3.1
Beskrivande statistikk

3.1 Beskrivande statistikk

Alle fag for VG2

Sentralmål, spreiingsmål og grafisk framstilling.

50 min
12 oppgaver
GjennomsnittMedianTypetalStandardavvikVariasjonsbreidd
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Beskrivande statistikk

Statistikk handlar om å samle inn, organisere og tolke data. Beskrivande statistikk gir oss verktøy for å oppsummere eit datasett med nokre få nøkkeltal og figurar, slik at vi raskt kan forstå kva dataene fortel oss.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva sentralmål er og når du bruker gjennomsnitt, median og typetal
- Spreiingsmål: variasjonsbreidde, kvartilar, kvartilbreidd og standardavvik
- Grafisk framstilling med stolpediagram, histogram og boksplott
- Frekvenstabellar og kumulativ frekvens

Sentralmål
Sentralmål beskriv «sentrum» i eit datasett. Dei tre viktigaste er:

Gjennomsnitt (middelverdi):
xˉ=x1+x2+⋯+xnn=∑xin\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}

Median: Den midtarste verdien når observasjonane er sorterte. Ved partal observasjonar er medianen gjennomsnittet av dei to midtarste.

Typetal (modus): Den verdien som førekjem oftast.

SentralmålNår bruker vi det?
GjennomsnittSymmetriske data utan uteliggjarar
MedianSkeive data eller data med uteliggjarar
TypetalKategoriske data (t.d. favorittfarge)
✏️Eksempel: Sentralmål

Ni elevar fekk følgjande karakterar i matematikk: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6. Finn gjennomsnitt, median og typetal.

Gjennomsnitt: xˉ=2+3+3+4+4+4+5+5+69=369=4,0\displaystyle \bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6}{9} = \frac{36}{9} = 4{,}0

Median: Vi har 9 verdiar (oddetal). Den midtarste er verdi nr. 5: median = 4

Typetal: Verdien 4 førekjem 3 gonger (flest): typetal = 4

Svar: Gjennomsnitt = 4,0, median = 4, typetal = 4. Her gir alle tre sentralmåla omtrent same resultat fordi dataene er nokså symmetriske.

📝Oppgave 1

Ei bedrift har fem tilsette med månadslønner: 30 000, 32 000, 34 000, 35 000 og 120 000 kr. Kva sentralmål gir best bilete av ei «typisk» løn?

📝Oppgave 2

Ein klasse med 10 elevar fekk følgjande tal poeng på ei prøve: 12, 15, 18, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 30.

a

Finn gjennomsnitt, median og typetal.

b

Dersom eleven med 30 poeng hadde fått 50 poeng i staden, kva ville gjennomsnittet og medianen blitt?

c

Kva av dei to situasjonane viser best kvifor medianen kan vere meir robust enn gjennomsnittet?

Spreiingsmål
Spreiingsmål fortel kor spreidde dataene er rundt sentrum.

Variasjonsbreidde: Differansen mellom største og minste verdi.
R=xmaks−xminR = x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}

Kvartilar: Deler dei sorterte dataene i fire like store delar.
- Q1Q_1 (nedre kvartil): Medianen av den nedre halvdelen
- Q2Q_2 = medianen
- Q3Q_3 (øvre kvartil): Medianen av den øvre halvdelen

Kvartilbreidd: Spreiinga i dei midtarste 50 % av dataene.
kvartilbreidd=Q3−Q1\text{kvartilbreidd} = Q_3 - Q_1

Standardavvik (ss): Eit mål på typisk avstand frå gjennomsnittet. Vi kvadrerer avvika, finn gjennomsnittet av kvadrata og tek kvadratrota:
s=∑(xi−xˉ)2ns = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}

Lågt standardavvik tyder at verdiane ligg tett rundt gjennomsnittet. Høgt standardavvik tyder stor spreiing.

✏️Eksempel: Spreiingsmål

Eit datasett: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14. Finn variasjonsbreidd, kvartilar, kvartilbreidd og standardavvik.

