3.1
Beskrivende statistikk

3.1 Beskrivende statistikk

Alle fag for VG2

Sentralmål, spredningsmål og grafisk fremstilling.

50 min
12 oppgaver
GjennomsnittMedianTypetallStandardavvikVariasjonsbredde
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Beskrivende statistikk

Statistikk handler om å samle inn, organisere og tolke data. Beskrivende statistikk gir oss verktøy for å oppsummere et datasett med noen få nøkkeltall og figurer, slik at vi raskt kan forstå hva dataene forteller oss.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva sentralmål er og når du bruker gjennomsnitt, median og typetall
- Spredningsmål: variasjonsbredde, kvartiler, kvartilbredde og standardavvik
- Grafisk fremstilling med stolpediagram, histogram og boksplott
- Frekvenstabeller og kumulativ frekvens

Sentralmål
Sentralmål beskriver «sentrum» i et datasett. De tre viktigste er:

Gjennomsnitt (middelverdi):
xˉ=x1+x2+⋯+xnn=∑xin\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}

Median: Den midterste verdien når observasjonene er sortert. Ved partall observasjoner er medianen gjennomsnittet av de to midterste.

Typetall (modus): Den verdien som forekommer oftest.

SentralmålNår bruker vi det?
GjennomsnittSymmetriske data uten uteliggere
MedianSkjeve data eller data med uteliggere
TypetallKategoriske data (f.eks. favorittfarge)
✏️Eksempel: Sentralmål

Ni elever fikk følgende karakterer i matematikk: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6. Finn gjennomsnitt, median og typetall.

Gjennomsnitt: xˉ=2+3+3+4+4+4+5+5+69=369=4,0\displaystyle \bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6}{9} = \frac{36}{9} = 4{,}0

Median: Vi har 9 verdier (oddetall). Den midterste er verdi nr. 5: median = 4

Typetall: Verdien 4 forekommer 3 ganger (flest): typetall = 4

Svar: Gjennomsnitt = 4,0, median = 4, typetall = 4. Her gir alle tre sentralmålene omtrent samme resultat fordi dataene er nokså symmetriske.

📝Oppgave 1

En bedrift har fem ansatte med månedslønninger: 30 000, 32 000, 34 000, 35 000 og 120 000 kr. Hvilket sentralmål gir best bilde av en «typisk» lønn?

📝Oppgave 2

En klasse med 10 elever fikk følgende antall poeng på en prøve: 12, 15, 18, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 30.

a

Finn gjennomsnitt, median og typetall.

b

Hvis eleven med 30 poeng hadde fått 50 poeng i stedet, hva ville gjennomsnittet og medianen blitt?

c

Hvilken av de to situasjonene viser best hvorfor medianen kan være mer robust enn gjennomsnittet?

Spredningsmål
Spredningsmål forteller hvor spredt dataene er rundt sentrum.

Variasjonsbredde: Differansen mellom største og minste verdi.
R=xmaks−xminR = x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}

Kvartiler: Deler de sorterte dataene i fire like store deler.
- Q1Q_1 (nedre kvartil): Medianen av den nedre halvdelen
- Q2Q_2 = medianen
- Q3Q_3 (øvre kvartil): Medianen av den øvre halvdelen

Kvartilbredde: Spredningen i de midterste 50 % av dataene.
kvartilbredde=Q3−Q1\text{kvartilbredde} = Q_3 - Q_1

Standardavvik (ss): Et mål på typisk avstand fra gjennomsnittet. Vi kvadrerer avvikene, finner gjennomsnittet av kvadratene og tar kvadratroten:
s=∑(xi−xˉ)2ns = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}

Lavt standardavvik betyr at verdiene ligger tett rundt gjennomsnittet. Høyt standardavvik betyr stor spredning.

✏️Eksempel: Spredningsmål

Et datasett: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14. Finn variasjonsbredde, kvartiler, kvartilbredde og standardavvik.

