3.1 Beskrivende statistikk

Tallene som forteller historier

Forestill deg at du er rektor på en skole, og noen spør deg: «Hvordan gikk det med elevene på matteprøven?» Du har en liste med 200 resultater foran deg. Du kan ikke lese opp alle 200 tallene -- det ville ingen orket å høre på. I stedet trenger du noen få nøkkeltall som oppsummerer det viktigste. Nettopp dette er kjernen i beskrivende statistikk: å ta et stort, uoversiktlig datasett og destillere det ned til noen få tall og figurer som forteller oss hva dataene egentlig sier.

Statistikk omgir oss overalt. Når du leser at «gjennomsnittstemperaturen i Oslo var 7,3 grader i fjor», eller at «medianlønnen i Norge er 550 000 kroner», så møter du beskrivende statistikk i aksjon. Spørsmålet er bare: hva betyr disse tallene egentlig, og hvordan velger vi de riktige?

I dette kapittelet skal vi utforske tre store temaer. Først ser vi på sentralmål -- tall som beskriver sentrum i et datasett. Så går vi videre til spredningsmål som forteller hvor spredt dataene er. Og til slutt ser vi på hvordan vi kan fremstille data grafisk med stolpediagram, histogram og boksplott. Underveis lærer vi også om frekvenstabeller og kumulativ frekvens. La oss begynne.

Sentralmål -- å finne sentrum

Tenk deg at ni elever fikk følgende karakterer i matematikk: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6. Hva er en «typisk» karakter i denne gruppen? Det finnes tre ulike måter å svare på det spørsmålet, og hver gir et litt annet perspektiv.

Den første og mest kjente metoden er gjennomsnittet, også kalt middelverdien. Du regner det ut ved å legge sammen alle verdiene og dele på antall observasjoner: $\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}$. For karakterene våre blir det $\displaystyle \bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6}{9} = \frac{36}{9} = 4{,}0$. Gjennomsnittet er altså 4,0 -- et tall som gir et fint bilde av gruppen, så lenge dataene er noenlunde symmetriske.

Den andre metoden er medianen, som er den midterste verdien når du sorterer alle tallene fra minst til størst. Med ni verdier er det verdi nummer fem, altså 4. Medianen bryr seg ikke om hvor ekstreme ytterverdiene er -- den sitter trygt i midten.

Den tredje metoden er typetallet (eller modus), som rett og slett er den verdien som forekommer oftest. Her er det 4, fordi den dukker opp tre ganger. Typetallet er spesielt nyttig for kategoriske data, for eksempel favorittfarge, der gjennomsnitt ikke gir mening.

Men her er det viktige spørsmålet: når bruker du hva? Gjennomsnittet fungerer fint for symmetriske data uten ekstreme verdier. Men tenk deg en bedrift med fem ansatte som tjener 30 000, 32 000, 34 000, 35 000 og 120 000 kroner. Gjennomsnittet blir 50 200 kroner, men fire av fem ansatte tjener langt under det. Den ene svært høye lønnen -- en uteligger -- drar gjennomsnittet opp. I slike tilfeller gir medianen (34 000 kr) et mye bedre bilde av en typisk lønn. Tommelfingerregelen er enkel: bruk gjennomsnitt for symmetriske data, median for skjeve data eller data med uteliggere, og typetall for kategoriske data.

Spredningsmål -- hvor spredt er dataene?

Å kjenne sentrum er bare halve historien. Tenk deg to klasser som begge har gjennomsnitt 15 på en prøve. I den ene klassen fikk alle mellom 13 og 17 poeng -- veldig jevnt. I den andre fikk noen 5 og andre 25 -- enorm variasjon. Gjennomsnittet er likt, men klassene er vidt forskjellige. For å fange opp denne forskjellen trenger vi spredningsmål.

Det enkleste spredningsmålet er variasjonsbredden, som er differansen mellom den største og den minste verdien: $R = x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}$. For datasettet 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14 blir variasjonsbredden $14 - 3 = 11$. Problemet med variasjonsbredden er at den bare ser på de to ytterste verdiene og ignorerer alt imellom.