Sortert: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14

R=14−3=11R = 14 - 3 = 11

Median =8= 8 (verdi nr. 4 av 7)

Q1=5Q_1 = 5 (median av 3, 5, 7)

Q3=12Q_3 = 12 (median av 10, 12, 14)

Kvartilbreidd=12−5=7\text{Kvartilbreidd} = 12 - 5 = 7

xˉ=3+5+7+8+10+12+147=597≈8,43\bar{x} = \frac{3+5+7+8+10+12+14}{7} = \frac{59}{7} \approx 8{,}43

xix_i(xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2
329,47
511,76
72,04
80,18
102,47
1212,76
1431,04

∑(xi−xˉ)2≈89,71\sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 89{,}71
s=89,717≈12,82≈3,58s = \sqrt{\frac{89{,}71}{7}} \approx \sqrt{12{,}82} \approx 3{,}58
Svar: Variasjonsbreidd 11, Q1=5Q_1 = 5, median 8, Q3=12Q_3 = 12, kvartilbreidd 7 og standardavvik s≈3,58s \approx 3{,}58.
Nokre kalkulatorar og rekneark gir også utvalsstandardavviket, der vi deler på n−1=6n - 1 = 6 i staden for nn. Det gir 3,873{,}87 her.
📝Oppgave 3

To klassar fekk følgjande resultat på ei prøve (maks 20 poeng):

Klasse A: 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18
Klasse B: 5, 8, 12, 15, 18, 20, 20

a

Finn gjennomsnitt, median og standardavvik for begge klassane.

b

Kva klasse har jamnast resultat?

c

Bruk tala til å samanlikne klassane.

Grafisk framstilling
Stolpediagram: Blir brukt for kategoriske data eller diskrete verdiar. Stolpane har mellomrom.

Histogram: Blir brukt for kontinuerlege data grupperte i klassar (intervall). Stolpane står inntil kvarandre. Arealet viser frekvensen.

Boksplott: Viser fordelinga av data med fem nøkkeltal:
- Minimum
- Q1Q_1 (nedre kvartil)
- Median
- Q3Q_3 (øvre kvartil)
- Maksimum

Boksen dekkjer kvartilbreidda (dei midtarste 50 %), og strekane går ut til min og maks. Uteliggjarar blir markerte som eigne punkt.

Uteliggjar: Ein observasjon som ligg meir enn 1,5⋅kvartilbreidd1{,}5 \cdot \text{kvartilbreidd} under Q1Q_1 eller over Q3Q_3.

✏️Eksempel: Boksplott

Teikn eit boksplott for datasettet: 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15. Finn dei fem nøkkeltala og undersøk om det finst uteliggjarar.

Sorterte data: 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15

Minimum =2= 2

Q1=4+52=4,5\displaystyle Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4{,}5 (median av 2, 4, 5, 7)

Median =8= 8 (verdi nr. 5 av 9)

Q3=10+122=11\displaystyle Q_3 = \frac{10 + 12}{2} = 11 (median av 9, 10, 12, 15)

Maksimum =15= 15

Kvartilbreidd=11−4,5=6,5\text{Kvartilbreidd} = 11 - 4{,}5 = 6{,}5

Nedre grense: 4,5−1,5⋅6,5=4,5−9,75=−5,254{,}5 - 1{,}5 \cdot 6{,}5 = 4{,}5 - 9{,}75 = -5{,}25

Øvre grense: 11+1,5⋅6,5=11+9,75=20,7511 + 1{,}5 \cdot 6{,}5 = 11 + 9{,}75 = 20{,}75

Alle verdiane ligg mellom −5,25-5{,}25 og 20,7520{,}75, så det er ingen uteliggjarar.

Boksplottet over ei tallinje: strekane går frå minimum 2 til maksimum 15, boksen frå Q1=4,5Q_1 = 4{,}5 til Q3=11Q_3 = 11, og medianen 8 er markert med ein strek i boksen.

Boksplott over ei tallinje frå 0 til 16. Strekane går frå minimum 2 til maksimum 15, boksen frå nedre kvartil 4,5 til øvre kvartil 11, og medianen 8 er markert med ein strek i boksen.

Svar: Dei fem nøkkeltala er 2, 4,5, 8, 11 og 15. Det er ingen uteliggjarar.

📝Oppgave 4

Eit datasett har Q1=20Q_1 = 20, Q3=40Q_3 = 40 og kvartilbreidd 20. Kva verdi er ein uteliggjar?

Frekvenstabellar og kumulativ frekvens
Frekvens: Talet på gonger ein verdi (eller ein klasse) førekjem.