Sortert: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14

R=14−3=11R = 14 - 3 = 11

Median =8= 8 (verdi nr. 4 av 7)

Q1=5Q_1 = 5 (median av 3, 5, 7)

Q3=12Q_3 = 12 (median av 10, 12, 14)

Kvartilbredde=12−5=7\text{Kvartilbredde} = 12 - 5 = 7

xˉ=3+5+7+8+10+12+147=597≈8,43\bar{x} = \frac{3+5+7+8+10+12+14}{7} = \frac{59}{7} \approx 8{,}43

xix_i(xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2
329,47
511,76
72,04
80,18
102,47
1212,76
1431,04

∑(xi−xˉ)2≈89,71\sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 89{,}71
s=89,717≈12,82≈3,58s = \sqrt{\frac{89{,}71}{7}} \approx \sqrt{12{,}82} \approx 3{,}58
Svar: Variasjonsbredde 11, Q1=5Q_1 = 5, median 8, Q3=12Q_3 = 12, kvartilbredde 7 og standardavvik s≈3,58s \approx 3{,}58.
Noen kalkulatorer og regneark gir også utvalgsstandardavviket, der vi deler på n−1=6n - 1 = 6 i stedet for nn. Det gir 3,873{,}87 her.
📝Oppgave 3

To klasser fikk følgende resultater på en prøve (maks 20 poeng):

Klasse A: 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18
Klasse B: 5, 8, 12, 15, 18, 20, 20

a

Finn gjennomsnitt, median og standardavvik for begge klasser.

b

Hvilken klasse har mest jevne resultater?

c

Bruk tallene til å sammenligne klassene.

Grafisk fremstilling
Stolpediagram: Brukes for kategoriske data eller diskrete verdier. Stolpene har mellomrom.

Histogram: Brukes for kontinuerlige data gruppert i klasser (intervaller). Stolpene står inntil hverandre. Arealet viser frekvensen.

Boksplott: Viser fordelingen av data med fem nøkkeltall:
- Minimum
- Q1Q_1 (nedre kvartil)
- Median
- Q3Q_3 (øvre kvartil)
- Maksimum

Boksen dekker kvartilbredden (de midterste 50 %), og strekene går ut til min og maks. Uteliggere markeres som egne punkter.

Uteligger: En observasjon som ligger mer enn 1,5⋅kvartilbredde1{,}5 \cdot \text{kvartilbredde} under Q1Q_1 eller over Q3Q_3.

✏️Eksempel: Boksplott

Tegn et boksplott for datasettet: 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15. Finn de fem nøkkeltallene og undersøk om det finnes uteliggere.

Sorterte data: 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15

Minimum =2= 2

Q1=4+52=4,5\displaystyle Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4{,}5 (median av 2, 4, 5, 7)

Median =8= 8 (verdi nr. 5 av 9)

Q3=10+122=11\displaystyle Q_3 = \frac{10 + 12}{2} = 11 (median av 9, 10, 12, 15)

Maksimum =15= 15

Kvartilbredde=11−4,5=6,5\text{Kvartilbredde} = 11 - 4{,}5 = 6{,}5

Nedre grense: 4,5−1,5⋅6,5=4,5−9,75=−5,254{,}5 - 1{,}5 \cdot 6{,}5 = 4{,}5 - 9{,}75 = -5{,}25

Øvre grense: 11+1,5⋅6,5=11+9,75=20,7511 + 1{,}5 \cdot 6{,}5 = 11 + 9{,}75 = 20{,}75

Alle verdiene ligger mellom −5,25-5{,}25 og 20,7520{,}75, så det er ingen uteliggere.

Boksplottet over en tallinje: strekene går fra minimum 2 til maksimum 15, boksen fra Q1=4,5Q_1 = 4{,}5 til Q3=11Q_3 = 11, og medianen 8 er markert med en strek i boksen.

Boksplott over en tallinje fra 0 til 16. Strekene går fra minimum 2 til maksimum 15, boksen fra nedre kvartil 4,5 til øvre kvartil 11, og medianen 8 er markert med en strek i boksen.

Svar: De fem nøkkeltallene er 2, 4,5, 8, 11 og 15. Det er ingen uteliggere.

📝Oppgave 4

Et datasett har Q1=20Q_1 = 20, Q3=40Q_3 = 40 og kvartilbredde 20. Hvilken verdi er en uteligger?

Frekvenstabeller og kumulativ frekvens
Frekvens: Antall ganger en verdi (eller en klasse) forekommer.

