2.3 Regresjon | Matematikk 2P

Tilpasse funksjoner til data med digitale verktøy.

50 min

12 oppgaver

Lineær regresjonEksponentiell regresjonKorrelasjonModellvalg

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Lineære modeller 2.2Eksponentielle modeller

Regresjon

I praksis har vi ofte datapunkt frå observasjonar eller målingar, og vi ønskjer å finne ein funksjon som passar best mogleg til dataa. Denne prosessen vert kalla regresjon.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva regresjon er og kvifor vi brukar det
- Lineær regresjon og korrelasjonskoeffisienten $r$
- Eksponentiell regresjon
- Korleis velje rett modell
- Bruke digitale verktøy (rekneark/GeoGebra) til regresjon

Lineær regresjon

y = ax + b

Korrelasjon

r

✏️Eksempel: Lineær regresjon

Temperaturen vart målt kvar time frå kl. 08 til kl. 14:

Tid (t)	0	1	2	3	4	5	6
Temp (°C)	5	7	8	11	12	13	15

Finn ein lineær modell og bruk han til å estimere temperaturen kl. 16 (t = 8).

Løysing (med digitalt verktøy):

Lineær regresjon gir: $f(t) = 1{,}61t + 5{,}14$

$r = 0{,}995$ (veldig sterk korrelasjon)

Estimat for kl. 16: $f(8) = 1{,}61 \cdot 8 + 5{,}14 = 12{,}88 + 5{,}14 = 18{,}0°C$

Tolking: Temperaturen stig med ca. 1,6 °C per time. Modellen passar svært godt til dataa ( $r \approx 1$ ), men han gjeld truleg berre for dette tidsintervallet.

📊Utforsk: Regresjonslinje med RegLin

Datapunkta viser målte verdiar. RegLin finn den rette linja som passar best til punkta. Dra i eit punkt og sjå korleis regresjonslinja justerer seg – eitt enkelt avvikande punkt kan flytte heile linja.

📝Oppgave 1

Ein lineær regresjonsmodell har r = −0,85. Kva betyr dette?

📝Oppgave 2

Samanhengen mellom timar med trening per veke og kvilepuls vart undersøkt:

Timar trening	0	2	4	6	8	10
Kvilepuls	78	72	68	63	60	56

Bruk digitalt verktøy til å finne ein lineær modell. Kva vert estimert kvilepuls for ein person som trenar 7 timar per veke?

Eksponentiell regresjon

Når dataa ikkje følgjer ei rett linje men kurvar oppover eller nedover, kan eksponentiell regresjon gi betre tilpassing.

Eksponentiell regresjon finn $a$ og $b$ i modellen $f(x) = a \cdot b^x$ .

Når velje eksponentiell?
- Data som aukar/avtek med tilnærma fast prosent
- Grafen bøyer oppover (vekst) eller nedover (nedgang)
- $r^2$ er høgare for eksponentiell enn for lineær modell

✏️Eksempel: Eksponentiell regresjon

Verdien av ein bil vart registrert over fleire år:

År	0	1	2	3	4	5
Verdi (1000 kr)	350	290	245	200	168	140

Finn ein eksponentiell modell.

Løysing (med digitalt verktøy):

Eksponentiell regresjon: $f(t) = 349 \cdot 0{,}833^t$

$r^2 = 0{,}998$ (svært god tilpassing)

Tolking: Bilen mistar ca. $1 - 0{,}833 = 16{,}7\%$ av verdien kvart år.

Startverdi ≈ 349 000 kr (nær den faktiske 350 000 kr).

📝Oppgave 3

Talet på bakteriar i ein kultur vart talt:

Timar	0	1	2	3	4	5
Tal	100	150	230	340	510	780

a) Bruk digitalt verktøy til å finne ein eksponentiell modell. b) Kva er den estimerte vekstprosenten per time? c) Estimer talet på bakteriar etter 8 timar.

📝Oppgave 4

Når bør ein velje eksponentiell regresjon framfor lineær?

Velje rett modell

Når du skal velje mellom modellar:

1. Plott dataa – sjå om dei følgjer ei rett linje eller kurve
2. Køyr begge regresjonar – samanlikn $r^2$ -verdiane
3. Vurder konteksten – kva gir meining i situasjonen?
4. Ver forsiktig med ekstrapolering – å bruke modellen langt utanfor dataintervallet er usikkert

Tommelfingerregel: Vel den enklaste modellen som gir god tilpassing ( $r^2 > 0{,}9$ ).

📝Oppgave 5

For eit datasett gir lineær regresjon r² = 0,87 og eksponentiell regresjon r² = 0,96. a) Kva for ein modell passar best? b) Kva betyr det at r² = 0,96?

Oppsummering

- Regresjon finn funksjonen som passar best til datapunkt
- Lineær regresjon: $y = ax + b$ – for data som følgjer ei rett linje
- Eksponentiell regresjon: $y = a \cdot b^x$ – for data med fast prosentvis endring
- Korrelasjonskoeffisienten $r$ : Måler styrken på den lineære samanhengen
- $r^2$ : Del av variasjon forklart av modellen
- Vel modellen med høgast $r^2$ og som gir meining i konteksten

📝Oppgave 6

Straumforbruket i ein bustad vart registrert:

Månad	Jan	Feb	Mar	Apr	Mai	Jun
kWh	2400	2100	1700	1200	800	600

Bruk digitalt verktøy til å prøve lineær og eksponentiell regresjon. Kva for ein modell passar best? Bruk modellen til å estimere forbruket i juli.

📝Oppgave 7

Finn eit datasett frå SSB (t.d. folketalsutvikling, straumpris, bilsal) med minst 6 datapunkt. a) Lag eit punktdiagram. b) Utfør lineær og eksponentiell regresjon. c) Vel den beste modellen og grunngje valet. d) Bruk modellen til å gjere ein prediksjon og vurder om prediksjonen er rimeleg.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.