En mer nyansert tilnærming er å bruke kvartiler. Kvartilene deler de sorterte dataene i fire like store deler. $Q_1$ (nedre kvartil) er medianen av den nedre halvdelen, $Q_2$ er selve medianen, og $Q_3$ (øvre kvartil) er medianen av den øvre halvdelen. For datasettet vårt (3, 5, 7, 8, 10, 12, 14) er medianen 8, $Q_1 = 5$ og $Q_3 = 12$. Interkvartilbredden (IQR) er forskjellen mellom øvre og nedre kvartil: $\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 12 - 5 = 7$. IQR forteller oss spredningen i de midterste 50 prosentene av dataene, og er mye mer robust mot uteliggere enn variasjonsbredden.

Til slutt har vi standardavviket ($s$), som måler den gjennomsnittlige avstanden fra gjennomsnittet: $\displaystyle s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$. For datasettet vårt er gjennomsnittet $\bar{x} \approx 8{,}43$, og standardavviket blir $s \approx 3{,}85$. Et lavt standardavvik betyr at verdiene ligger tett rundt gjennomsnittet, mens et høyt standardavvik betyr stor spredning. Standardavviket er det mest brukte spredningsmålet i praksis fordi det tar hensyn til alle verdiene i datasettet.

Boksplott -- hele fordelingen i én figur

Nå som vi kan beregne sentralmål og spredningsmål, la oss se på en av de mest elegante måtene å fremstille data på: boksplottet (også kalt box-and-whisker-diagram). Et boksplott viser fordelingen av et helt datasett med bare fem nøkkeltall: minimum, $Q_1$, median, $Q_3$ og maksimum.

La oss ta et eksempel. Gitt datasettet 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15 finner vi de fem nøkkeltallene slik: Minimum er 2, $Q_1$ er medianen av den nedre halvdelen (2, 4, 5, 7), altså $(4+5)/2 = 4{,}5$. Medianen er 8 (den midterste verdien). $Q_3$ er medianen av den øvre halvdelen (9, 10, 12, 15), altså $(10+12)/2 = 11$. Og maksimum er 15. I et boksplott tegner vi en boks fra $Q_1$ til $Q_3$ -- denne boksen representerer de midterste 50 prosentene av dataene, altså IQR. En strek inne i boksen markerer medianen. Og to «whiskers» (streker) strekker seg ut fra boksen til minimum og maksimum.

Men boksplottet har en ekstra finesse: det kan avsløre uteliggere. En uteligger er en observasjon som ligger mer enn $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ under $Q_1$ eller over $Q_3$. I eksempelet vårt er IQR $= 11 - 4{,}5 = 6{,}5$. Den nedre grensen for uteliggere er $4{,}5 - 1{,}5 \cdot 6{,}5 = -5{,}25$, og den øvre grensen er $11 + 1{,}5 \cdot 6{,}5 = 20{,}75$. Alle verdiene i datasettet ligger innenfor disse grensene, så det er ingen uteliggere her.

I tillegg til boksplott bruker vi stolpediagram for kategoriske data eller diskrete verdier (stolpene har mellomrom mellom seg), og histogram for kontinuerlige data gruppert i klasser (stolpene står inntil hverandre, og arealet representerer frekvensen). Valget av diagramtype avhenger altså av hva slags data du har.

Frekvenstabeller -- når vi grupperer data

Når vi har mange observasjoner, er det upraktisk å jobbe med hvert enkelt tall. I stedet grupperer vi dataene i en frekvenstabell. La oss se på et eksempel: 30 elever ble spurt om hvor mange timer de trener per uke. Resultatene ble gruppert i klasser: 0--2 timer (8 elever), 3--5 timer (12 elever), 6--8 timer (7 elever) og 9--11 timer (3 elever).

Frekvensen er rett og slett antall observasjoner i hver klasse. Men vi kan få mer informasjon ved å beregne relativ frekvens, som er andelen av totalen: $\displaystyle \text{relativ frekvens} = \frac{\text{frekvens}}{\text{totalt antall}}$. For klassen 0--2 timer er den relative frekvensen $8/30 \approx 0{,}27$, altså 27 prosent. For klassen 3--5 timer er den $12/30 = 0{,}40$, altså 40 prosent.