Relativ frekvens: Andelen av totalen.
Relativ frekvens=frekvenstotalt antall\text{Relativ frekvens} = \frac{\text{frekvens}}{\text{totalt antall}}

Kumulativ frekvens: Summen av frekvensene opp til og med en bestemt verdi/klasse. Viser hvor mange observasjoner som er lik eller mindre enn en gitt verdi.

Kumulativ relativ frekvens: Kumulativ frekvens delt på totalt antall. Brukes til å finne medianen og kvartiler i grupperte data.

✏️Eksempel: Frekvenstabell

30 elever ble spurt om antall timer de trener per uke. Resultatene ble gruppert:

Timer0–23–56–89–11
Frekvens81273

Lag en utvidet frekvenstabell med relativ og kumulativ frekvens.

TimerFrekvensRelativ frekvens
0–288/30 ≈ 0,27
3–51212/30 = 0,40
6–877/30 ≈ 0,23
9–1133/30 = 0,10
TimerKumulativ frekvensKumulativ relativ frekvens
0–280,27
3–5200,67
6–8270,90
9–11301,00

Kumulativ relativ frekvens passerer 0,50 i klassen 3–5, så medianen ligger der.
Svar: Tabellen over. 67 % av elevene trener 5 timer eller mindre per uke, medianen ligger i klassen 3–5, og typetallsklassen er 3–5 (høyest frekvens).
📝Oppgave 5

En undersøkelse blant 40 elever viste følgende antall timer skjermtid per dag:

Timer0–12–34–56–78+
Frekvens3101584

a

Lag en frekvenstabell med relativ og kumulativ frekvens.

b

I hvilken klasse ligger medianen?

c

Hvor stor andel av elevene har mer enn 5 timer skjermtid per dag?

Løs oppgaven
📝Oppgave 6

En bedrift har 12 ansatte med følgende månedslønn (i 1 000 kr): 28, 30, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 85.

a

Finn gjennomsnitt, median og typetall.

b

Finn Q1Q_1, Q3Q_3 og kvartilbredden.

c

Er det noen uteliggere?

d

Tegn et boksplott.

e

Bedriftens leder sier at «gjennomsnittslønnen er 39 500 kr». Er dette misvisende? Begrunn svaret ditt.

📝Oppgave 7

En idrettslærer registrerte tiden (i sekunder) 20 elever brukte på 60 m sprint. Klassen [8,0, 9,0⟩[8{,}0,\ 9{,}0\rangle betyr fra og med 8,0 s og opp til 9,0 s.

Tid (s)GutterJenter
[8,0, 9,0⟩[8{,}0,\ 9{,}0\rangle10
[9,0, 10,0⟩[9{,}0,\ 10{,}0\rangle42
[10,0, 11,0⟩[10{,}0,\ 11{,}0\rangle34
[11,0, 12,0⟩[11{,}0,\ 12{,}0\rangle13
[12,0, 13,0⟩[12{,}0,\ 13{,}0\rangle02

a

Beregn et estimert gjennomsnitt for gutter og jenter (bruk klassemidtpunkt).

b

I hvilken klasse ligger medianen for hver gruppe?

c

Sammenlign fordelingene ved å bruke sentralmål og spredning.

d

Lag histogrammer for begge grupper og beskriv formen på fordelingene.

Oppsummering

- Sentralmål beskriver «sentrum» i data: gjennomsnitt, median og typetall
- Gjennomsnitt påvirkes av uteliggere – bruk median når data er skjeve
- Spredningsmål beskriver spredningen: variasjonsbredde, kvartilbredde, standardavvik
- Boksplott viser fordeling med fem nøkkeltall (min, Q1Q_1, median, Q3Q_3, maks)
- Uteliggere er verdier mer enn 1,5⋅kvartilbredde1{,}5 \cdot \text{kvartilbredde} utenfor kvartilene
- Frekvenstabeller organiserer data med frekvens, relativ og kumulativ frekvens
- Kumulativ frekvens brukes til å bestemme median og kvartiler i grupperte data

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
GjennomsnittSum av verdier delt på antall
MedianMidterste verdi i sortert datasett
TypetallVerdien som forekommer oftest
StandardavvikEt mål på typisk avstand fra gjennomsnittet
KvartilbreddeQ3−Q1Q_3 - Q_1 – spredningen i midterste 50 %
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.