2.3 Regresjon | Matematikk 2P

Tilpasse funksjonar til data med digitale verktøy.

50 min

12 oppgaver

Lineær regresjonEksponentiell regresjonKorrelasjonModellval

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Lineære modeller 2.2Eksponentielle modeller

Regresjon

I praksis har vi ofte datapunkt frå observasjonar eller målingar, og vi ønskjer å finne ein funksjon som passar best mogleg til dataa. Denne prosessen vert kalla regresjon.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva regresjon er og kvifor vi brukar det
- Lineær regresjon og korrelasjonskoeffisienten $r$
- Eksponentiell regresjon
- Korleis velje rett modell
- Bruke digitale verktøy (rekneark/GeoGebra) til regresjon

Lineær regresjon

y = ax + b

Korrelasjon

r

✏️Eksempel: Lineær regresjon

Temperaturen vart målt kvar time frå kl. 08 til kl. 14:

Tid (t)	Temp (°C)
0	5
1	7
2	8
3	11
4	12
5	13
6	15

Finn ein lineær modell og bruk han til å estimere temperaturen kl. 16 (t = 8).

I GeoGebra:

p = {(0, 5), (1, 7), (2, 8), (3, 11), (4, 12), (5, 13), (6, 15)}

f = RegLin(p)

$f(t) = 1{,}64t + 5{,}21$

r = Korrelasjonskoeffisient(p)

$r = 0{,}992$

f(8)

$f(8) \approx 18{,}4$

Tolking: Temperaturen stig med ca. 1,6 °C per time. $r = 0{,}992$ viser ein sterk lineær samanheng, men modellen gjeld truleg berre for dette tidsrommet.

Svar: $f(t) = 1{,}64t + 5{,}21$ . Modellen gir ca. 18,4 °C kl. 16.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Regresjonslinje med RegLin

Datapunkta viser målte verdiar. RegLin finn den rette linja som passar best til punkta. Dra i eit punkt og sjå korleis regresjonslinja justerer seg – eitt enkelt avvikande punkt kan flytte heile linja.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

liste1 = {(1, 12), (2, 19), (3, 31), (4, 38), (5, 52)}
f = RegLin(liste1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Ein lineær regresjonsmodell har r = −0,85. Kva betyr dette?

📝Oppgave 2

Samanhengen mellom timar med trening per veke og kvilepuls vart undersøkt:

Timar trening	0	2	4	6	8	10
Kvilepuls	78	72	68	63	60	56

Bruk digitalt verktøy til å finne ein lineær modell. Kva vert estimert kvilepuls for ein person som trenar 7 timar per veke?

Eksponentiell regresjon

Når dataa ikkje følgjer ei rett linje men kurvar oppover eller nedover, kan eksponentiell regresjon gi betre tilpassing.

Eksponentiell regresjon finn $a$ og $b$ i modellen $f(x) = a \cdot b^x$ .

Når velje eksponentiell?
- Data som aukar/avtek med tilnærma fast prosent
- Grafen bøyer oppover (vekst) eller nedover (nedgang)
- $R^2$ er høgare for eksponentiell enn for lineær modell

✏️Eksempel: Eksponentiell regresjon

Verdien av ein bil vart registrert over fleire år:

År	Verdi (1000 kr)
0	350
1	290
2	245
3	200
4	168
5	140

Finn ein eksponentiell modell.

I GeoGebra:

p = {(0, 350), (1, 290), (2, 245), (3, 200), (4, 168), (5, 140)}

f = RegEksp(p)

$f(t) = 349{,}9 \cdot 0{,}832^t$

$R^2 = 0{,}9996$ , altså svært god tilpassing.

Tolking: Vekstfaktoren er $0{,}832$ , så bilen mistar ca. $1 - 0{,}832 = 0{,}168 = 16{,}8\,\%$ av verdien kvart år. Startverdien i modellen, ca. 349 900 kr, ligg nær den faktiske prisen på 350 000 kr.

Svar: $f(t) = 349{,}9 \cdot 0{,}832^t$ (i tusen kroner)

📝Oppgave 3

Talet på bakteriar i ein kultur vart talt:

Timar	Tal
0	100
1	150
2	230
3	340
4	510
5	780

Bruk digitalt verktøy til å finne ein eksponentiell modell.

Kva er den estimerte vekstprosenten per time?

Estimer talet på bakteriar etter 8 timar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Når bør ein velje eksponentiell regresjon framfor lineær?

Velje rett modell

Når du skal velje mellom modellar:

- Plott dataa – sjå om dei følgjer ei rett linje eller kurve
- Køyr begge regresjonar – samanlikn $R^2$ -verdiane
- Vurder konteksten – kva gir meining i situasjonen?
- Ver forsiktig med ekstrapolering – å bruke modellen langt utanfor dataintervallet er usikkert

Tommelfingerregel: Vel den enklaste modellen som gir god tilpassing ( $R^2 > 0{,}9$ ).

📝Oppgave 5

For eit datasett gir lineær regresjon $R^2 = 0{,}87$ og eksponentiell regresjon $R^2 = 0{,}96$ .

Kva for ein modell passar best?

Kva betyr det at $R^2 = 0{,}96$ ?

📝Oppgave 6

Straumforbruket i ein bustad vart registrert:

Månad	kWh
Jan	2400
Feb	2100
Mar	1700
Apr	1200
Mai	800
Jun	600

Bruk digitalt verktøy til å prøve lineær og eksponentiell regresjon. Kva for ein modell passar best? Bruk modellen til å estimere forbruket i juli.

📝Oppgave 7

Finn eit datasett frå SSB (t.d. folketalsutvikling, straumpris, bilsal) med minst 6 datapunkt. a) Lag eit punktdiagram. b) Utfør lineær og eksponentiell regresjon. c) Vel den beste modellen og grunngje valet. d) Bruk modellen til å gjere ein prediksjon og vurder om prediksjonen er rimeleg.

Oppsummering

- Regresjon finn funksjonen som passar best til datapunkt
- Lineær regresjon: $y = ax + b$ – for data som følgjer ei rett linje
- Eksponentiell regresjon: $y = a \cdot b^x$ – for data med fast prosentvis endring
- Korrelasjonskoeffisienten $r$ : Måler styrken på den lineære samanhengen: sterk når $|r| \ge 0{,}7$ , moderat når $0{,}3 \le |r| < 0{,}7$ og svak når $|r| < 0{,}3$
- $R^2$ : Del av variasjon forklart av modellen
- Vel modellen med høgast $R^2$ og som gir meining i konteksten

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.