Enda mer nyttig er kumulativ frekvens, som viser summen av frekvensene opp til og med en bestemt klasse. For de fire klassene våre blir den kumulative frekvensen 8, 20, 27 og 30. Og den kumulative relative frekvensen blir 0,27, 0,67, 0,90 og 1,00. Hva betyr dette? Jo, for eksempel kan vi lese av at 67 prosent av elevene trener 5 timer eller mindre per uke.

Den kumulative frekvensen er spesielt nyttig for å finne medianen i grupperte data. Medianen ligger der den kumulative relative frekvensen passerer 0,50. I vårt eksempel passerer den 0,50 i klassen 3--5 timer (fra 0,27 til 0,67), så vi vet at medianen ligger i denne klassen. Vi kan også finne typetallsklassen, som er klassen med høyest frekvens -- her er det 3--5 timer med 12 observasjoner. Frekvenstabeller gir oss et kraftig verktøy for å organisere og forstå store datasett.

Å velge riktig verktøy

Vi har nå en hel verktøykasse med statistiske begreper. Men det store spørsmålet i praksis er alltid: hvilket verktøy skal jeg bruke? La oss gå gjennom noen typiske situasjoner.

Tenk deg at en bedrift har 12 ansatte med følgende månedslønninger (i tusen kroner): 28, 30, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 45 og 85. Gjennomsnittet er 39 500 kroner, men medianen er bare 35 500 kroner. Typetallet er 30 000 kroner. Hva er «riktig»? Gjennomsnittet trekkes opp av den ene personen som tjener 85 000 kroner. Medianen gir et bedre bilde av hva en typisk ansatt tjener. Hvis bedriftens leder sier at «gjennomsnittslønnen er 39 500 kroner», er det teknisk korrekt, men misvisende. Spredningsmålene avslører hva som foregår: $Q_1 = 31$, $Q_3 = 41$, IQR $= 10$. Den øvre grensen for uteliggere er $41 + 1{,}5 \cdot 10 = 56$. Verdien 85 er godt over denne grensen, altså er det en tydelig uteligger.

Denne situasjonen er ikke uvanlig. Inntektsdata er nesten alltid skjevfordelt -- noen få tjener veldig mye, mens de fleste tjener moderat. Derfor rapporterer Statistisk sentralbyrå medianen som mål på typisk inntekt i Norge, ikke gjennomsnittet.

Hva med grafisk fremstilling? Når du har kontinuerlige data som tid, lengde eller vekt, er histogrammet det beste valget. For kategoriske data som favorittfag eller kommune bruker du stolpediagram. Og når du vil sammenligne fordelingen mellom grupper -- for eksempel gutter og jenter på en sprinttest -- er boksplottet uslåelig. Det viser med ett blikk både sentrum, spredning og eventuelle uteliggere.

Beskrivende statistikk handler i bunn og grunn om å være en god forteller: du velger de tallene og figurene som gir det mest ærlige og fullstendige bildet av dataene dine.

Oppsummering

Vi har nå reist gjennom de viktigste verktøyene i beskrivende statistikk. La oss oppsummere det viktigste du har lært.

Sentralmål beskriver sentrum i et datasett. Gjennomsnittet $\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ fungerer best for symmetriske data, men påvirkes av uteliggere. Medianen er den midterste verdien i sorterte data og er robust mot ekstreme verdier -- bruk den når data er skjeve. Typetallet er verdien som forekommer oftest, og er spesielt nyttig for kategoriske data.

Spredningsmål beskriver hvor spredt dataene er. Variasjonsbredden $R = x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}$ er enkel, men sårbar for uteliggere. Kvartilene $Q_1$, $Q_2$ og $Q_3$ deler dataene i fire like deler. Interkvartilbredden $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$ viser spredningen i de midterste 50 prosentene. Standardavviket $\displaystyle s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$ er den gjennomsnittlige avstanden fra gjennomsnittet og tar hensyn til alle verdier.

Grafisk fremstilling gjør data visuelt: stolpediagram for kategoriske data, histogram for kontinuerlige data, og boksplott for å vise fordelingen med fem nøkkeltall (min, $Q_1$, median, $Q_3$, maks). En uteligger er en verdi mer enn $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ utenfor kvartilene.

Frekvenstabeller organiserer data med frekvens, relativ frekvens og kumulativ frekvens, som brukes til å finne median og kvartiler i grupperte data.