2.2 Eksponentielle modellar | Matematikk 2P

Vekst og nedgang - eksponentiell modellering.

55 min

14 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktorHalveringstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.3Regresjon 2.4Stykkevis lineære funksjoner

Eksponentielle modellar

Ikkje alt veks med eit fast beløp – nokre ting veks med ein fast prosent. Eit bankinnskot med rente, folketalsvekst og verdifall på bilar følgjer eksponentiell utvikling.

I dette kapittelet skal du lære:
- Skilnaden mellom lineær og eksponentiell vekst
- Bruke vekstfaktor i eksponentielle modellar
- Rekne ut doblingstid og halveringstid
- Modellere praktiske situasjonar med eksponentielle funksjonar

Eksponentiell funksjon

f(x) = a \cdot b^x

Type	Eksempel	Vekstfaktor
5 % vekst	$b = 1{,}05$	$> 1$
3 % nedgang	$b = 0{,}97$	$< 1$
Uendra	$b = 1{,}00$	$= 1$

✏️Eksempel: Folketalsvekst

Ein by har 80 000 innbyggjarar og veks med 1,5 % per år. a) Set opp ein eksponentiell modell. b) Kor mange innbyggjarar er det om 10 år?

a) $b = 1 + 0{,}015 = 1{,}015$

$f(t) = 80\,000 \cdot 1{,}015^t$

Svar: $f(t) = 80\,000 \cdot 1{,}015^t$ , der $t$ er talet på år.

b) $f(10) = 80\,000 \cdot 1{,}015^{10} \approx 92\,843$

Svar: Byen har ca. 92 800 innbyggjarar om 10 år.

📝Oppgave 1

Eit bankinnskot på 100 000 kr har 4 % årleg rente. Kva er innskotet verdt etter 8 år?

📝Oppgave 2

Talet på elevar ved ein skule har auka frå 400 til 520 på 5 år.

Finn den årlege vekstfaktoren.

Kva er den prosentvise årlege veksten?

Kor mange elevar vil skulen ha om ytterlegare 3 år med same veksttakt?

Løs oppgaven

Eksponentiell nedgang

Når noko minkar med ein fast prosent per periode, har vi eksponentiell nedgang. Vekstfaktoren er då mellom 0 og 1.

Vanlege eksempel:
- Verdifall på bilar og elektronikk
- Nedbryting av legemiddel i kroppen
- Radioaktiv nedbryting

✏️Eksempel: Verdifall på bil

Ein bil kostar 450 000 kr ny og mistar 18 % av verdien kvart år. Kva er bilen verdt etter 5 år?

b = 1 - 0{,}18 = 0{,}82

$f(5) = 450\,000 \cdot 0{,}82^5 \approx 166\,800$

$450\,000 - 166\,800 = 283\,200$

Svar: Bilen er verdt ca. 166 800 kr etter 5 år. Han har tapt ca. 283 200 kr i verdi.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Eksponentiell vekst og nedgang

Blå graf: vekst med 12 % per år (

vekstfaktor = 1{,}12

). Raud graf: nedgang med 12 % per år (

vekstfaktor = 0{,}88

). Begge startar på 5000. Sjå kor ulikt dei utviklar seg, og prøv å lese av halveringstid og doblingstid på grafane.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 5000 * 1.12^x
g(x) = 5000 * 0.88^x
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 3

Ein mobiltelefon kostar 12 000 kr og mistar 30 % av verdien kvart år.

Set opp ein eksponentiell modell.

Kva er telefonen verdt etter 3 år?

Etter kor mange år er han verdt mindre enn 2 000 kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Vekstfaktoren for ein prosess er 0,92. Kva betyr dette?

Doblingstid og halveringstid

b > 1

✏️Eksempel: Doblingstid

Ei investering på 1 000 kr veks med 6 % per år. Kor lang tid tek det før verdien er dobla? Løys oppgåva ved prøving, grafisk og med CAS, og samanlikn med 70-regelen.

