 8 % er defekte. a) Kva er sannsynet for at ingen av dei 10 produkta er defekte? b) Kva er sannsynet for at minst 1 produkt er defekt? c) Kva er forventa tal defekte produkt og standardavviket?

📝Oppgave 8

I eit TV-quizshow svarar ein deltakar på 12 spørsmål. Kvart spørsmål har 3 alternativ. Deltakaren gjettar tilfeldig på alle. a) Kva er sannsynet for å få nøyaktig 4 rette? b) For å gå vidare må deltakaren ha minst 8 rette. Bruk digitale verktøy til å finne dette sannsynet. c) Kor mange rette svar er det rimeleg å forvente? Grunngi svaret med forventningsverdi og standardavvik.

📝Oppgave 9

Ein stokastisk variabel X∼Bin(50,  0,2)X \sim \text{Bin}(50,\; 0{,}2). Kva er standardavviket σ\sigma?

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.