Relativ frekvens: Delen av totalen.
Relativ frekvens=frekvenstotalt tal\text{Relativ frekvens} = \frac{\text{frekvens}}{\text{totalt tal}}

Kumulativ frekvens: Summen av frekvensane opp til og med ein bestemt verdi/klasse. Viser kor mange observasjonar som er like eller mindre enn ein gitt verdi.

Kumulativ relativ frekvens: Kumulativ frekvens delt på totalt tal. Blir brukt til å finne medianen og kvartilar i grupperte data.

✏️Eksempel: Frekvenstabell

30 elevar blei spurde om talet på timar dei trenar per veke. Resultata blei grupperte:

Timar0–23–56–89–11
Frekvens81273

Lag ein utvida frekvenstabell med relativ og kumulativ frekvens.

TimarFrekvensRelativ frekvens
0–288/30 ≈ 0,27
3–51212/30 = 0,40
6–877/30 ≈ 0,23
9–1133/30 = 0,10
TimarKumulativ frekvensKumulativ relativ frekvens
0–280,27
3–5200,67
6–8270,90
9–11301,00

Kumulativ relativ frekvens passerer 0,50 i klassen 3–5, så medianen ligg der.
Svar: Tabellen over. 67 % av elevane trenar 5 timar eller mindre per veke, medianen ligg i klassen 3–5, og typetalsklassen er 3–5 (høgast frekvens).
📝Oppgave 5

Ei undersøking blant 40 elevar viste følgjande tal på timar skjermtid per dag:

Timar0–12–34–56–78+
Frekvens3101584

a

Lag ein frekvenstabell med relativ og kumulativ frekvens.

b

I kva klasse ligg medianen?

c

Kor stor del av elevane har meir enn 5 timar skjermtid per dag?

Løs oppgaven
📝Oppgave 6

Ei bedrift har 12 tilsette med følgjande månadsløn (i 1 000 kr): 28, 30, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 85.

a

Finn gjennomsnitt, median og typetal.

b

Finn Q1Q_1, Q3Q_3 og kvartilbreidda.

c

Er det nokon uteliggjarar?

d

Teikn eit boksplott.

e

Leiaren i bedrifta seier at «gjennomsnittsløna er 39 500 kr». Er dette misvisande? Grunngi svaret ditt.

📝Oppgave 7

Ein idrettslærar registrerte tida (i sekund) 20 elevar brukte på 60 m sprint. Klassen [8,0, 9,0⟩[8{,}0,\ 9{,}0\rangle tyder frå og med 8,0 s og opp til 9,0 s.

Tid (s)GutarJenter
[8,0, 9,0⟩[8{,}0,\ 9{,}0\rangle10
[9,0, 10,0⟩[9{,}0,\ 10{,}0\rangle42
[10,0, 11,0⟩[10{,}0,\ 11{,}0\rangle34
[11,0, 12,0⟩[11{,}0,\ 12{,}0\rangle13
[12,0, 13,0⟩[12{,}0,\ 13{,}0\rangle02

a

Rekn ut eit estimert gjennomsnitt for gutar og jenter (bruk klassemidtpunkt).

b

I kva klasse ligg medianen for kvar gruppe?

c

Samanlikn fordelingane ved å bruke sentralmål og spreiing.

d

Lag histogram for begge gruppene og beskriv forma på fordelingane.

Oppsummering

- Sentralmål beskriv «sentrum» i data: gjennomsnitt, median og typetal
- Gjennomsnitt blir påverka av uteliggjarar – bruk median når data er skeive
- Spreiingsmål beskriv spreiinga: variasjonsbreidde, kvartilbreidd, standardavvik
- Boksplott viser fordeling med fem nøkkeltal (min, Q1Q_1, median, Q3Q_3, maks)
- Uteliggjarar er verdiar meir enn 1,5⋅kvartilbreidd1{,}5 \cdot \text{kvartilbreidd} utanfor kvartilane
- Frekvenstabellar organiserer data med frekvens, relativ og kumulativ frekvens
- Kumulativ frekvens blir brukt til å bestemme median og kvartilar i grupperte data

Nøkkelomgrep


OmgrepForklaring
GjennomsnittSum av verdiar delt på tal
MedianMidtarste verdi i sortert datasett
TypetalVerdien som førekjem oftast
StandardavvikEit mål på typisk avstand frå gjennomsnittet
KvartilbreiddQ3−Q1Q_3 - Q_1 – spreiinga i midtarste 50 %
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.