3.2 Normalfordeling | Matematikk 2P

Normalfordelingen og bruk av standardavvik.

55 min

14 oppgaver

NormalfordelingStandardavvikEmpirisk regelZ-skår

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Beskrivende statistikk

Normalfordeling

Mange naturlige fenomener følger et bestemt mønster: de fleste verdiene samler seg rundt gjennomsnittet, og det blir færre og færre verdier jo lenger vi kommer fra sentrum. Denne fordelingen kalles normalfordelingen og er en av de viktigste i statistikk.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva normalfordelingen er og hva som kjennetegner den
- Den empiriske regelen (68–95–99,7-regelen)
- Beregne og tolke z-skår
- Bruke normalfordelingen til å løse praktiske problemer

Normalfordelingen

\mu

✏️Eksempel: Normalfordelt høyde

Høyden til norske 18-årige gutter er tilnærmet normalfordelt med gjennomsnitt $\mu = 180$ cm og standardavvik $\sigma = 7$ cm. Beskriv hva dette betyr.

Løsning:

- De fleste guttene har en høyde nær 180 cm.
- Gjennomsnittet, medianen og typetallet er alle omtrent 180 cm.
- Standardavviket er 7 cm, som betyr at en «typisk» avstand fra gjennomsnittet er 7 cm.
- Kurven er symmetrisk: like mange er høyere enn 180 cm som lavere.

Tolkning: Fordelingen forteller oss at ca. halvparten av guttene er mellom 173 cm og 187 cm høye (innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet).

📝Oppgave 1

Hvilken påstand om normalfordelingen er korrekt?

Den empiriske regelen (68–95–99,7)

\mu

Intervall	Andel
$\mu \pm 1\sigma$	68 %
$\mu \pm 2\sigma$	95 %
$\mu \pm 3\sigma$	99,7 %

✏️Eksempel: Empirisk regel

Vekten til nyfødte barn er normalfordelt med $\mu = 3{,}5$ kg og $\sigma = 0{,}5$ kg. a) Mellom hvilke verdier ligger 95 % av fødselsvektene? b) Hvor stor andel veier mer enn 4,5 kg?

Løsning:

a) 95 % ligger innenfor $\mu \pm 2\sigma$ :
$3{,}5 - 2 \cdot 0{,}5 = 2{,}5 \text{ kg}$
$3{,}5 + 2 \cdot 0{,}5 = 4{,}5 \text{ kg}$

Svar: 95 % av fødselsvektene ligger mellom 2,5 kg og 4,5 kg.

b) 4,5 kg er $\mu + 2\sigma$ . Siden 95 % ligger innenfor $\mu \pm 2\sigma$ , ligger 5 % utenfor. Fordelingen er symmetrisk, så 2,5 % ligger over $\mu + 2\sigma$ .

Svar: Ca. 2,5 % av nyfødte veier mer enn 4,5 kg.

📊Utforsk: Normalfordelingskurven

Kurven viser normalfordelingen for høyder med gjennomsnitt $\mu = 170$ cm og standardavvik $\sigma = 6$ cm. De stiplede linjene står ved $\mu - \sigma = 164$ og $\mu + \sigma = 176$ – omtrent 68 % av arealet under kurven ligger mellom dem. Zoom inn rundt $x = 170$ for å se klokkeformen tydelig.

📝Oppgave 2

Levetiden til en bestemt type lyspære er normalfordelt med $\mu = 1\,200$ timer og $\sigma = 100$ timer. a) Mellom hvilke verdier ligger 68 % av levetidene? b) Hvor stor andel av lyspærene varer lenger enn 1 400 timer? c) En produsent garanterer at lyspæren varer minst 900 timer. Hvor stor andel vil ikke oppfylle garantien?

📝Oppgave 3

IQ-skårer er normalfordelt med $\mu = 100$ og $\sigma = 15$ . Hvor stor andel har IQ mellom 85 og 115?

Z-skår (standardisert verdi)

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

✏️Eksempel: Sammenligne med z-skår

Kari fikk 78 poeng på en norskprøve ( $\mu = 65$ , $\sigma = 10$ ) og 82 poeng på en matteprøve ( $\mu = 70$ , $\sigma = 8$ ). Hvilken prøve gjorde hun det relativt best på?

