Tilbake
3.1
Beskrivende statistikk

3.1 Beskrivende statistikk

Alle fag for VG2

Sentralmål, spredningsmål og grafisk fremstilling.

50 min
12 oppgaver
GjennomsnittMedianTypetallStandardavvikVariasjonsbredde
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Beskrivande statistikk

Statistikk handlar om å samle inn, organisere og tolke data. Beskrivande statistikk gir oss verktøy for å oppsummere eit datasett med nokre få nøkkeltal og figurar, slik at vi raskt kan forstå kva dataene fortel oss.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva sentralmål er og når du bruker gjennomsnitt, median og typetal
- Spreiingsmål: variasjonsbreidde, kvartilar, IQR og standardavvik
- Grafisk framstilling med stolpediagram, histogram og boksplott
- Frekvenstabellar og kumulativ frekvens

Sentralmål
Sentralmål beskriv «sentrum» i eit datasett. Dei tre viktigaste er:

Gjennomsnitt (middelverdi):
xˉ=x1+x2+⋯+xnn=∑xin\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}

Median: Den midtarste verdien når observasjonane er sorterte. Ved partal observasjonar er medianen gjennomsnittet av dei to midtarste.

Typetal (modus): Den verdien som førekjem oftast.

SentralmålNår bruker vi det?
GjennomsnittSymmetriske data utan uteliggjarar
MedianSkeive data eller data med uteliggjarar
TypetalKategoriske data (t.d. favorittfarge)
✏️Eksempel: Sentralmål

Ni elevar fekk følgjande karakterar i matematikk: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6. Finn gjennomsnitt, median og typetal.

Løysing:

Gjennomsnitt: xˉ=2+3+3+4+4+4+5+5+69=369=4,0\displaystyle \bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6}{9} = \frac{36}{9} = 4{,}0

Median: Vi har 9 verdiar (oddetal). Den midtarste er verdi nr. 5: median = 4

Typetal: Verdien 4 førekjem 3 gonger (flest): typetal = 4

Svar: Gjennomsnitt = 4,0, median = 4, typetal = 4. Her gir alle tre sentralmåla omtrent same resultat fordi dataene er nokså symmetriske.

📝Oppgave 1

Ei bedrift har fem tilsette med månadslønner: 30 000, 32 000, 34 000, 35 000 og 120 000 kr. Kva sentralmål gir best bilete av ei «typisk» løn?

📝Oppgave 2

Ein klasse med 10 elevar fekk følgjande tal poeng på ei prøve: 12, 15, 18, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 30. a) Finn gjennomsnitt, median og typetal. b) Dersom eleven med 30 poeng hadde fått 50 poeng i staden, kva ville gjennomsnittet og medianen blitt? c) Kva av dei to situasjonane viser best kvifor medianen kan vere meir robust enn gjennomsnittet?

Spreiingsmål
Spreiingsmål fortel kor spreidde dataene er rundt sentrum.

Variasjonsbreidde: Differansen mellom største og minste verdi.
R=xmaks−xminR = x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}

Kvartilar: Deler dei sorterte dataene i fire like store delar.
- Q1Q_1 (nedre kvartil): Medianen av den nedre halvdelen
- Q2Q_2 = medianen
- Q3Q_3 (øvre kvartil): Medianen av den øvre halvdelen

Interkvartilbreidde (IQR): Spreiinga i dei midtarste 50 % av dataene.
IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1

Standardavvik (ss): Gjennomsnittleg avstand frå gjennomsnittet.
s=∑(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Lågt standardavvik tyder at verdiane ligg tett rundt gjennomsnittet. Høgt standardavvik tyder stor spreiing.

✏️Eksempel: Spreiingsmål

Eit datasett: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14. Finn variasjonsbreidde, kvartilar, IQR og standardavvik.

Løysing:

Dataene er allereie sorterte: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14

Variasjonsbreidde: R=14−3=11R = 14 - 3 = 11

Median (Q2Q_2): 8 (midtarste verdi)

Q1Q_1: Median av nedre halvdel (3, 5, 7) = 5

Q3Q_3: Median av øvre halvdel (10, 12, 14) = 12

IQR: Q3−Q1=12−5=7Q_3 - Q_1 = 12 - 5 = 7

Standardavvik:
xˉ=3+5+7+8+10+12+147=597≈8,43\displaystyle \bar{x} = \frac{3+5+7+8+10+12+14}{7} = \frac{59}{7} \approx 8{,}43

s=(3−8,43)2+(5−8,43)2+⋯+(14−8,43)26≈88,866≈14,81≈3,85\displaystyle s = \sqrt{\frac{(3-8{,}43)^2 + (5-8{,}43)^2 + \cdots + (14-8{,}43)^2}{6}} \approx \sqrt{\frac{88{,}86}{6}} \approx \sqrt{14{,}81} \approx 3{,}85

📝Oppgave 3

To klassar fekk følgjande resultat på ei prøve (maks 20 poeng):

Klasse A: 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18
Klasse B: 5, 8, 12, 15, 18, 20, 20

a) Finn gjennomsnitt, median og standardavvik for begge klassane. b) Kva klasse har jamnast resultat? c) Bruk tala til å samanlikne klassane.

Grafisk framstilling
Stolpediagram: Blir brukt for kategoriske data eller diskrete verdiar. Stolpane har mellomrom.

Histogram: Blir brukt for kontinuerlege data grupperte i klassar (intervall). Stolpane står inntil kvarandre. Arealet viser frekvensen.