1\,000 \cdot 1{,}06^T = 2\,000

$1{,}06^T = 2$

Prøving:

$T$	$1{,}06^T$
11	1,898
12	2,012

Grafisk:
f(x) = 1000*1.06^x
Skjering(f, y = 2000)

$(11{,}9;\ 2\,000)$

CAS:

NLøys(1.06^T = 2)

$T \approx 11{,}9$

70-regelen:

$\displaystyle T \approx \frac{70}{6} \approx 11{,}7$

Svar: Verdien er dobla etter ca. 11,9 år, altså i løpet av det 12. året. 70-regelen gir eit godt overslag.

✏️Døme: Halveringstid

Eit giftstoff i ein innsjø blir brote ned med 12 % per år. Det er 500 kg av stoffet i innsjøen no.

a) Finn halveringstida ved prøving og med CAS.

b) Kor mykje av stoffet er att etter to halveringstider?

c) Eit anna stoff har ei halveringstid på 4 år. Vis at vekstfaktoren per år er ca. 0,84.

$b = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$

$0{,}88^T = 0{,}5$

Prøving:

$T$	$0{,}88^T$
5	0,528
6	0,464

CAS:
NLøys(0.88^T = 0.5)

T \approx 5{,}4

Svar: Halveringstida er ca. 5,4 år.

$500 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 125$

Svar: 125 kg er att etter to halveringstider, det vil seie etter ca. 10,8 år.

$b^4 = 0{,}5$

$\displaystyle b = 0{,}5^{\frac{1}{4}} \approx 0{,}841$

Kontroll: $0{,}84^4 \approx 0{,}498 \approx 0{,}5$

Svar: $\displaystyle b = 0{,}5^{\frac{1}{4}} \approx 0{,}84$

📝Oppgave 5

Ein bil mistar 15 % av verdien kvart år.

Kva er halveringstida?

Ein bil kosta 500 000 kr ny. Når er han verdt under 100 000 kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Ei befolkning veks med 2 % per år. Omtrent kor lang tid tek det å doble befolkninga? (Bruk 70-regelen)

Lineær og eksponentiell vekst

Lineær	Eksponentiell
Formel	$f(x) = ax + b$	$f(x) = a \cdot b^x$
Endring	Fast beløp per periode	Fast prosent per periode
Graf	Rett linje	Kurve
Eksempel	Løn + fast årleg tillegg	Sparing med rente

Merk: Bokstavane tyder ikkje det same i dei to formlane. I

f(x) = ax + b

b

startverdien og

a

endringa per periode. I

f(x) = a \cdot b^x

a

startverdien og

b

vekstfaktoren.
Viktig: Eksponentiell vekst startar sakte, men vert etter kvart mykje kraftigare enn lineær vekst.

📝Oppgave 7

To spareavtalar: A) 50 000 kr startbeløp, aukar med 5 000 kr per år. B) 50 000 kr startbeløp, aukar med 8 % per år.

Set opp modellar for begge.

Rekn ut verdien etter 5 og 15 år for begge.

Etter kor mange år er B verdt meir enn A?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Noreg hadde ca. 5,4 millionar innbyggjarar i 2022 og veks med ca. 0,5 % per år.

Set opp ein eksponentiell modell.

Bruk 70-regelen til å anslå kor lang tid det tek før folketalet er dobla.

Når passerer folketalet 7 millionar ifølgje modellen? Løys grafisk eller med CAS.

Drøft om modellen er realistisk på lang sikt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Eit legemiddel har ei halveringstid på 6 timar i kroppen. Ein pasient tek 400 mg.

Set opp ein eksponentiell modell.

Kor mykje er att etter 18 timar?

Pasienten skal ta ny dose når det er under 50 mg att. Etter kor mange timar bør pasienten ta ny dose?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Eksponentiell funksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ – vekst/nedgang med fast prosent
- Vekstfaktor: $b = 1 + p/100$ for vekst, $b = 1 - p/100$ for nedgang
- Doblingstid: løys $b^T = 2$ ved prøving, grafisk eller med CAS. 70-regelen $T \approx 70/p$ gir eit overslag.
- Halveringstid: løys $b^T = 0{,}5$ på same måte
- Eksponentiell vekst overgår lineær vekst over tid

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.