Løsning:

Z-skår for norsk: $\displaystyle z = \frac{78 - 65}{10} = \frac{13}{10} = 1{,}3$

Z-skår for matte: $\displaystyle z = \frac{82 - 70}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5$

Tolkning: Kari lå 1,3 standardavvik over gjennomsnittet i norsk og 1,5 standardavvik over gjennomsnittet i matte.

Svar: Kari gjorde det relativt best på matteprøven, selv om poengsummen var lavere i norsk. Z-skåren viser at hun var lenger over gjennomsnittet i matte.

📝Oppgave 4

Ola løp 100 m på 12,2 sekunder. Gjennomsnittstiden i klassen var $\mu = 13{,}5$ s med $\sigma = 1{,}0$ s. a) Beregn Olas z-skår. b) Hvor stor andel av klassen var raskere enn Ola? (Bruk den empiriske regelen.) c) En annen elev hadde z-skår $z = 0{,}5$ . Hva var denne elevens tid?

Bruke normalfordelingen i praksis

Normalfordelingen brukes i mange sammenhenger:

Kvalitetskontroll: En fabrikk produserer skruer med diameter $\mu = 10{,}0$ mm og $\sigma = 0{,}05$ mm. Skruer utenfor $\mu \pm 2\sigma$ (altså under 9,90 mm eller over 10,10 mm) kasseres. Ca. 5 % kasseres.

Karakterer: Resultater på nasjonale prøver er ofte tilnærmet normalfordelt. Z-skåren brukes til å plassere eleven på en skala.

Medisin: Blodtrykk, kolesterolnivå og andre mål er tilnærmet normalfordelt. Leger bruker normalfordelingen til å avgjøre om en verdi er «unormal».

Viktig: Ikke alt er normalfordelt! Inntekt, boligpriser og ventetider er typisk skjevfordelt og følger ikke normalfordelingen.

📝Oppgave 5

En fabrikk produserer bolter med lengde normalfordelt med $\mu = 50$ mm og $\sigma = 0{,}2$ mm. Bolter utenfor $50 \pm 0{,}4$ mm kasseres. Hvor stor andel kasseres?

📝Oppgave 6

Resultater på en landsdekkende matteprøve er normalfordelt med $\mu = 45$ poeng og $\sigma = 12$ poeng. a) Hva er z-skåren for en elev som fikk 60 poeng? b) Mellom hvilke poengverdier ligger 95 % av resultatene? c) En elev trenger minst 69 poeng for å kvalifisere seg til en konkurranse. Hvor mange standardavvik over gjennomsnittet er dette? d) Omtrent hvor stor andel kvalifiserer seg?

Oppsummering

- Normalfordelingen er symmetrisk og klokkeformet med $\mu =$ gjennomsnitt og $\sigma =$ standardavvik
- Empirisk regel: 68 % innenfor $\mu \pm \sigma$ , 95 % innenfor $\mu \pm 2\sigma$ , 99,7 % innenfor $\mu \pm 3\sigma$
- Z-skår: $z = (x - \mu) / \sigma$ – antall standardavvik fra gjennomsnittet
- Z-skår gjør det mulig å sammenligne verdier fra ulike fordelinger
- Normalfordelingen brukes i kvalitetskontroll, medisin, utdanning og forskning
- Ikke alt er normalfordelt – sjekk alltid at fordelingen passer

📝Oppgave 7

Høyden til jenter i en VG2-klasse er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 167$ cm og $\sigma = 6$ cm. a) Mellom hvilke høyder ligger 68 % av jentene? b) En jente er 179 cm. Beregn z-skåren og kommenter resultatet. c) Hvor stor andel av jentene er under 155 cm? d) Skolen skal bestille treningsdrakter. De planlegger å ha størrelser som dekker 95 % av jentene. Hvilket høydeintervall må de dekke?

📝Oppgave 8

To elever sammenligner resultatene sine på tre ulike prøver:

Prøve	Oles resultat	Karis resultat	Gjennomsnitt (μ)	Standardavvik (σ)
Norsk	72	68	60	8
Matte	55	48	50	5
Engelsk	80	85	75	10

a) Beregn z-skåren for begge elever på alle tre prøver. b) Hvem gjorde det relativt best totalt sett? Begrunn med z-skårer. c) På hvilken prøve var forskjellen mellom elevene størst (målt i z-skår)?

📝Oppgave 9

Blodtrykket (systolisk) hos friske voksne er normalfordelt med $\mu = 120$ mmHg og $\sigma = 15$ mmHg. En person har blodtrykk 150 mmHg. Hva er z-skåren, og hva betyr den?

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.