Boksplott (box-and-whisker): Viser fordelinga av data med fem nøkkeltal:
- Minimum
- Q1Q_1 (nedre kvartil)
- Median
- Q3Q_3 (øvre kvartil)
- Maksimum

Boksen dekkjer IQR (dei midtarste 50 %), og strekane (whiskers) går ut til min og maks. Uteliggjarar blir markerte som eigne punkt.

Uteliggjar: Ein observasjon som ligg meir enn 1,5⋅IQR1{,}5 \cdot \text{IQR} under Q1Q_1 eller over Q3Q_3.

✏️Eksempel: Boksplott

Teikn eit boksplott for datasettet: 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15. Finn dei fem nøkkeltala og undersøk om det finst uteliggjarar.

Løysing:

Sorterte data: 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15

Fem nøkkeltal:
- Minimum = 2
- Q1Q_1 = median av (2, 4, 5, 7) = (4+5)/2 = 4,5
- Median = 8
- Q3Q_3 = median av (9, 10, 12, 15) = (10+12)/2 = 11
- Maksimum = 15

IQR = 11 − 4,5 = 6,5

Grenser for uteliggjarar:
- Nedre grense: Q1−1,5⋅IQR=4,5−9,75=−5,25Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 4{,}5 - 9{,}75 = -5{,}25
- Øvre grense: Q3+1,5⋅IQR=11+9,75=20,75Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 11 + 9{,}75 = 20{,}75

Alle verdiar ligg innanfor grensene, så det er ingen uteliggjarar.

📝Oppgave 4

Eit datasett har Q1=20Q_1 = 20, Q3=40Q_3 = 40 og IQR = 20. Kva verdi er ein uteliggjar?

Frekvenstabellar og kumulativ frekvens
Frekvens: Talet på gonger ein verdi (eller ein klasse) førekjem.

Relativ frekvens: Delen av totalen.
Relativ frekvens=frekvenstotalt tal\text{Relativ frekvens} = \frac{\text{frekvens}}{\text{totalt tal}}

Kumulativ frekvens: Summen av frekvensane opp til og med ein bestemt verdi/klasse. Viser kor mange observasjonar som er like eller mindre enn ein gitt verdi.

Kumulativ relativ frekvens: Kumulativ frekvens delt på totalt tal. Blir brukt til å finne medianen og kvartilar i grupperte data.

✏️Eksempel: Frekvenstabell

30 elevar blei spurde om talet på timar dei trenar per veke. Resultata blei grupperte:

Timar0–23–56–89–11
Frekvens81273

Lag ein utvida frekvenstabell med relativ og kumulativ frekvens.

Løysing:

TimarFrekvensRelativ frekvensKumulativ frekvensKumulativ relativ frekvens
0–288/30 ≈ 0,2780,27
3–51212/30 = 0,40200,67
6–877/30 ≈ 0,23270,90
9–1133/30 = 0,10301,00

Tolking:
- 67 % av elevane trenar 5 timar eller mindre per veke
- Medianen ligg i klassen 3–5 (fordi kumulativ relativ frekvens passerer 0,50 i denne klassen)
- Typetalsklassen er 3–5 (høgast frekvens)
📝Oppgave 5

Ei undersøking blant 40 elevar viste følgjande tal på timar skjermtid per dag:

Timar0–12–34–56–78+
Frekvens3101584

a) Lag ein frekvenstabell med relativ og kumulativ frekvens. b) I kva klasse ligg medianen? c) Kor stor del av elevane har meir enn 5 timar skjermtid per dag?

Oppsummering

- Sentralmål beskriv «sentrum» i data: gjennomsnitt, median og typetal
- Gjennomsnitt blir påverka av uteliggjarar – bruk median når data er skeive
- Spreiingsmål beskriv spreiinga: variasjonsbreidde, IQR, standardavvik
- Boksplott viser fordeling med fem nøkkeltal (min, Q1Q_1, median, Q3Q_3, maks)
- Uteliggjarar er verdiar meir enn 1,5⋅IQR1{,}5 \cdot \text{IQR} utanfor kvartilane
- Frekvenstabellar organiserer data med frekvens, relativ og kumulativ frekvens
- Kumulativ frekvens blir brukt til å bestemme median og kvartilar i grupperte data

Nøkkelomgrep


OmgrepForklaring
GjennomsnittSum av verdiar delt på tal
MedianMidtarste verdi i sortert datasett
TypetalVerdien som førekjem oftast
StandardavvikGjennomsnittleg avstand frå gjennomsnittet
IQRQ3−Q1Q_3 - Q_1 – spreiinga i midtarste 50 %
📝Oppgave 6

Ei bedrift har 12 tilsette med følgjande månadsløn (i 1 000 kr): 28, 30, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 85. a) Finn gjennomsnitt, median og typetal. b) Finn Q1Q_1, Q3Q_3 og IQR. c) Er det nokon uteliggjarar? d) Teikn eit boksplott. e) Leiaren i bedrifta seier at «gjennomsnittsløna er 39 500 kr». Er dette misvisande? Grunngi svaret ditt.

📝Oppgave 7

Ein idrettslærar registrerte tida (i sekund) 20 elevar brukte på 60 m sprint:

Tid (s)8,0–8,99,0–9,910,0–10,911,0–11,912,0–12,9
Gutar14310
Jenter02432

a) Rekn ut eit estimert gjennomsnitt for gutar og jenter (bruk klassemidtpunkt). b) I kva klasse ligg medianen for kvar gruppe? c) Samanlikn fordelingane ved å bruke sentralmål og spreiing. d) Lag histogram for begge gruppene og beskriv forma på fordelingane.

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.